北师大版七年级数学下册第5章生活中的轴对称单元测试题解析版.docx

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北师大版七年级数学下册第5章生活中的轴对称单元测试题解析版

北师大版七年级数学下册第5章生活中的轴对称单元测试题

一．选择题（共10小题）

1．将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（　　）

A．

B．

C．

D．

2．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝5，BD＝3，则△ADE的周长为（　　）

A．2B．6C．9D．15

3．如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（　　）

A．15°B．30°C．45°D．60°

4．下列语句：

①全等三角形的周长相等；②面积相等的三角形是全等三角形；③成轴对称的两个图形全等；④角是轴对称图形，角平分线是角的对称轴．其中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

5．如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（　　）

A．

B．

C．

D．

6．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为（　　）

A．2aB．2.5aC．3aD．4a

7．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝5，则DF的长度是（　　）

A．6B．5C．4D．3

8．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（　　）

A．60°B．65°C．75°D．80°

9．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，若AB＝4，AD＝2，则△AED的周长是（　　）

A．6B．7C．8D．10

10．如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（　　）

A．10B．6C．3D．2

二．填空题（共8小题）

11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC＝　　cm．

12．在△ABC中，∠A＝60°，要使是等边三角形，则需要添加一条件是　　．

13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE＝5cm，CE＝3cm，则△CDE的周长是　　．

14．如图所示，AOB是一钢架，设∠AOB＝α，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，若最多能添加这样的钢管4根，则α的取值范围是　　．

15．如图，已知P是∠ACB平分线CD上一点，PM⊥CA，PN⊥CB，垂足分别是M、N，如果PM＝4，那么PN＝　　．

16．如图，已知△ABC中，∠ABC＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分別交AB、BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为　　

17．在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，把这个三角形折叠，使得点B与点A重合，折痕分别交直线AB，AC于点M，N，若∠ANM＝50°，则∠B的度数为　　．

18．常见的汉字中，列举三个是轴对称图形的字：

　　．

三．解答题（共9小题）

19．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点E，过点E作EF∥BC，交AB于点M，交AC于点N．求证：

MN＝MB+NC．

20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：

BD＝DF．

21．在△ABC中，AB＝AC．D为△ABC外一点，且∠ABD＝∠ACD＝60°．求证：

CD＝AB﹣BD．

22．如图，在长方形纸片ABCD中，AD＝4，AB＝8，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．

