全国优质课平面与平面垂直的判定.docx

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全国优质课平面与平面垂直的判定

《平面与平面垂直的判定》

（人教A版高中课标教材数学必修2）

平面与平面垂直的判定教学设计

一、教学内容解析：

1.教材的地位与作用：

本节课是人教A版必修2第2章第3节的第2课时，它是在直线与平面垂直的基础上，介绍二面角、二面角的平面角、面面垂直的定义及判定定理，本节课既是前面知识的巩固升华，又是后面研究线面、面面垂直性质的基础，在面面垂直的判定定理探究中有利于培养学生的空间想象能力、直观感知能力和逻辑推理能力，培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学核心素养，同时本节课体现了转化化归、类比归纳等数学思想，是高中立体几何课程中的重点课题之一。

2.教学重点、难点：

重点：

平面与平面垂直的判定定理及应用

难点：

二面角大小的度量

二、教学目标设置：

1.通过直观感受生活中的二面角实物图，抽象出二面角的概念，提高学生观察、分析、类比、化归能力，培养学生数学抽象核心素养。

2.通过分组合作探究作二面角的平面角的过程，达到利用平面角刻画二面角的目标，深化刻画空间角的唯一性思想方法，体验数学的严谨性，培养学生严谨的数学思维习惯和自我反思纠错习惯。

3.通过动手操作实验探究过程，归纳猜想出面面垂直的关键，再通过推理论证得出判定定理，提升学生归纳分析，猜想论证能力，培养学生逻辑推理、抽象概括数学核心素养。

4.通过运用定理的过程，达到巩固理解所学知识的目标，提高学生类比化归能力，培养学生降低空间维数的化归与转化的数学思想。

三、学生学情分析：

1.学生前面已经学习了面面平行以及线面垂直，有了知识储备，课前也已经预习了课本内容.

2.大部分同学已经具备了一定的空间想象能力、基本的逻辑推理思维、书写的规范性等.但是，本节课的教学难点在于探究二面角的平面角，学生不容易理解，通过小组合作探究，给出不同的解决方案，分析利弊，最终解决问题、加深理解，让学生体会数学的严谨性.

3.经过高一一年的学习，绝大多数同学能够积极主动地参与到课堂探究、讨论活动中.在知识建构的过程中，各小组能够很快形成自己的看法并主动推选出代表发言.小组间既有竞争又有合作，能够实现“生本愉悦课堂”，保证课堂的高效.

四、教学策略分析：

我采用启发引导、分组合作、讲练结合的教学方法，使学生形成“直观感知—操作确认—数学抽象—归纳猜想—严谨证明—灵活应用”的探究式学习方法，从而达到以学生为主体，教师为主导，师生共同发展的课堂教学效果.

为此我采用如下形式：

1.实物投影——现场投影学生作品，及时发现问题、解决问题，充分体现问题来自于学生、解决于学生，最终提高学生的能力.

2.教具——自制教具、现场演示门、打开着的书，尊重学生由直观感知到数学抽象的认知规律，充分体现数学源于生活又高于生活的基本理念.

3.各种制图软件的综合利用——巧妙地将几何画板及录屏软件结合使用，实现二面角的动态转动效果，既满足了学生直观感知的需要，又为培养学生数学抽象思维提供了帮助.

五、教学基本流程（总体设计）

从人类生产实践的需要引入二面角的有关概念

↓

构建二面角的的平面角

↓

直二面角

↓

平面与平面垂直

↓

平面与平面垂直的判定

↓

平面与平面垂直的应用

↓

课堂梳理

↓

布置作业

六、教学过程设计

（一）直观感知，形成概念

前面讨论了两个平面平行的问题，下面将要研究两个相交平面的位置关系．在生产实践中，有许多问题涉及到两个平面相交成一定角的情形，例如修筑水坝时，为了使水坝坚固，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球赤道平面成一定的角度．（教师用多媒体显示模型）

师：

生活中，你还能举出哪些问题涉及到两个平面相交呢？

生：

打开的门，门面与墙面成一定角度；翻开着的书，两个书页面成一定角度；打开着的笔记本电脑两个面也成一定角度．

课件展示实物图，将其命名为二面角，我们应该怎么理解二面角呢？

（设计意图：

从学生所熟悉的实际问题引入，使学生了解数学来源于实际生活；同时引导学生体会知识的形成过程，使学生从直观感知到理论抽象生成概念做铺垫，培养学生数学抽象核心素养．）

引导学生思考：

一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线．那么一个平面被平面中的一条直线分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．

