华师大新第20章205 等腰梯形的判定教案.docx

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华师大新第20章205等腰梯形的判定教案

20.5等腰梯形的判定

一、知识与技能

1．能说出和证明等腰梯形的判定定理．

2．能运用等腰梯形的判定定理进行有关的判定、论证和计算．

3．会画出符合条件的等腰梯形．

二、过程与方法

1．经历探究梯形的判定条件的过程，在简单的操作活动中发展学生的说理意识．

2．初步学会通过添加辅助线，把梯形问题转化成平行四边形、矩形、三角形来解决．

三、情感态度与价值观

1．通过探究活动，发展学生的说理意识，培养主动探究的习惯．

2．在解决梯形问题的过程中渗透转化思想．

教学重点梯形的判定及应用．

教学难点解决梯形问题的基本方法．

教具准备多媒体课件．

教学过程

一、创设问题情境，引入新课

师：

上节课，我们研究了梯形，并且研究了特殊的梯形──等腰梯形的概念及其性质，请同学们说出什么样的梯形是等腰梯形？

生：

两腰相等的梯形是等腰梯形．

师：

等腰梯形有什么性质？

生：

等腰梯形是特殊的梯形，所以它具有梯形的性质，它还具有下列一般梯形所不具备的性质．

同一底上的两个内角相等；对角线相等；是轴对称图形．

师：

下面请同学们来做一做（老师播放课件，学生进行画图、讨论、总结）在下图中的每个三角形中画一条线段．

（1）怎样画才能得到一个梯形？

（2）在哪些三角形中，能够得到一个等腰梯形呢？

生：

（1）因为梯形的上、下两底平行且不相等，所以只要在三角形的两边上各找一点，使这两点的连线平行于第三边即可得到梯形．

（2）第

（2）（3）个三角形中能够得到一个等腰梯形．在等腰三角形的两腰上分别找一点，使这两点的连线平行于等腰三角形的底边即可得到一个等腰梯形．

师：

说得太好了，这节课，我们就来探讨等腰梯形的判定．

二、讲授新课

师：

受刚才做图的启发：

只有等腰三角形才能得到等腰梯形．请同学们考虑下面的问题．

议一议：

“在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形”这个命题成立吗？

能否加以证明．

学生活动：

（通过想一想，试一试，议一议，做一做的小组活动，初步懂得添加辅助线的一般方法，学会将梯形问题转化为平行四边形、矩形、等腰三角形、直角三角形来处理）

证法一：

如下图延长BA、CD相交于点E．

∵∠B=∠C，（三角形中等角对等边）

∴BE=CE．

∵四边形ABCD是梯形，

∴AD∥BC．

∴∠EAD=∠B，∠EDA=∠C．

∴∠EAD=∠EDA．（三角形中等角对等边）

∴AE=DE．

∴BE-AE=CE-DE．

即AB=CD，

∴梯形ABCD是等腰梯形．

证法二：

如下图将CD平移到AE位置，此时四边形AECD是平行四边形．

则AE∥CD且AE=CD，

∴∠AEB=∠C．

又∵∠B=∠C，

∴∠B=∠AEB．

∴AB=AE．（三角形等角对等边）

∴AB=CD，

因此梯形ABCD是等腰梯形．

证法三：

如下图

作梯形ABCD的高AE、DF分别交BC于E、F．

∵梯形上、下底平行，即AD∥BC，

∴AE=DF．（夹在平行线间的垂线段相等）

又∵∠AEB=∠DFC=90°，∠B=∠C，

∴△ABE≌△DCF．

∴AB=DC．

∴梯形ABCD是等腰梯形．

师：

通过活动，同学们的说理能力已有了很大提高．由此我们也得到等腰梯形的两种判定方法．

（1）两腰相等的梯形是等腰梯形．

（2）同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．

应用举例：

【例2】如下图，梯形ABCD中，BC∥AD，DE∥AB．DE=DC，∠A=100°，求梯形其他三个内角的度数．

师生共析：

（1）梯形上、下底平行，可以由同旁内角互补求得∠B=80°．

（2）可想办法证明梯形ABCD是等腰梯形，从而解决∠C和∠ADC的问题．

解：

∵BC∥AD，DE∥AB，

∴四边形ABCD是平行四边形．

∴AB=DE．

又DE=DC，

∴AB=DC．

梯形ABCD是等腰梯形，

∴∠C=∠B=180°-∠A=80°，

∠D=∠A=100°．

补充题：

画一个等腰梯形，使它的上、下底分别为4cm和10cm，高为3cm．

分析：

假设等腰梯形ABCD已画出，如下图，作出高AE和DF，可证得Rt△ABE≌Rt△DCF，所以EF=AD=4cm，BE=CF=

（BC-EF）=3cm，AE=3cm．于是可先画出Rt△ABE，进而确定点C，过A作AD∥BC，使AD=4cm，可确定D，连结DC，即可确定等腰梯形ABCD．

画法：

（1）画Rt△ABE使∠AEB=90°，AE=3cm，BE=3cm．

（2）延长BE到C使BC=10cm．

（3）过A作AM∥BC，且使BC、AM在AB的同旁，在AM上截取AD=10cm．

（4）连结DC，则梯形ABCD就是所要画的等腰梯形．（如下图）

（还可以启发学生思考、讨论，得多种画法）

如左下图，平行移动一腰AB到DE，可在Rt△CDF中算出腰CD的长，CD=

=5（cm），因此可先画出等腰△DCE，从而画出等腰梯形ABCD；又如右下图利用等腰梯形轴对称图形，且对称轴是连结上、下两底中点的线段所在的直线．因此可以先画直角梯形ABEF，使EF=3cm，EF⊥BE，BE=6cm，AF=2cm，AF∥BE．然后利用轴对称性画出等腰梯形ABCD．

