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超弹性不稳定
超弹性材料和结构的不稳定性问题……
任九生S程昌钧
上海大学力学系,上海市应用数学和力学研究所,上海200444
摘要超弹性材料是一类性能独特?
.……不可替代且有广泛工程应用的材料,……对其独特.的材料不稳定.性问题的研.究极大地推动了连续介质力学有限变形理论和超弹性理论的发展。
本文综述了超弹
性材料和结构.的不稳定性问题的研究成果和最新进展,.包括RMin立方块问题、薄壁球壳和薄
壁圆筒的内压膨胀问题、圆柱的扭转问题、块体的表面不稳定性问题、空穴的生成、增长和闭合问题等。
阐述了这类材料中各类非线性不稳定性问题的特点、问题的求解、主要结果及今后进一步的研究方向等。
关键词超弹性材料,材料和结构不稳定性,非线性,分叉
1引言
超弹性材料指存在一个应变.能函数,,……应力可从应变能函数求偏导得到的材料?
主要包括橡..
胶.,合成弹.性体,部分高分子聚合物和血管.肌肉..皮肤等生物软组织为代.表的部分生物材料
[1~3〔。
以橡胶材料为例,它们具有大变形和高弹性的独特特点和优点,作为密封、振动吸收或
承受负荷的橡胶配件几乎在国民经济各领域都有应.用,特别是近年来.在航空航天等高科技领域
中的应用.。
“挑战者”号航天飞机因“O'型橡胶密封圈的缘故造成的失事使人们认识到材料力学及超弹性材料和结构不稳定性的重要性,因此这类材料受到人们的极大关注;“哥伦比亚”号
[4]
航天飞机的失事再一次昭示了材料问题的重要性。
超弹性材料的应力应变关系完全由它们的应变能函数给出,且其几何特性大都是非线性大变形的,问题的数学模型一般是非线性微分方程的初边值问题,求解比较困难,大变形问题的求解和材料应变能函数的确定一起构成超弹性材料的两个核心问题。
图1橡胶弹性的八条链微观模型
橡胶材料的微观结构是由长长的分子链通过化学键交结在一起(热固性橡胶)…或通过部分.
聚集的分子进入微区来连接(热塑性橡胶),在空间形成三维分子网络结构,.……代表性的模型有线一
性高斯链模型.三条链模型、.四条链模型和八条链模型.(图I).。
这些分子在常温下具有不同的…一
自由结构,•像一蓝子蛇,在夕卜力拉伸作用下,卷曲的长链可以逐渐伸长,在宏观上表-现为高达
百分之几百的大变形,且当夕卜-力消失后,拉直的长链可以在自身热运动允许的范围内回缩到原来的自由状态,这就是橡胶材料的高弹性[4~5]。
当外载荷达到某一.程度时,材料内部可以突然….…
出现局部化的损伤构造,材料由稳定的连续形变状态突然过渡到另一状态,在宏观上可以表现
国家自然科学基金项目(10402018,10772104);上海市重点学科建设资助项目(Y0103)
为许多令人感兴趣的特殊现象.,如软化.,变形局部化,裂纹起裂、传播和分叉,空迥的形成、
扩大和联合等不稳定现象][6~10]。
超弹性材料因其独特的大变形弹性变形特性使其稳定性问题更「「「「为奇妙,空穴的生成、结构的不稳定性问题等正是材料本身的不稳定性产生的[11~15];其中’材
料从一个平衡状态向另一个平衡状态转变的分叉现象尤其重要,分叉也正是我们叙述超弹性材料和结构不稳定性问题的核心。
另外,考虑到橡胶材料的物理性质和力学性质对温度影响的敏感性,在一定环境下还必须考虑温度场及温度场和应力场的耦合作用对超弹性材料和结构各类不稳定性问题的影响[16~17]。
本文在简要介绍连续介质力学有限变形理论和超弹性本构理论的基础上,概述了超弹性材
料和结构的不稳定性问题的研究进展,主要包括Rivlin立方块问题、薄壁球壳和薄壁圆筒的内
压膨胀问题、圆柱的扭转问题、块体的表面不稳定性问题、空穴的生成、增长和闭合问题等问题的特点、问题的求解、主要结果及今后进一步的研究方向。
问题的研究一方面可以丰富连续介质力学的大变形弹性理论,另一方面能够为橡胶复合材料的工程应用提供参考,特别是关于橡胶材料的断裂和疲劳寿命等方面。
2问题的基本方程
因超弹性材料的大变形特点,其变形或运动由连续介质力学的有限变形几何描述[18~19],需
建立初始时刻的物质坐标X和当前时刻t的空间坐标x,两者之间存在一一对应的可逆关系
x=xX,t
(1)
即材料的变形模式。
相应的变形梯度张量
F=xk,K
(2)
描述物体的变形信息,是连续介质力学有限变形几何中一个重要的量,成立如下极分解
F=RU二VR(3)
式中,R是正交张量,表示纯转动;U和V是对称的正定张量,表示局部伸长变形,分别称
为右和左Cauchy-Green伸长张量,它们具有相同的主值即三个主伸长■2,■3。
但两个伸.
