整理高等数学同济第七版7版下册习题全解.docx
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y
2
D2
—1
O
iT
—2
图10—1
数,故
/,=Jj(x2+y1)3d(j=2jj(x2+y1)3dcr。
fhi)i
又由于d3关于;t轴对称,被积函数(/+r2)3关于y是偶函数,故jj(x2+j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2.
Dy1):
从而得
/,=4/2。
(2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意:
如果积分区域关于^轴对称,而被积函数/(x,y)关于y是奇函数,即fix,—y)=-f(x,y),PJ
jf/(x,y)da=0;
D
如果积分区域D关于:
k轴对称,而被积函数/(x,y)关于:
c是奇函数,即
/(~x,y)=-/(太,y),则
=0.
D
«3。
利用二重积分定义证明:
(1)jjda=(其中(7为的面积);
IJ
(2)JJ/c/(X,y)drr=Aj|y'(a:
,y)do■(其中A:
为常数);
on
(3)JJ/(x,y)clcr=JJ/(x,y)drr+jJ/(x,y)dcr,其中/)=/)!
U/)2,,A为两个
I)b\lh
尤公共内点的WK域.
证(丨)由于被枳函数。
/U,y)=1,故山二t积分定义得
n"
jj’ltr=Hmy^/(,rji)A〈r,=lim^Ac,
=limcr=a.
A-0
n
(2)Ji/(x,j)(Ic7=lim^
i)1
n
=Alimy/(^(,i7,)A(7—,=k\\f{x,y)Aa。
A—°台•{!
(3)因为函数/U,y)在闭区域/)上可积,故不论把£»怎样分割,积分和的极限总是不变的。
因此在分割D时,可以使和/)2的公共边界永远是一条分割线。
这样fix.y)在AUD2上的积分和就等于&上的积分和加D2上的积分和,记为
^/(^,,17,)Act,=^/(^,,17,)Act,+^/(^,,17,)Act,。
/)(U0,",l):
令所有的直径的最大值A-0,上式两端同时取极限,即得Jf(x,y)i\a=jjf(x,y)da+JJ/(xfy)da.
p,un}V,n;
Sa4。
试确定积分区域/),使二重积分][(1-2x2—y2)d«ly达到最大值。
I)
解由二重积分的性质可知,当积分区域/>包含了所有使被积函数1-2。
v2-V2大于等于零的点,而不包含使被积函数1-2/-y2小于零的点,即当£»是椭圆2/+y2=l所围的平面闭区域时,此二重积分的值达到最大.
&5.根据二重积分的性质,比较下列积分的大小:
(1)Ju+y)2山7与J[U,其中积分区域D是由x轴、^轴与直线A+。
、=
DI)
1所围成;
(2)J(x+7)2如与■,其中积分区域0是由圆周(。
r—2)2+(。
v-l)2=
t)n
2所围成;
(3)I'mA;+y)(lor与!
”[In(X+y)]2(1(7,其中Z>是三角形闭K域,三顶点分别为
l)”
(1,0),(1,1),(2,0);
(4)Jpn(:
r+y)dcr与In(:
t+y)]2fW,其中/)=|(.r,。
v)|3,0彡、彡1。
i)i)
解
(1)在积分K域0上,故有
(x+j)3^(x+y)2。
根据二重积分的性质4,可得
J(.r+y)\lrx^J(.\+v)
0D
(2)由于积分区域0位于半平面|(a:
,V)|.V+•、彡11内,故在/)|:
&(。
f+y)2彡(a+y)3•从『("•J(v+>):
drr^jj(x+y)\lfr。
(3)由于积分区域D位于条形区域1U,y)|1彡1+7彡2丨内,故知区域/)上的点满足0彡InU+y)彡1,从而有[lnU+y)]2彡lnU+.y).因此
jj[ln(a:
+y)]2(Jo-^+y)d
(4)由于积分区域/)位于半平面丨(x,y)|.v+y彡e|内,故在Z)上有ln(x+y)彡1,从而:
In(—v+)')]2彡In(:
c+)')。
因此
Jj^1n(。
r+y)]2dcr^Jln(x+y)da。
i)a
36.利用二重积分的性质估计下列积分的值:
(1)/=|^7(文+7)心,其中/)=\(x,y)1,01|;
n
(2)/=j^sin^sin^do■,其中/)=j(a:
,y)|0^^^tt,0^y^tt1;
i)
(3)/=J*(A:
+y+l)d(7,其中/〉={{x,y)|0^x^l,0^j^2[;
it
(4)/=J(x2+4y2+9)do•,其中D=\{x,y)\x2+y2^4|.
