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优化数学
第一部分线性规划
例1:
某柴油机厂用三种原料厂生产甲、乙、丙三种马力的柴油机,已知生产每台柴油机的资源消耗及获得的利润如下表:
甲乙丙
每月可供应资源量
煤(吨)
电(XX)
钢(吨)
543
1074
211
800
1000
300
每台利润(千元)
864
问如何安排生产使总的利润达到最大?
解:
设x1、x2、x3分别表示三种柴油机的产量,则其数学模型为:
◆将上述问题推广到一般情况如下:
有m种不同资源(例如原材料,动力资源,资金,劳力等)可以用来生产n种不同产品。
假设有关的数据为:
第i种资源的拥有量为bi;i=1,2,…,m,
生产一个单位第j种产品需要消耗第i种资源的数量为aij;
第j种产品的利润(单价,产值)为cj;j=1,2,…,n。
问如何安排生产使总的利润达到最大?
解:
设x1、x2、…、xn分别表示n种产品的产量,则其数学模型为:
◆线性规划模型的一般形式为:
线性规划模型用矩阵表示为:
其中:
◆下面介绍几个与建模有关的线性规划的例子:
例2:
(任务分配问题):
某车间有甲、乙两台机床,可用于加工三种工件。
假定这两台车床的可用台时数分别为800和900,三种工件的数量分别为400、600和500,且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。
问怎样分配车床的加工任务,才能既满足加工工件的要求,又使加工费用最低?
解:
设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为x1、x2、x3,在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6。
可建立以下线性规划模型:
例3:
假设市场上只有一个生产商(记为甲)和一个消费者(记为乙),对某种产品,他们在不同价格下的供应能力和需求能力如下表所示,市场的清算价格应该是多少?
生产商(甲)
消费者(乙)
单价(万元/t)
供应能力/t
单价(万元/t)
需求能力/t
1
2
9
2
2
4
4.5
4
3
6
3
6
4
8
2.25
8
解:
设甲以1万元,2万元,3万元,4万元的单价售出的产品数量(单位:
t)分别是y1、y2、y3、y4;乙以9万元,4.5万元,3万元,2.25万元的单价购买的产品数量(单位:
t)分别是x1、x2、x3、x4。
可建立以下线性规划模型:
其中三个约束条件分别是:
供需平衡条件,供应限制条件和消费限制条件。
本模型可推广到多个生产商和消费者的模型。
例4:
下料问题:
某一机床需要用甲、乙、丙三种规格的钢轴各一根,这些轴的规格分别是2.9,2.1,1.5(m),这些钢轴需要用同一种圆钢来做,圆钢长度为7.4m。
现在要制造100台机床,最少要用多少根圆钢来生产这些钢轴?
解:
第一步:
设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种钢轴的根数分别为y1,y2,y3,则切割方式可用不等式:
2.9y1+2.1y2+1.5y3≤7.4表示,求这个不等式的非负整数解共有8组,也就是有8种下料方式,如下表所示:
方案
规格
1
2
3
4
5
6
7
8
y1(2.9m)
2
1
1
1
0
0
0
0
y2(2.1m)
0
2
1
0
3
2
1
0
y3(1.5m)
1
0
1
3
0
2
3
4
余料
0.1
0.3
0.9
0
1.1
0.2
0.8
1.4
设x1、x2、…、x8表示按8种方案下料的圆钢根数,则问题的数学模型为:
还可考虑二维下料模型。
第二部分运输问题
例1:
设有甲、乙、丙三个产地生产某种物资供应A、B、C、D四个销地,有关数据如下表:
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
12
4
12
21
A2
2
9
3
8
12
A3
8
7
11
6
27
销量
9
18
15
18
问应如何安排运输方案,才能最使总运费最少?
解:
设xij表示从第i个产地Ai运至第j个销地Bj的数量,(i=1,2,3;j=1,2,3,4),
则其数学模型如下:
其中前三个约束条件是产平衡条件,后四个约束条件是销平衡条件。
◆运输问题一般数学模型如下:
◆运输问题还有产销不平衡情况,其数学模型如下:
1)产大于销时:
2)销大于产时:
其求解方法是通过引进虚拟销地(或产地)化为产销平衡模型。
2000年B题钢管订购和运输
第三部分整数规划
例1:
设某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物,每箱的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如下表:
货物
每箱的体积(米3)
每箱的重量(百斤)
每箱利润(百元)
甲
乙
5
4
2
5
20
10
托运限制
24
13
问两种货物各托运多少箱,可使获得总利润为最大?
