欧几里德算法和扩展.docx
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欧几里德算法和扩展.docx
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欧几里德算法和扩展
欧几里德与扩展欧几里德算法
欧几里德算法
欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。
基本算法:
设a=qb+r,其中a,b,q,r都是整数,则gcd(a,b)=gcd(b,r),即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
第一种证明:
a可以表示成a=kb+r,则r=amodb
假设d是a,b的一个公约数,则有
d|a,d|b,而r=a-kb,因此d|r
因此d是(b,amodb)的公约数
假设d是(b,amodb)的公约数,则
d|b,d|r,但是a=kb+r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,amodb)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证
第二种证明:
要证欧几里德算法成立,即证:
gcd(a,b)=gcd(b,r),其中gcd是取最大公约数的意思,r=amodb
下面证gcd(a,b)=gcd(b,r)
设c是a,b的最大公约数,即c=gcd(a,b),则有a=mc,b=nc,其中m,n为正整数,且m,n互为质数
由r=amodb可知,r=a-qb其中,q是正整数,
则r=a-qb=mc-qnc=(m-qn)c
b=nc,r=(m-qn)c,且n,(m-qn)互质(假设n,m-qn不互质,则n=xd,m-qn=yd其中x,y,d都是正整数,且d>1
则a=mc=(qx+y)dc,b=xdc,这时a,b的最大公约数变成dc,与前提矛盾,
所以n,m-qn一定互质)
则gcd(b,r)=c=gcd(a,b)
得证。
算法的实现:
最简单的方法就是应用递归算法,代码如下:
1intgcd(inta,intb)
2{
3if(b==0)
4returna;
5return
6gcd(b,a%b);
7}
代码可优化如下:
1intgcd(inta,intb)
2{
3returnb?
gcd(b,a%b):
a;
4}
当然你也可以用迭代形式:
1intGcd(inta,intb)
2{
3while(b!
=0)
4{
5 intr=b;
6 b=a%b;
7 a=r;
8}
9returna;
10}
扩展欧几里德算法
基本算法:
对于不完全为0的非负整数a,b,gcd(a,b)表示a,b的最大公约数,必然存在整数对x,y,使得gcd(a,b)=ax+by。
证明:
设a>b。
1,显然当b=0,gcd(a,b)=a。
此时x=1,y=0;
2,ab!
=0时
设ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(amodb)y2=gcd(b,amodb);
根据朴素的欧几里德原理有gcd(a,b)=gcd(b,amodb);
则:
ax1+by1=bx2+(amodb)y2;
即:
ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根据恒等定理得:
x1=y2;y1=x2-(a/b)*y2;
这样我们就得到了求解x1,y1的方法:
x1,y1的值基于x2,y2.
上面的思想是以递归定义的,因为gcd不断的递归求解一定会有个时候b=0,所以递归可以结束。
扩展欧几里德的递归代码:
1intexgcd(inta,intb,int&x,int&y)
2{
3if(b==0)
4{
5x=1;
6y=0;
7returna;
8}
9intr=exgcd(b,a%b,x,y);
10intt=x;
11x=y;
12y=t-a/b*y;
13returnr;
14}
扩展欧几里德非递归代码:
1intexgcd(intm,intn,int&x,int&y)
2{
3intx1,y1,x0,y0;
4x0=1;y0=0;
5x1=0;y1=1;
6x=0;y=1;
7intr=m%n;
8intq=(m-r)/n;
9while(r)
10{
11x=x0-q*x1;y=y0-q*y1;
12x0=x1;y0=y1;
13x1=x;y1=y;
14m=n;n=r;r=m%n;
15q=(m-r)/n;
16}
17returnn;
18}
扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面:
(1)求解不定方程;
(2)求解模线性方程(线性同余方程);
(3)求解模的逆元;
(1)使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法:
对于不定整数方程pa+qb=c,若cmodGcd(p,q)=0,则该方程存在整数解,否则不存在整数解。
上面已经列出找一个整数解的方法,在找到p*a+q*b=Gcd(p,q)的一组解p0,q0后,p*a+q*b=Gcd(p,q)的其他整数解满足:
p=p0+b/Gcd(p,q)*t
q=q0-a/Gcd(p,q)*t(其中t为任意整数)
至于pa+qb=c的整数解,只需将p*a+q*b=Gcd(p,q)的每个解乘上c/Gcd(p,q)即可。