I)
解
(1)在积分区域D上,0矣;<:
矣1,0英y矣1,从而0矣巧•(*+y)矣2•又£»的面积等于1,因此
(2)在积分区域/)上,0矣sinj:
矣1,0^sin1,从而0彡sin2A:
sin2y彡1,又0的面积等于tt2,W此
(3)
在积分K域”上有\^x+y+\«4,/)的而积等于2,因此
(4)W为在积分K域/〉»上有0矣;t2+y2苳4,所以有
9^+4r2+9^4(x2+y2)+9矣25。
34I)的酣枳等于4tt,W此
36tt^[[(x2+4/+9)(Ur^lOO-ir.
二重积分的计算法
。
^1.计算下列二甩积分:
(2)l<3x十2);dcr,其中”是由两坐标轴及直线—X-+v=2听围成的闭区域;
b
(3Jjj(xJ+3x2\+v3)da,其中D=(x,v)0^a:
^1。
0^v^1;
u
(4)jjxcas(X+Yjdo■,其中Z>是顶点分别为(0.0j<77,0)和(77,77)的三角形闭
区域。
m(1
(x24-V2)d(T=fdxf(X2-hV2)dV
dx
jfh
(2)D可用不等式表示为
于是
2r2-x
3xy+y2]l~xdx=|(4+2x-2x2)dx
20
(3)
(+3x2y+y3)da=d>(文3+3.r2v+、、)ch.
+xy+v"jc
di
(4)l)可用不等式表示为
0^V^A:
0^.t^7T。
于是
|a:
cos(jc+y)da=Icos(.v+v)di
[sin(。
t+y)]q()^=Jv(sin2.v-sin.v)〈1xx(\(cos.v—丄(.<,s2。
v)
卜(
1X(—
TTrTX
cos.v——rus
TT。
&2._出枳分ix:
域,斤i卜r):
v列m分:
(1)J^^do■,其中/)是由两条抛物线7=v^,y=*2所围成的闭区域;
D
(2)jfxy2dcr,其中D是由圆周x2+J2=4及y轴所围成的右半闭区域;
I)
(3)JV+’dcr,其中/)=I(%,)•)||A;|+|J|^1!
;
D
(4)|”U2+/-x) l、y二xh: 2*所围成的闭区域. D 解 (1)0可用不等式表示为 x2^y^J^,0矣x矣1(图10—2)。 于是 (2) 0«^^/4-y2,-2矣7矣2(图10-3), D可用不等式表示为 (3)如阁I()—4,W=/\U"2,其中 />1=\(x,y)\—x-\^y^Jc+1,—1^a;^0|, I)2=\(x,y)|*—1+ 因此 Ea3。 如果二重积分|/(。 r,y)心办的被积函数/(x,v)是两个函数/](O及)的乘 n 积,即/(X,y)=f\(x)。 /“y),积分区域/)={(。 V,y)I(1^V^/〉,r^,证叫 这个二重积分等于两个单积分的乘枳,即 |*/|U)-/2(r)flatly=[J/,(。 v)(l.v]-[[/: (>)^v]- 证Jj./1(x)•。 ,2(/)dvdV~J[fJ\(v)■。 /: t^]l^x* 在上式右端的第一次单枳分f/,(.V)•/2(.V)dv中,./,(A。 )1Jfut变招: 、无关,nn见为常数提到积分5外,W此上式“端笏T 而在这个积分中,由于f/2(y)dy为常数,故又可提到积分号外,从而得到 •f2<,y)^xAy=[|/2(y)dj]—[Jn/,(x)dx] 证毕. ^4。 化二重积分 /=Jf(x,y)da I) 为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分),其中积分区域£>是: (1)由直线及抛物线y2=4x所围成的闭区域; (2)由x轴及半圆周/+y2=r2(y英0)所围成的闭区域; (3)由直线y=x,;c=2及双曲线: k=^—(*〉0)所围成的闭区域; X (4)环形闭区域IU,y)|1+y2^4(。 解 (1)直线y=x及抛物线y2=4;c的交点为(0,0)和(4,4)(图10-6)。 于是 fix /=j[dy^/(*,y)tk. f(x,y)dy, (2)将/)用不等式表示'fyO^y^r2-x2,—r^W/•,于是可将/化为如下的先对y、后对*的二次积分: r /=J(1文Jf(x,y)(\y; 如将0叫不等式表示为~Vr2-y2^x^Vr2—y2,0各/•,则可将/化为如卜的先对*、后对y的二次枳分: dr x,y)dx。 (3)如图10-7. : 条边界曲线两两相交,先求得3个交点为(1,1),2,y和 (2,2).于是 dy(i_/(^,y)+tlj/(x,y)dx。 |dxj[f(x,y)dy. 注本题说明,将二重积分化为二次积分时,需注意根据积分区域的边界曲线的情况,选取恰当的积分次序。 