函数的图像及其变换.docx
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函数的图像及其变换.docx
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函数的图像及其变换
函数的图像及其变换
适用学科
数学
适用年级
高一
适用区域
通用
课时时长(分钟)
60
知识点
函数图像的作法
函数图像的变换
教学目标
1.在实际情境中,会根据不同的需要选择图像法、列表示、解析法表示函数.
2.会运用函数图像理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式的解的问题.
3.会用数形结合的思想和转化与化归的思想解决数学问题.
教学重点
函数图像
教学难点
利用图像研究函数的单调性、最值、零点;利用图像研究方程、不等式问题.
教学过程
一、课堂导入
问题:
怎样画函数的图像?
函数图像的优势有哪些?
二、复习预习
在考试中,利用函数的图像通常解决一些函数性质、抽象函数等问题,可以直观的反映出此函数的特征。
描点法作图:
通过y轴和x轴的交点、描点、连线三个步骤画出函数的图像。
三、知识讲解
考点1描点法作图
方法步骤:
(1)确定函数的定义域;
(2)化简函数的解析式;
(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势);
(4)描点连线,画出函数的图象.
考点2函数图像的变换
①平移变换:
函数y=f(x+a)(a≠0)的图像可以由y=f(x)的图像向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位而得到;
函数y=f(x)+b,(b≠0)的图像可以由y=f(x)的图像向上(b>0)或向下(b<0)平移|a|个单位而得到.
②伸缩变换:
函数y=Af(x),(A>0,且A≠1)的图像可由y=f(x)的图像上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0 函数y=f(ωx),(ω>0,且ω≠1)的图像可由y=f(x)的图像上各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的 倍,纵坐标不变而得到. ③对称变换: 函数y=-f(x)的图像可通过作函数y=f(x)的图像关于x轴对称的图形而得到; 函数y=f(-x)的图像可通过作函数y=f(x)的图像关于y轴对称的图形而得到; 函数y=-f(-x)的图像可通过作函数y=f(x)的图像关于原点对称的图形而得到; 函数y=f-1(x)的图像可通过作函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称的图形而得到; 函数y=|f(x)|的图像可通过作函数y=f(x)的图像,然后把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方,其余部分保持不变而得到; 函数y=f(|x|)的图像是: 函数y=f(x)在y轴右侧的部分及其该部分关于y轴对称的部分. 考点3三种增长型函数之间增长速度的比较 (1)指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0) 在区间(0,+∞),无论n比a大多少,尽管在x的一定范围内ax会小于xn,但由于y=ax的增长速度快于y=xn的增长速度,因而总存在一个x0,当x>x0时有ax>xn. (2)对数函数y=logax(a>1)与幂函数y=xn(n>0) 对数函数y=logax(a>1)的增长速度,不论a与n值的大小如何总会慢于y=xn的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数x0,使x>x0时有logax 由 (1) (2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数,但它们的增长速度不同,且不在同一个档次上,因此在(0,+∞)上,总会存在一个x0,使x>x0时有ax>xn>logax. 四、例题精析 考点一作函数的图像 例1分别画出下列函数的图象: (1)y=x2-2|x|-1; (2)y= . 【规范解答】(3)y= .图象如图③. (4)因y=1+ ,先作出y= 的图象,将其图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位,即得y= 的图象,如图④. 【总结与反思】根据一些常见函数的图象,通过平移、对称等变换可以作出函数图象.掌握平移变换、伸缩变换、对称变换等常用方法技巧,可以帮助我们简化作图过程. 考点二识图与辨图 例2已知f(x)= ,则下列函数的图象错误的是( ) 【规范解答】先在坐标平面内画出函数y=f(x)的图象,再将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到y=f(x-1)的图象,因此A正确; 作函数y=f(x)的图象关于y轴的对称图形,即可得到y=f(-x)的图象,因此B正确; y=f(x)的值域是[0,2],因此y=|f(x)|的图象与y=f(x)的图象重合,C正确; y=f(|x|)的定义域是[-1,1],且是一个偶函数,当0≤x≤1时,y=f(|x|)= ,相应这部分图象不是一条线段,因此选项D不正确. 综上所述,选D. 【总结与反思】正确把握图象变换的特征,结合f(x)的图象识辨. 考点三函数图像的应用 例3直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值范围是________. 【规范解答】y= 作出图象,如图所示. 此曲线与y轴交于(0,a)点,最小值为a- ,要使y=1与其有四个交点,只需a- <1 . 【总结与反思】画出函数图像,根据函数图象,可以比较函数值大小,确定参数范围。 五、课堂运用 【基础】 1、已知函数f(x)= ,则y=f(x)的图象大致为( ) 【规范解答】当x=0时,函数无意义,排除选项D中的图象, 当x= -1时,f( -1)= =-e<0,排除选项A、C中的图象,故只能是选项B中的图象. 2、函数y=5x与函数y=- 的图象关于( ) A.x轴对称B.y轴对称C.原点对称D.直线y=x对称 【规范解答】y=- =-5-x,可将函数y=5x中的x,y分别换成-x,-y得到,故两者图象关于原点对称. 答案 C 【巩固】 1、当0 时,4x A.(0, )B.( ,1)C.(1, )D.( ,2) 【规范解答】∵0 ,∴1<4x≤2,∴logax>4x>1,∴0 令f(x)=4x,g(x)=logax,当x= 时,f( )=2.(如图) 而g( )=loga =2,∴a= . 又∵g(x)=logax,x0∈(0,1),a1,a2∈(0,1)且a1
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- 关 键 词:
- 函数 图像 及其 变换