解:
设x1,x2分别为甲、乙两种贷物的托运箱数(当然都是非负整数)。
这是一个整数规划问题,用数学式可表示为:
◆0—1型整数规划
0—1规划是整数规划中的特殊情形,它的变量xi仅取值0或1。
仅取值0或1这个条件也可由下述约束条件代替:
xi≤1,xi≥0,整数
例2:
(投资场所的选定——相互排斥的计划)某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。
拟议中有7个位置(点)Ai(i=1,2,…,7)可供选择。
规定
在东区,由A1,A2,A3三个点中至多选两个;
在西区,由A4,A5两个点中至少选一个,
在南区,由A6,A7两个点中至少选一个。
如选用Ai点,设备投资估计为bi元,每年可获利润估计为ci元,但投资总额不能超过B元。
问应选择哪几个点可使年利润为最大?
解:
先引于0—1变量xi(i=1,2,…,7)
令
于是问题可表示为:
例3:
(相互排斥的约束条件)在本章开始的例1中,关于运货的体积限制为:
今设运贷有车运和船运两种方式,上面的条件系用车运时的限制条件,如用船运时体积的限制条件为:
这两条件是互相排斥的。
为了统一在一个问题中,引入0—1变量y,
令:
于是上述问题可用下述条件来表示:
例4:
(关于固定费用的问题)某工厂为了生产某种产品,有几种不同的生产方式可供选择,如选定的生产方式投资高(选购自动化程度高的设备),由于产量大,因而分配到每件产品的变动成本就降低;反之,如选定的生产方式投资低,将来分配到每件产品的变动成本可能增加,所以必须全面考虑。
今没有三种方式可供选择,令:
xj表示采用第j种方式时的产量;
cj表示采用第j种方式时每件产品的变动成本;
kj表示采用第j种方式时的固定成本。
为了说明成本的特点,暂不考虑其它约束条件。
采用各种生产方式的总成本分别为:
在构成目标函数时,为了统一在一个问题中讨论,现引入0—1变量yj,
令:
于是目标函数为:
(1)式这个规定可由下述3个线性约束条件:
◆指派问题——特殊的0—1型整数规划
我们经常遇到这样的问题,有n项任务要完成,恰好有n个人可以承担这些任务,但由于任务性质和各人专长不同,因此各人完成各种任务的效率(或所费时间等)就有差别。
因此提出下述问题:
应当指派哪个人去完成哪项任务使总的效率为最高(或花费的总时间为最小)?
这类问题称为指派问题(或称分派问题)。
例5:
有一份说明书,要分别译成英、日、德、俄四种文字(分别称为任务E、J、G、R),交由甲、乙、丙、丁四人去完成,每人完成一种,因各人专长不同,他们翻译成不同文字所需时间(小时数)如下表,问应指派哪个人去完成哪项任务可使总的花费时间为最小?
工作
人员
EJGR
甲
乙
丙
丁
241011
58105
12468
67125
一般地,设有n项任务要由n个人来完成,第i个人完成第j项任务的时间(或效率、成本等)为cij(i,j=1,2,…,n),问应指派哪个人去完成哪项任务可使总的花费时间为最小?