本题中的积分区域/)的上、下边界曲线均分别由—个方程给出,而左边界曲线却分为两段,由两个不同的方程给出,在这种情况下采取先对y、后对^的积分次序比较有利,这样只需做一个二次积分,而如果采用相反的枳分次序则需计算两个二次积分。 需要指出,选择积分次序时,还需考虑被积函数/U,y)的特点。 具体例子n]’见教材下册第144页上的例2。 dx •\/4 J\xyy)dy+d.vl (1% /T /(A: ,y)clr+d。 vl ■ya—x2 /(.r,v)d>—f/(.vVv)dv。 /(。 v,v)d.v—f 。 \/4—、 /(\,〉)d.v—f 厂、/4-、•’ •I -v^W" /(v,y)(l.\。 (4)将D按图10—8(a)和图10-8(1〉)的两种不同方式則分为4块,分別得 图10-8 5.设/U,y)在D上连续,其中/)是由直线;==所围成的闭区 域,证明 x,r)d。 t。 dx|f(x,y)Ay 证等式两端的二次积分均等于二重积分J/U,y)do•,因而它们相等。 I) ^6。 改换下列二次积分的积分次序: (5)(lx\f{x,y)Ay\ 广2fyix—x2 (4)|叫2f{x,y)dy—, fix/-sinx (6)IAx\J(x,y)Ay。 JOJ—siny (2)J)dj|: f(x,y)dx; 解(丨)所给二次积分等于二重积分J[/U,;k)(^,其中o=丨h,y)1°^^^r— ” 0^j^I(。 />n|■改写为|Uj)|*矣y矣1,0^^I|(罔10—9),于是 原式=丄 (2)所给一。 次枳分等于二’Ti积分|/U,y)山,.K: 中/)=I|。 y2^^<2y, 0 0^21。 MI)njm为{u'y)I音矣j^7^,0^x在4)(1冬11(>—I0),W此 原式=J,i\xjy/(x,y)i\y。 (3)所给二次积分等于二重积分.其中D=: (.v。 v)|—V1 -y2^ .V^1 $、飞 V彡1 U X^J1—y2,0彡〉•彡1;•又D可表示为: (JC,)*)丨0彡y彡V1—。 r2,-1=(图10—11),因此 f1fV1—X~ 原式=J^dxj/(x,v)dy. (4)所给二次积分等于二重积分其中D=: (.v。 v)'2— h s/lx-x1%\彡.r彡2: 。 又D可表示为: (a: v)|2—1彡。 t•彡1+Y1—v2,0: (图10-12),故 原式=丄d)jf(x%y)dx. (5)所给二次积分等于二重积分]|/(.10)(1^,)1: 中/)=1(.v.v)|0^v^ I) x彡e|•又/)可表示为|(a: ,>•)|e、彡a•彡e,0彡、彡1i(|劄10-1,故 原式=L(I。 、|,./X.、,。 、)(l.v。 (6)m1()-14,将积分|〉<: 域/)丧示为/),U/)2,其中A),=jU,、)|arcsin>^ /(x,y)dx. y 广1rir-arcsin〉 原式=Idyf(xyy)c\x JOJarcsin) tt—arcsiny,0彡y彡1|1,D2=|(.r,y) 一2arcsin,一1彡)'彡0|。 于是 ^7.设平面薄片所占的闭区域D由直线;t=2,y=和;r轴所围成,它的面密度 /x(。 t,v)=x2+y2,求该薄片的质量。 解D如图10-15所示.所求薄片的质 rt —x+xy dr M=jJ/Lt(x9y)dcr=^dyj(x2+y2)dx Ay r[+(2”)3+2, ~d\2x 12 |冬|10-15 c\)’'ixe|o»•Y=sinA的反闲数足A=iirrs»My—-1x 足ihy—hinx=sin(tt—x)”n! Jtt—x^arcKiny,从ifii得反闲数^ (子•中,TT tt—iin—Hiny。 8。 i|灯|l|四个平而a: =0,y=0,;t=I,v=I所闲成的柱休被平面z=0及2.r+3y+z6藏得的立休的体积. 解江力一EJ.它? ? 芪是;c0: 。 S二苎泛7: 省•。 =X。 ;,0矣二矣 0^;.€1。 了是芒—2x-3: 。 F10—]6。 g-护不二歹 l=|(6—2j: -3;。 dxdv=dx6—lx—5•.d’. Sa9.求由平面a: =0,y=0,^+: ,•=]所围成的柱体被平面z=0及拉物面;c: ,: 。 : =6—: £.得的」/。 体的体积. 解此立体为一曲顶柱体,它的底是xOv面上的闭区域D=。 0«^1—: ,。 ,顶是曲面Z=f)-〈x2+y2)(^\10—17〉,故体积 V—(I6-^x2+y2)dx(\y 6(1-x)-x2+—-f1 广1广1—戈 dx^(6—x~ \1_ 6"* 10—17 m10-18 H.r 这10.