在找到p*a+q*b=Gcd(a,b)的一组解p0,q0后,应该是得到p*a+q*b=c的一组解p1=p0*(c/Gcd(a,b)),q1=q0*(c/Gcd(a,b)),
p*a+q*b=c的其他整数解满足:
p=p1+b/Gcd(a,b)*t
q=q1-a/Gcd(a,b)*t(其中t为任意整数)
p、q就是p*a+q*b=c的所有整数解。
相关证明可参考:
.cnblogs./void/archive/2011/04/18/2020357.html
用扩展欧几里得算法解不定方程ax+by=c;
代码如下:
1boollinear_equation(inta,intb,intc,int&x,int&y)
2{
3intd=exgcd(a,b,x,y);
4if(c%d)
5returnfalse;
6intk=c/d;
7x*=k;y*=k;//求得的只是其中一组解
8returntrue;
9}
(2)用扩展欧几里德算法求解模线性方程的方法:
同余方程ax≡b(modn)对于未知数x有解,当且仅当gcd(a,n)|b。
且方程有解时,方程有gcd(a,n)个解。
求解方程ax≡b(modn)相当于求解方程ax+ny=b,(x,y为整数)
设d=gcd(a,n),假如整数x和y,满足d=ax+ny(用扩展欧几里德得出)。
如果d|b,则方程
a*x0+n*y0=d,方程两边乘以b/d,(因为d|b,所以能够整除),得到a*x0*b/d+n*y0*b/d=b。
所以x=x0*b/d,y=y0*b/d为ax+ny=b的一个解,所以x=x0*b/d为ax=b(modn)的解。
ax≡b(modn)的一个解为x0=x*(b/d)modn,且方程的d个解分别为xi=(x0+i*(n/d))modn{i=0...d-1}。
设ans=x*(b/d),s=n/d;
方程ax≡b(modn)的最小整数解为:
(ans%s+s)%s;
相关证明:
证明方程有一解是:
x0=x'(b/d)modn;
由a*x0=a*x'(b/d)(modn)
a*x0=d(b/d)(modn)(由于ax'=d(modn))
=b(modn)
证明方程有d个解:
xi=x0+i*(n/d)(modn);
由a*xi(modn)=a*(x0+i*(n/d))(modn)
=(a*x0+a*i*(n/d))(modn)
=a*x0(modn)(由于d|a)
=b
首先看一个简单的例子:
5x=4(mod3)
解得x=2,5,8,11,14.......
由此可以发现一个规律,就是解的间隔是3.
那么这个解的间隔是怎么决定的呢?
如果可以设法找到第一个解,并且求出解之间的间隔,那么就可以求出模的线性方程的解集了.
我们设解之间的间隔为dx.
那么有
a*x=b(modn);
a*(x+dx)=b(modn);
两式相减,得到:
a*dx(modn)=0;
也就是说a*dx就是a的倍数,同时也是n的倍数,即a*dx是a和n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a和n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.
设a和n的最大公约数为d,那么a和n的最小公倍数为(a*n)/d.
即a*dx=a*n/d;
所以dx=n/d.
因此解之间的间隔就求出来了.
代码如下:
1boolmodular_linear_equation(inta,intb,intn)
2{
3intx,y,x0,i;
4intd=exgcd(a,n,x,y);
5if(b%d)
6returnfalse;
7x0=x*(b/d)%n;//特解
8for(i=1;i 9printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n); 10returntrue; 11} (3)用欧几里德算法求模的逆元: 同余方程ax≡b(modn),如果gcd(a,n)==1,则方程只有唯一解。 在这种情况下,如果b==1,同余方程就是ax=1(modn),gcd(a,n)=1。 这时称求出的x为a的对模n乘法的逆元。 对于同余方程ax=1(modn),gcd(a,n)=1的求解就是求解方程 ax+ny=1,x,y为整数。 这个可用扩展欧几里德算法求出,原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的x。 Poj2115 X=(b-a)/c(mod2^k); intmain() { __int64s,p,a,b,c,k,d,e; while(scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d",&a,&b,&c,&k)! =EOF&&! (a==0&&b==0&&c==0&&k==0)) { s=(__int64)1< d=b-a; e=exGcd(c,s,x,y); if(d%e==0) { x=(x*(d/e))%s;//方程ax=b(modn)的最小解 x=(x%(s/e)+s/e)%(s/e);//方程ax=b(modn)的最整数小解 cout< } else printf("FOREVER\n"); } return0; }
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