师：

初中已经学过平面中的“角”是怎样定义的？

（教师用多媒体演示角的形成）

生：

从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角．

类比得出概念：

师：

你能根据平面中"角"的定义类比归纳得出平面与平面所成角的概念吗？

生：

从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形．（教师用自制教具演示二面角的形成）

（设计意图：

创设问题情境，引导学生充分思考，在结合教具演示，启发学生通过角的定义类比得出二面角的定义）

（二）动手操作，归纳确认

1．二面角的概念：

从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．（课件展示）

（1）二面角的画法

课件展示二面角实物图（打开着的笔记本电脑），让学生按照实物图作出直观图。

多媒体投影学生的作品，点评学生作品以及强调作图（二面角）的方法。

（设计意图：

通过让学生亲自动手作图学会画二面角，同时培养学生由实物图转化为直观图的直观想象核心素养，并通过师生点评激发学生创造美的精神。

）

（2）二面角的记法：

以直线

为棱，以

、

为半平面的二面角记作：

；

（设计意图：

教师用课件演示平面内的“角”与空间的“二面角”的联系与区别）

2．二面角的平面角

提出问题：

我们通常说“把门开大一些”“把门关小一些”（动手翻转门演示）．这说明二面角是有大小区分的．那么，如何去刻画二面角的大小呢？

（设计意图：

教师提出问题，激发学生的探索欲望，通过直观感知启发学生的创造性思维．）

引导联想：

异面直线所成角和线面角

师：

我们如何刻画异面直线所成角？

生：

将异面直线平移，平移后两相交直线所成的夹角即为异面直线所成角。

师：

我们如何刻画线面角？

生：

斜线与其在平面内的射影所成的夹角即为线面角。

师生总结：

我们在解决这两种空间角时，都是转化为平面角来刻画，且平面角的大小是唯一的。

那么，二面角也是空间角，我们能否也用平面角来刻画二面角呢？

（设计意图：

教师启发引导，让学生类比分析，分组探究）

分组探究

（一）二面角的平面角

组1：

在一个平面内取一点，过点作一条直线；再在另一个平面内取点作一条直线。

组2点评：

有两个问题，第一，二面角的两个面是半平面而不是平面；第二，这样操作得到的可能不是平面角。

（学生黑板演示说明）

组3：

过棱上一点在两个半平面内分别任意作一条射线。

组4点评：

这样操作虽然得到平面角，但是作出的平面角大小不唯一。

（学生黑板演示说明）

组5：

过棱上一点在两个半平面内分别作一条垂直于棱的射线。

师：

平面角的大小与顶点在棱上的位置有无关系?

师生总结：

无关，过不同的点做出的平面角都相等。

紧接着,教师多媒体动画展示二面角的平面角随着二面角张开幅度变化而变化过程。

这样作出的平面角符合我们的直观认识，其次，刻画二面角体现了唯一性，我们将其称为二面角的平面角。

（设计意图：

学生在参与探讨刻画二面角大小方法过程中，分组合作探究，生生之间、师生之间互相交流，共同讨论，变单向传递为多向交流，这样既发挥了学生主体作用，又有利于学生交流合作意识、自我反思纠错意识的形成和创新能力培养．

通过学生充分参与活动，酝酿议论，画图，归纳，指导学生在归纳的基础上升华．经过师生共同研讨，学生不仅学会了二面角的平面角的定义和二面角的度量方法，而且让学生体会了数学的严谨性，了解如何给数学概念下定义．