三、随堂练习

1．课本练习

（1）参看例1：

证法三．

（2）画法：

参看补充题．

腰长=

=5（cm）．

周长=2×5+5+11=26（cm）．

面积=

（5+11）×4=32（cm2）．

2．补充练习．

（1）等腰梯形与等腰三角形有哪些联系？

答：

延长一个等腰梯形的两腰，可以得到一个等腰三角形；过一个等腰三角形腰上一点作底边的平行线，可以得到一个等腰梯形．

（2）有两个内角是70°的梯形一定是等腰梯形吗？

为什么？

答：

是等腰梯形，理由是：

这两个70°的内角的位置仅有三种可能：

①相邻：

顶点是同一条腰的两个端点．

②相邻：

顶点是同一底边的两个端点．

③相对．

当顶点是一条腰的两个端点时，两个角应该是互补的；两角相对时，可以推得此时的四边形是平行四边形．因此，这两个70°的内角只能是同一底上的两个内角，因此这个梯形是等腰梯形．

四、课时小结

（与学生共同梳理，总结梯形的判定方法及添加辅助线解决有关梯形问题常用方法．同时演示课件，让学生加深理解并记忆）．

等腰梯形的判定方法：

（1）两腰相等（定义）

（2）同底上的两个角相等（判定定理）

梯形的画法：

画出符合条件的梯形，通常先要“分析”，借助辅助线找出可以画出的部分图形（等腰三角形，直角三角形等）

梯形中常用的四种辅助线的添法（如下图）：

五、课后作业

习题

板书设计

20.5等腰梯形的判定

1．等腰梯形的判定方法

（1）两腰相等的梯形是等腰梯形．

（2）同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．

2．应用举例

例2

补充题：

画法一、画法二、画法三．

3．随堂练习

4．小结

5．作业习题

活动与探究

如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A点开始沿AD边以1cm/s的速度向D运动，动点Q从C点开始沿CB边以3cm/s的速度向B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为ts，t分别为何值时，四边形PQCD是平行四边形，等腰梯形？

过程：

这是一个探索性的题，题中涉及了平行四边形的判定，等腰梯形的性质及判定，让学生在充分理解题的情况下，进行探讨．

结果：

解：

∵AD∥BC，

∴只要PD=CQ，四边形PQCD是平行四边形．

这时，根据题意有

24-t=3t，解得t=6（s）．

同理可知：

只要PQ=CD，PD≠CQ四边形PQCD是等腰梯形．

过P、D分别作BC的垂线，交BC于点E、F，则四边形PEFD是矩形，△PQE≌△DCF．

∴PD=EF，CF=QE=2．

∴24-t=3t-2×2，解得t=7（s）．

因此，t为6时，四边形PQCD是平行四边形，t为7时，四边形PQCD是等腰梯形．

习题详解

习题19．3

1．解：

FC=

（BC-AD）=

（4-2）=1，

DC=

．

四边形ADEB是平行四边形

AD=DE=6，AD=BE=5．

∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴AB=CD=6．

EC=BC-BE=8-5=3．

∴△CDE的周长为6+6+3=15．

3．证明：

∵四边形ABCD是梯形．

∴AD∥BC，

∴∠A与∠B互补，

∵∠A与∠C互补，

∴∠B=∠C．

∴梯形ABCD是等腰梯形．

4．解：

S横截面=

×20×1.5+

（2.65+1.5）×（40-20）+2.65（60-40）+（2.65+1.9）（80-60）+

（100-80）×1.9=174（m）．

∠C+∠AEC=180°

四边形AECD是平行四边形

AD=EC，AE=CD．

△ABE的周长=梯形ABCD的周长-2AD=29-2×5=19．

6．证明：

∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴AD∥BC，∠B=∠DCB．

∴∠CDE=∠DCB．

∵CD=CE，

∴∠E=∠CDE．

∴∠B=∠E．

7．证明：

AD∥BC

△ABM≌△DCM

AB=CD

梯形ABCD是等腰梯形．

8．6个等腰梯形．

9．解：

EF=

（AD+BC），

平移CD到AM，交EF于点N，

则四边形ADCM是平行四边形，且N是MA的中点．

∴EN是△ABM的中位线．

∴EN=

BM，

EF=

BM+FN=

BM+

（AD+NC）

=

（AD+BC）．

Rt△ODA≌Rt△OEC

∠DAO=∠ECO，DO=EO

∠ADE=∠CED，

同理可证∠DAC=∠ECA．

又∵四边形内角和为360°，

∠DAC+∠ADE=180°．

∴DE∥AC．

又∵AD

EC．

∴四边形ADEC是梯形．

又AD=EC，

∴四边形ACED是等腰梯形．

梯形的高h=

．

备课资料

一、求梯形的面积

1．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5，BC=9，∠B=60°，求AB的长和梯形ABCD的面积．

2．已知在梯形ABCD中AD∥BC，BC=BD，AD=AB=4cm，∠A=120°，求梯形ABCD的面积．

1．答案：

AB=4S梯形ABCD=14

．

BD=4

，

∴BC=BD=4

（cm）．

∵四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，

∴∠B=180°-∠A=60°，

又AB=4．

∴梯形的高h=2

．

∴S梯形ABCD=

（AD+BC）·h=

（4+4

）·2

=12+4

（cm）2．

二、梯形中常见的辅助线做法