23．如图，AC＝AB，DC＝DB，AD与BC相交于O．求证：

AD垂直平分BC．

24．下面的方格图是由边长为1的42个小正方形拼成的，△ABC的顶点A、B、C均在小正方形的顶点上．

（1）作出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′；

（2）求△ABC的面积．

25．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，点E在边AC上，且AD＝AE．

（1）如图1，当AD是边BC上的高，且∠BAD＝30°时，求∠EDC的度数；

（2）如图2，当AD不是边BC上的高时，请判断∠BAD与∠EDC之间的关系，并加以证明．

26．如图，已知△ABC中，∠A的平分线与△ABC的外角∠EBC的平分线交于点P．

（1）在AB的延长线上截取BE＝BC，连结CE、BF相交于点H，求证：

BP⊥CE；

（2）作PG∥AD，交BC于F，交AE于点G，则线段GF、FC和GA三条线段之间有什么等量关系？

并证明你的结论．

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．解：

观察选项可得：

只有C是轴对称图形．

故选：

C．

2．解：

∵△ABC为等边三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，

∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°，

∴△ADE为等边三角形，

∵AB＝5，BD＝3，

∴AD＝AB﹣BD＝2，

∴△ADE的周长为6，

故选：

B．

3．解：

在△ABD和△BCE中，

，

∴△ABD≌△BCE，

∴∠1＝∠CBE，

∵∠2＝∠1+∠ABE，

∴∠2＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60°．

故选：

D．

4．解：

①全等三角形的周长相等，故正确；

②面积相等的三角形不一定是全等三角形，故错误；

③成轴对称的两个图形全等，故正确；

④角平分线是角的对称轴所在的直线，故错误，

故选：

B．

5．解：

根据题意得，在公路l上选取点P，使PA+PB最短．

则选项A符合要求，

故选：

A．

6．解：

∵折叠

∴∠B＝∠EDB＝30°，∠FDC＝∠C＝90°，

∴∠FED＝60°，∠EFD＝60°，

∴△DEF是等边三角形，

∴DE＝EF＝DF＝a，

∴△DEF的周长为3a，

故选：

C．

7．解：

∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，

∴DF＝DE＝5，

故选：

B．

8．解：

∵OC＝CD＝DE，

∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，

∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，

∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，

∴∠ODC＝25°，

∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，

∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．

故选：

D．

9．解：

∵ED∥BC，

∴∠EDB＝∠CBD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD＝∠ABD，

∴∠EDB＝∠ABD，

∴DE＝BE，

∴AE+ED+AD＝AE+BE+AD＝AB+AD＝4+2＝6，

即△AED的周长为6，

故选：

A．

10．解：

如图所示，n的最小值为3，

故选：

C．

二．填空题（共8小题）

11．解：

延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，

∵AB＝AC，AD平分∠BAC，

∴AN⊥BC，BN＝CN，

∵∠EBC＝∠E＝60°，

∴△BEM为等边三角形，

∵BE＝6，DE＝2，

∴DM＝4，

∵△BEM为等边三角形，

∴∠EMB＝60°，

∵AN⊥BC，

∴∠DNM＝90°，

∴∠NDM＝30°，

∴NM＝2，

∴BN＝4，

∴BC＝2BN＝8，

故答案为8．

12．解：

∵在△ABC中，∠A＝60°，

∴要使是等边三角形，则需要添加一条件是：

AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC．

故答案为：

此题答案不唯一，如AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC．

13．解：

∵DE∥AB，BD平分∠ABC，

∴∠EBD＝∠ABD＝∠EDB，

∴DE＝BE＝5cm，

∵AB＝AC，DE∥AB，

∴∠C＝∠ABE＝∠DEC，

∴DC＝DE＝5cm，且CE＝3cm，

∴DE+EC+CD＝5cm+3cm+5cm＝13cm，

即△CDE的周长为13cm，

故答案为：

13cm．

14．解：

∵OE＝EF，

∴∠EOF＝∠EFO＝α，

∴∠GEF＝∠EOF+∠EFO＝2α，

同理可得∠GFH＝3α，∠HGB＝4α，

∵最多能添加这样的钢管4根，

∴4α＜90°，5α≥90°，

∴18°≤α＜22.5°，

故答案为18°≤α＜22.5°．

15．解：

∵P是∠ACB平分线CD上一点，PM⊥CA，PN⊥CB，

∴PN＝PM＝4，

故答案为4．

16．解：

∵∠B+∠BMN+∠BNM＝180°，

∴∠BMN+∠BNM＝180°﹣50°＝130°，

∵M在PA的中垂线上，

∴MA＝MP，

∴∠MAP＝∠MPA，

同理，∠NCP＝∠NPC，

∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠NPC+∠NCP，

∴∠MPA+∠NPC＝

×130°＝65°，

∴∠APC＝180°﹣65°＝115°，

故答案为：

115°．

17．解：

①如图1所示：

由折叠可得MN⊥AB，

则∠AMN＝90°，

∵∠ANM＝50°，

∴∠A＝180°﹣90°﹣50°＝40°，

∴∠B＝（180°﹣40°）÷2＝70°；

②如图2所示：

由折叠可得MN⊥AB，

则∠AMN＝90°，

∵∠ANM＝50°，

∴∠NAM＝40°，

∵∠B＝∠C，

∵∠B+∠C＝∠NAM＝40°，

∴∠B＝20°，

故答案为：

70°或20°．

18．解：

列举三个是轴对称图形的字：

日、中、工等．

故答案为：

日、中、工等．

三．解答题（共9小题）

19．证明：

∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，

∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，

∵MN∥BC，

∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，

∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，

∴BM＝ME，EN＝CN，

∵MN＝ME+EN，

∴MN＝BM+CN．

20．证明：

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，

∴DC＝DE，

在△DCF和△DEB中，

，

∴△DCF≌△DEB，（SAS），

∴BD＝DF．

21．证明：

延长BD到E，使BE＝BA，连接AE，CE．

∵∠ABD＝60°，

∴△ABE为等边三角形．

∴AE＝AB＝AC＝BE，∠ACE＝∠AEC；∠AEB＝60°；

又∵∠ACD＝60°，则∠AEB＝∠ACD；

∴∠DEC＝∠DCE，DC＝DE．

∴BD+DC＝BD+DE＝BE＝AB，

∴DC＝AB﹣BD．

22．解：

根据折叠可知：

DE＝BE，

长方形纸片ABCD中，AD＝4，AB＝8，

所以AE＝8﹣DE，

在Rt△ADE中，根据勾股定理，得

DE2＝AE2+AD2，

DE2＝（8﹣DE）2+42，

解得：

DE＝5．

答：

DE的长为5．

23．证明：

∵AB＝AC，

∴点A在BC的垂直平分线上，

∵DC＝DB，

∴点D在BC的垂直平分线上，

∴AD垂直平分BC．

24．解：

（1）如图，△A′B′C′为所作；

（2）△ABC的面积＝3×3﹣

×1×3﹣

×2×1﹣

×2×3＝3.5．

25．解：

（1）∵AD是边BC上的高，

∴∠ADC＝90°，

∵AB＝AC，

∴AD是∠BAC的角平分线，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵∠BAD＝30°，

∴∠CAD＝30°，

∵AD＝AE，

∴∠ADE＝∠AED＝75°，

∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°；

（2）∠BAD＝2∠EDC，

理由：

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，

∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠EDC，

∴∠B+∠BAD＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠∠EDC＝∠C+2∠EDC，

∴∠BAD＝2∠EDC．

26．证明：

（1）∵BE＝BC，PB是∠EBC的平分线，

∴BP⊥CE；

（2）GA＝GF+FC；

理由：

连接PC，作PM⊥AE于M，PN⊥BC于N，PK⊥AD于K，

∵PA是∠A的平分线，PB是∠EBC的平分线，

∴PM＝PN＝PK，

∴PC是∠DCE的平分线，

∴∠DCP＝∠PCB，

∵PG∥AD，

∴∠CAP＝∠APG，∠DCP＝∠CPG，

∵∠PAC＝∠PAG，

∴∠PAG＝∠APG，∠CPG＝∠PCB，

∴AG＝GP，CF＝FP，

∴GA＝GF+FP＝GF+FC；