③通过小组抢答发言解决问题，既培养了学生的数学表达能力，又激发了学生的求知兴趣，培养了学生的探究式学习能力．）

现给出二面角的平面角的定义：

（课件出示定义）

二面角的平面角---取二面角的棱上任意一点

为垂足，过点

在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

（师生共同总结归纳）二面角的平面角必须具备三个条件：

（1）角的顶点在棱上

（2）角的两边分别在两个半平面内（3）角的两边分别与棱垂直．

教师强调：

（1）二面角的平面角的范围是

，当两个半平面重合时，平面角为

；当两个半平面合成一个平面时，平面角为

．

（2）引入直二面角（课件展示正方体中两个相邻平面所成的二面角，启发学生直观感知生成概念，进而引入面面垂直）

3．平面与平面垂直

定义：

一般地，两个平面相交，如果两个平面所成二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.如图，

记作：

师：

生活中，平面与平面垂直的例子有哪些？

生：

墙面与地面，门面与地面等

我们可以用定义判断面面垂直，接下来我们一起来探究判断面面垂直的另一种方法：

探究

（二）面面垂直的判定定理

数学实验

（一）：

将展开着的书竖立放置在水平桌面上，观察各页面与水平桌面的位置关系，发现共性。

组1：

各页面都与桌面垂直，并且书棱线也垂直于地面，书棱线在每一个页面内。

数学实验

（二）：

将展开着的书平铺在水平桌面上（使得有页面与桌面垂直，有页面斜交不垂直），观察垂直与不垂直的区别。

组2：

垂直的页面能找到页边线垂直于桌面，而不垂直的页面里找不到任何线能垂直于桌面。

师：

通过归纳实验，猜想满足什么条件才能使得面面垂直？

（设计意图：

通过自己亲自动手实验，合作操作经历，再通过观察—归纳猜想得出结论，培养学生合情推理，数学抽象能力。

） 

4.发展理性思维，严谨证明

猜想：

一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则这两个平面垂直

引导学生用面面垂直的定义证明命题的真实性。

（设计意图：

通过猜想—推理论证，体会数学的严谨性，培养学生严谨的数学思维习惯，深化逻辑推理核心素养。

）

5.平面与平面垂直的判定定理：

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．简称：

线面垂直，则面面垂直。

启发学生用符号语言表达判定定理

符号语言：

（设计意图：

培养学生用符号语言表达数学的能力）

（三）巩固理解，知识深化

例1.判断题

（1）如果平面

内有一条直线垂直于平面

内的一条直线，则

（2）如果平面

内有一条直线垂直于平面

内的无数条直线，则

（3）如果平面

内有一条直线垂直于平面

内的两条相交直线，则

（4）若

则

（设计意图：

学生动手操作，举出反例，既巩固了知识又培养了学生的严谨的数学思维）

例2：

如下图，

是圆

的直径，

垂直于圆

所在的平面，

是圆周上不同于

的任意一点，求证：

师：

分析还有哪些面面垂直？

（引导提出问题）变式：

．

（设计意图：

启发学生善于提出问题，独立思考解决问题，学会逻辑推理以及数学语言表达能力）

分析：

线线垂直线面垂直面面垂直

（四）学生回顾，课堂小结

学生从三个层面总结本节课的收获：

①知识层面；②思想方法层面；③能力情感层面。

教师引导学生自己总结，交流分享本节课的收获，串联知识脉络，体会整堂课所用到的思想方法以及能力体现.

附：

板书设计：

（五）课外作业见教材第41页1,2题

主板

课件展示

副板

（六）板书设计

七、课堂教学目标检测

引导学生对照课堂内容，回扣目标、突出重点，知识应用、查漏补缺，自我评价、自我反思.

八、教学反思

通过本节课的教学，对新课标下的课堂有了如下的认识：

（一）注重知识的形成过程

新课标强调“直观感知”，在教学中教师要善于引导学生从熟悉的事物、现象出发，引导学生用数学眼光看待周围的事物。

通过动手操作、实验活动等让学生去经历、感受、体会，在获得大量的直接经验的基础上去发现知识，总结方法，提升能力。

本课通过引导学生例举开门、翻书动作形成平面所成角的基础上，再由折纸活动让学生感知二面角的概念。

使抽象知识直观化，符合学生的认知规律。

（二）注重温故而知新

在学习新知识时，要重视联想、类比有关的旧知识，辩清它们的区别和联系，进而达到知识或方法的同化。

本课类比1：

对平面中“角”的定义类比得出二面角的概念；类比2：

回顾利用平面角唯一刻画“异面直线所成的角”“直线和平面所成的角”的方法，类比，学生探究出利用二面角的平面角刻画二面角的大小，从而达到高效地突破教学难点。

（三）注重课堂活动的多样性

新的教学理念希望给学生营造一个民主、和谐的学习氛围，培养学生自主探究、参与合作的学习方式，全面发展学生的实践与创新能力。

活动有学生的自己动手画图、摆书；提问方式有个体、小组、群体提问；合作方式有同桌交流，四人小组实验；教具有多媒体、教室的门、学生的书、硬纸板。

本课在课堂教学中保证学生参与教学活动的时间和空间，抓住学生的学习兴趣、求知欲、成就感等积极因素，积极培养学生观察、发现、操作、画图、表达等多方面的能力。

（四）注重数学思维的培养

新课标提出高中数学应注重提高学生的数学思维能力。

本课在概念的构建过程中，通过直观观察到动手操作，归纳推理，提升了学生的数学思维能力，培养了学生的逻辑推理，数学抽象等核心素养。

（五）注重对教材的开发使用

新教材在问题设置、数学知识的形成、习题设置、数学的应用等方面设计轻巧，因此教师在平时备课中不但要吃透教材，而且要尽量地搜集与教材有关的知识，制作与教材有关的教具，辅助教学，提高教学效果。

基于本节课的教学，教学重点是面面垂直的判定，对判定定理的得出与理解学生没有难度。

但教学难点是用二面角的平面角来刻画二面角学生不易理解，整个教学容量比较大，致使整节课教学时间紧张，时间安排可能不太科学，比如，前面二面角及其平面角占用时间过多，后面教学重点略显紧凑，留给学生的探究与反思时间较少，这样不利于学生能力与思维的培养，希望在以后的教学中改进。