求由曲面+2/及z=6-2x2_y2所围成的立体的体积。 _2^2 解由=T+'}’消去z,得;c2+y2=2,故所求立体在面上的投影U=6-2x2-j2 区域为 D=|(x,y)|x2+〆矣2|(图10—18).所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差: V=(6—2x2—y2)dcr—x2+2y2)dcr l)I) =JJ(6—3^r2—3y2)da=jj(6-3p2)pdpd0 /—2tt d0[(6—3p2)pdp=6tt. 注求类似于第8,9,10题中这样的立体体积时,并不一定要画出立体的准确图形,但一定要会求出立体在坐标面上的投影区域,并知道立体的底和顶的方程,这就需要复习和掌握第八章中学过的空间解析几何的有关知识• y11.両出积分区域,把积分J[/(A: ,y)d;cdy表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区 U 域D是: (1)\(xyy)\X2+y2^a2I(a〉0); (2)|{xyy)\x2+y2^2^|; (3)|(x,y)|a2彡x2+y1彡62|,其中0〈a<6; (4)j(xyy)|0^j^1-x,0^x1|。 解 (1)如图10—19,在极坐标系中,0=|(p,0)|0彡p彡a,0彡(9彡2tt1,故 ^j\x,y)AxAy-jj/(pcos0,psin6)pdpd0 /-2tTr〈l (1^1/(pcos0,psin0)pAp. (2)如图10-20,在极坐标系中, l)=(p,0) jjy(x,y)dxdy=jj/(pcos0,pain0)pdpdO i)i) -y*y。 2coH0 =J,d^j)/(pros0,psin6»)p (3)如图10—21,在极坐标系中,/)=\(p,6、彡p彡/),0彡0彡2tt,故 =J/(pcos0,psin0)pdpd0 /—2—it (id/(pros0,psin0)pdp. (4)D如图10—22所示.在极坐标系中,直线x 的方程为p sin0+cos0 -于是 sin6+cos62J f(x,y)dxdy=jj/(pcos0,psin6)pdpd0n V C,in•n« ^/(pcos0,psin6)pdp. )\ p=b (r P=^\ —bl—aVO jyhx 10—22 图10—21 12.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分: (1)丄心丄/(d’HIv; 2>/3\ (2)(|.vf/(/r’+v2) 解 (1)如图10—23,用直线7=*将积分区域£>分成£〉1,102两部分: {(p,0) (p,e) 于是 l—X,sec6rYrcsc8 原式=[d0[_/(pcos6,psin6)pdp+Ld^l/(pcos0,psind)pdp。 (2)D如图10-24所示。 在极坐标系中,直线x=2,射线和;r=^x(x^0)的方程分别是p=2sec6,6=•^和0=•因此 |(pyO) 0^p^2sece,f^6^f}。 又f(Vx2+y2)=f(p),于是 f—Yy.2sec0 原式=d0j)/(p)pdp— (3)D如图1()-25所示。 在极坐标系中,直线;K=1_x的方程为P= 1,圆;k=—/l—x2的方程为p=1,因此 sin0+cos6 (p,e) 原式 sin0+cos6 于是 /(pcos6,psin0)pdp。 (4) /)如图10-26所示.在极坐标系中,直线*=1的方程是/〉=sec心抛物线y=/的方程是psin0=p2c: os2(9,即p=tan伽e(.0;从原点到两者的交点的射线是沒= rTrser0 D=<(p,6) 7T 于是 JlanO^ec0 原式=[d沒/(pcos6,psin6)pdp. ("A .s/lax ‘A: + y2)dj; rti。 v; (3)[dxi(x2+/)—了dy (4)d> (.r2+y2)cIa 解 (1)积分区域D如图10-27所示。 在极坐标系中, 0=ip,6) 0^p^2aros0,0^L 于是 r2/*2fl〈’OSf)/•j•—*4 原式=ideip2’pdp=i 4aA[c(、s40(W=4aA IT i\0 注在多元函数积分学的计算题中,常会遇到定枳分sin’4如和j/,—os^,)^.|M此i己住如下的结果是有益的
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