长张量是一.个平方很张量,使用不方便,.故引入相应的右和左Cauchy-Green变形张量
C=FTF,B=FFT(4)
这两个变形张量具有三个相同的主值'2,'2,'2或三个相同的不变量1仆丨2,丨3
222
丨1=trB=(丸1)+(爲)+(丸3)
12二丄I12-trB2Li22•‘2‘32•‘3‘12(5)
2
13二detB—(“込八13)
如第三不变量|3=1,则称材料为不可压材料,否则称为可压材料。
关于超弹性材料的应变能函数W,已有各种各样的形式[20~23],包括不可压的或可压的,各
向同性的、横观各向同性的、各向异性的,小变形的或大变形的,等温的或考虑温度变化影响的,不考虑材料硬化效应的或考虑材料硬化效应的,微观模型或连续介质模型,以不变量形式表示的或以主伸长形式表示的等。
如最常用的有不可压neo-Hookean材料
式中,材料常数为小变形时材料的剪切模量。
不可压Mooney-Rivlin材料
式中,C,,C2为材料常数。
不可压Ogden材料
W二];r-3(8)
r:
i
式中,j,r为材料常数。
材料的应力状态由作用于物体已变形构形上的Cauchy应力张量t,“虚拟”的作用在物
体初始构形上的第一类Piola-Kirchhoff应力张量T或第二类Piola-Kirchhoff应力张量S描述。
它们分别满足各自的运动方程和边界条件,并由应变能函数确定。
以Cauchy应力张量为例,满
足运动方程
(9)
且应力张量由下式确定
以变形不变量形式表示的应力应变关系
2
t=-pla1Ba2B
式中,p为非确定的静水压力,是作为约束应力引入的,是超弹性材料受到不可压条件的约束限制时对应力应变关系的修正。
三类应力张量之间具有如下关系
-T二
T=JtF,S=FT
(12)
(13)
3Rivlin立方块问题
受到突然施加的、面内均匀分布、三个方向大小相等的拉伸死载荷作用的不可压neo-Hookean材料立方块,当荷载较小时,平衡状态是唯一的,即立方块保持不变形;但当载荷达到某一临界值时,除不变形的平凡解外还有六个分叉解存在,且分叉解是稳定的,即立方块不再保持均匀变形,而是在三个方向发生了大小不一的非对称变形。
这类在对称载荷作用下产
生了非对称变形的分叉问题称为Rivlin非对称分叉问题。
关于问题的求解,Rivlin[24~25]从最小势
能原理出发,构造结构的总势能,然后通过变分方法找到了问题的解析解。
三个方向均受拉伸死载荷po作用的立方块的总势能为
门-WF—TF—pF-1dv(14)
v
可由变分=0找到问题的解,由、:
2「的符号判定解的稳定性。
除平凡解门=J=七=1外还有六个解
Rivlin立方块问题在平面应力状态下就是方板的拉伸失稳问题[26~28]。
Kearsley[26]分析了受
均布拉伸死荷作用的Mooney-Rivlin材料方板,在面内各边完全相同的拉伸载荷作用下,当载
荷较小时,问题只有平凡解,相应的平衡状态是唯一的,即方板在面内两个方向的伸展大小相
等;但当载荷达到某一临界值时,除对称性的伸展外,方板会产生非对称的伸长变形,在面内两个方向的伸展大小不再相等,且它是稳定的。
另外,非对称分叉问题在实验上也得到了证实。
Trelor[29]于1948年在实验中发现四边受相同的拉力作用的方形超弹性薄板有三个平衡状态,其中有两个是非对称的。