设:
则原问题可表示为:
约束条件
(1)说明第i人只能完成1项任务,约束条件
(2)说明第j项任务只能由1个人来完成。
它也是一个特殊的运输问题。
第四部分非线性规划
在线性规划模型中,目标函数和约束条件是决策变量的线性函数。
而在实际问题中,目标函数(或约束函数)不一定是决策变量的线性函数,而是非线性函数,我们称此类问题为非线性规划问题。
例如:
由于目标函数是非线性函数,此问题是一个非线性规划问题,非线性规划的建模过程与线性规划是完全一样的,一般模型为:
没有约束条件的非线性规划常称为无约束极值问题,有约束条件的非线性规划常称为约束极值问题,若约束条件是线性函数、目标函数是二次函数的非线性规划称为二次规划。
第五部分目标规划
例1:
某计算机公司生产三种型号的笔记本电脑A,B,C.这三种笔记本电脑需要在复杂的装配线上生产,生产1台A,B,C型号的笔记本电脑分别需要5,8,12h。
公司装配线正常的生产时间是每月1700h。
公司营业部门估计A,B,C这三种笔记本电脑的利润分别是每台1000,1440,2520元,而公司预测这个月生产的笔记本电脑能过全部售出,公司经理考虑以下目标:
第一目标:
充分利用正常的生产能力,避免开工不足
第二目标:
优先满足老客户的需求,A,B,C.这三种笔记本电脑50,50,80台,同时根据三种电脑的纯利润分配不同的权因子。
第三目标:
限制装配线加班时间,不允许超过200h
第四目标:
满足各种型号电脑的销售目标,A,B,C型号分别为100,120,100台,再根据三种电脑的纯利润分配不同的权因子。
第五目标:
装配线的加班时间尽可能少。
请列出相应的目标规划模型。
解:
建立目标约束
(1)装配线正常生产
设生产A,B,C型号的电脑为
台,
为装配线正常生产时间未利用数,
为装配线加班时间,希望装配线正常生产,避免开工不足,因此装配线目标约束为:
(2)销售目标
优先满足老客户的需求,并根据三种电脑的纯利润分配不同的权因子,A,B,C三种型号的电脑每小时的利润是
,因此,老客户的销售目标约束为
再考虑一般销售,类似上面的讨论,得到
(3)加班限制
首先是限制装配线加班时间,不允许超过200h,因此得到
其次装配线的加班时间尽可能少,即
写出目标规划的数学模型:
,
例2:
某音像商店有5名全职售货员和4名兼职售货员,全职售货员每月工作160h,兼职售货员每月工作80h,根据过去的工作记录,全职售货员每小时销售CD25张,平均每小时工资15元,加班工资每小时22.5元,兼职售货员每小时销售CD10张,平均每小时10元,加班工资每小时10元,现在预测下月CD销售量为27500张,商店每周开门营业6天,所以可能要加班,每出售一张CD盈利1.5元。
商店经理认为,保持稳定的就业水平加上必要的加班,比不加班但就业水平不稳定要好。
但全职售货员如果加班过多,就会因为疲劳过度而造成效率下降,因此不允许每月加班超过100h,建立相应的目标规划模型。
解:
首先,建立目标约束的优先级
下月的CD销量达到27500张
限制全职售货员加班时间不超过100h
保持全体售货员充分就业,因为充分工作是良好劳资关系的重要因素,但对全职售货员要比兼职售货员加倍优先考虑。
尽量减少加班时间,但对两种售货员区别对待,优先权因子由他们对利润的贡献而定
第二,建立目标约束
(1)销售目标约束,设
全体全职售货员下月的工作时间
全体兼职售货员下月的工作时间
达不到销售目标的偏差
超过到销售目标的偏差
希望下月的销售量超过27500张,因此销售目标为
(2)正常工作时间约束,设
全体全职售货员下月的停工时间
全体全职售货员下月的加班时间
全体兼职售货员下月的停工时间
全体兼职售货员下月的加班时间
希望保持全体售货员充分就业,同时加倍优先考虑全职售货员,因此工作目标约束为
(3)加班时间的限制,设
全体全职售货员下月加班不足100h的偏差;
全体全职售货员下月加班超过100h的偏差;
限制全职售货员加班时间不超过100h,将加班约束看成正常班约束,不同的是右端加上100h,因此加班目标约束为
另外,全职售货员加班1h,商店得到的利润为15元,兼职售货员加班1h,商店得到的利润为5元,因此加班1h全职售货员获得的利润是兼职售货员的3倍,故权因子之比为
所以,另一个加班目标约束为
第三,按照目标的优先级,写出相应的目标规划模型:
,
第六部分多目标规划
例1:
某工厂在一个计划期内生产甲、乙两种产品,各产品都要消耗A,B,C三种不同的资源,每件产品对资源的单位消耗、各种资源的限量以及各产品的单位价格、单位利润和所造成的单位污染如下表所示:
甲
乙
资源限量
资源A单位消耗
资源B单位消耗
资源C单位消耗
9
4
3
2
5
10
240
200
300
单位产品的价格
400
600
单位产品的利润
70
120
单位产品的污染
3
2
假定产品能全部销售出去,问每期怎样安排生产,才能使利润和产值都最大,且造成的污染最小?
解:
设x1、x2分别表示甲、乙两种产品的数量。
该问题有3个目标,即
(利润最大)
(产值最大)
(污染最小)
该问题的约束条件为:
建立该问题的多目标规划模型如下:
多目标规划的求解方法是将多目标规划化为单目标规划。
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