双向等拉伸方板的变形控制方程为
■1-’21W^汀2•i2r'2-时■4W2/=0(16)
当qcqcr=2.26MPa时(取定材料常数&=0.179MPa,C2=0.015MPa),k1=崩,
方板仅产生对称的变形;当q一qcr=2.26MPa时,-'2,方板产生非对称的变形。
不可
压Mooney-Rivlin材料方板的分叉曲线如图2所示[30]。
4薄壁球壳和薄壁圆筒的内压膨胀问题
对于受均布内压作用的不可压超弹性薄壁球壳,当内压较小时,球壳保持原来的形状,发生对称的均匀膨胀变形;但当内压大于某一临界值时,球壳产生复杂的非对称变形,其中一部分膨胀变形很大,而另外部分仅仅是轻微膨胀,且球壳的形状逐渐远离球形[31~33]。
如对变形前半径为ro,厚度为do(d。
I:
r。
)的Gent材料气球在膨胀压力p作用下的变
形问题,可根据能量守恒定理得到其变形与压力间的关系为
(17)
6
■.-■--表示气球的变形,材料常数Jm=97.2,E=3.510MPa。
气球的变形曲线如
图3所示,可见存在一个膨胀压力的局部极大值Pr=p,-■1=1.4,当压力小于这个极大值
时,随着变形的增加,压力迅速地增加,且气球有一个稳定的变形并且大致呈球形;但当压力大于这个极大值时,随着变形的增加,压力反而减小,气球的变形变得不稳定,微幅膨胀后的气球有一个复杂的变形,其一部分只被轻微的拉伸而其他部分却被高强度拉伸,所以明显地远
离球形而变得不规则;最后,当压力大于压力的局部极小值p2二P'==4.0时,随着变
形的增加,压力持续地增加,气球的变形又成为稳定的变形,并恢复了球形。
典型的气球膨胀实验结果也是基本如此。
对于受均布内压作用的不可压超弹性薄壁圆筒,当内压较小时,圆筒发生稳定的均匀膨胀变形;当内压大于某一临界值时,圆筒产生复杂的非均匀变形,其中一段膨胀变形很大,形如“灯泡”状,而另外部分仅仅是轻微膨胀[34~35],生物血管中形成的血管瘤就是一个典型的代
表例子,如图4所示。
图4血管瘤示意图
对不可压材料薄壁球壳或薄壁圆筒,总是可以借助于不可压条件得到变形模式函数,得到
积分形式的压力和变形之间的关系式[36~40]。
如对内、外半径分别为a和b,且受到内压p作用的广义不可压Ogden热弹性材料
W八一/『珀Zr-3]亠!
QTInT2c4(T—T/h-3)
r」T0
c3,c4为材料常数,T为温度场,T0为给定的参考温度的薄壁圆筒,有
|fr
%)
-v0^)+4c4(T-To-v)
dv
(18)
由上式得到相应的变形曲线,
在不同轴向拉伸情况下的变形曲线如图
对等温条件下壁厚(内外半径之比)为?
=0.7的圆筒
b
5所示[35]。
结合圆筒的能量比较曲线图6可知,当内压
小于某一局部极大值Pmax时,圆筒随着内压的增加而均匀膨胀;当内压大于极大值时,圆筒产
Pmin时,圆筒会达到第二个
生复杂的不稳定的非均匀变形;当圆筒的变形大于某一局部极小值
稳定的变形状态。
图5薄壁圆筒的变形曲线
图6薄壁圆筒的能量曲线
但对壁厚较厚的球壳或圆筒,则不存在不稳定的变形状态,内压总是随着球壳或圆筒变
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