高考数学必考考点题型大盘点.docx
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高考数学必考考点题型大盘点
高考数学必考考点题型大盘点
命题热点一集合与常用逻辑用语
集合这一知识点是高考每年的必考内容,对集合的考查主要有三个方面:
一是集合的运
算,二是集合间的关系,三是集合语言的运用.在试卷中一般以选择题的形式出现,属于容
易题.集合知识经常与函数、方程、不等式等知识交汇在一起命题,因此应注意相关知识在
解题中的应用.
常用逻辑用语也是每年高考的必考内容,重点考查:
充分必要条件的推理判断、四种
命题及其相互关系、全称命题与特称命题等,在试卷中一般以选择题的形式出现,属于容易
题和中档题,这个考点的试题除了考查常用逻辑用语本身的有关概念与方法,还与其他数学
知识联系在一起,所以还要注意知识的灵活运用。
预测1.已知集合
2
Ax|2xx0,集合B(a,b),且BA,则ab的取
值范围是
A.(2,)B.[2,)C.(,2)D.(,2]
解析:
化简A得
2
Ax|2xx0x|0x2,由于BA,所以
a
b
0
2
,
于是ab2,即ab的取值范围是[2,),故选B.
动向解读:
本题考查集合间的关系,考查子集的概念与应用、不等式的性质等,解答
时注意对集合进行合理的化简.
预测2.若集合
1
Ax|2,xR
x
,
Bx|ylog(1x),则AB等于
3
A.B.
1
(,1)
2
C.
1
(,0)(,1)
2
D.
1
(,1]
2
解析:
依题意
1
Axx或xBxx,所以AB
|0,|1
2
1
(,0)(,1)
2
.
故选C.
动向解读:
本题考查集合的基本运算、函数的定义域、不等式的解法等问题,是高考
的热点题型.在解决与函数定义域、值域、不等式解集相关的集合问题时,要注意充分利用
数轴这一重要工具,通过数形结合的方法进行求解.
预测3.已知命题:
[0,],cos2cos0
pxxxm为真命题,则实数m的取值范
2
围是
A.
9
[,1]
8
B.
9
[,2]
8
C.[1,2]D.
9
[,)
8
解析:
依题意,cos2xcosxm0在[0,]
x上恒成立,即cos2xcosxm.
2
令
2129
f(x)cos2xcosx2cosxcosx12(cosx),由于x[0,],所以
482
cosx[0,1],于是f(x)[1,2],因此实数m的取值范围是[1,2],故选C.
动向解读:
本题考查全称命题与特称命题及其真假判断,对于一个全称命题,要说明
它是真命题,需要经过严格的逻辑推理与证明,要说明它是一个假命题,只要举出一个反
例即可;而对于特称命题,要说明它是一个真命题,只要找到一个值使其成立即可,而要
说明它是一个假命题,则应进行逻辑推理与证明.
预测4.“a0”是“不等式
20
xax对任意实数x恒成立”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
不等式
20
xax对任意实数x恒成立,则有
2
(a)a0,又因为
a0,所以必有a0,故“a0”是“不等式
20
xax对任意实数x恒成立”的
必要不充分条件.故选B.
动向解读:
本题考查充分必要条件的推理判断,这是高考的一个热点题型,因为这类
问题不仅能够考查逻辑用语中的有关概念与方法,还能较好地考查其他相关的数学知识,
是一个知识交汇的重要载体.解答这类问题时要明确充分条件、必要条件、充要条件的概念,
更重要的是要善于列举反例.
命题热点二函数与导数
函数是高中数学的主线,是高考考查的重点内容,主要考查:
函数的定义域与值域、函
数的性质、函数与方程、基本初等函数、函数的应用等,在高考试卷中,一般以选择题和填
空题的形式考查函数的性质、函数与方程、基本初等函数等,以解答题的形式与导数交汇在
一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识.其中函数与方程思
想、数形结合思想等都是考考查的热点.
高考对导数的考查主要有以下几个方面:
一是考查导数的运算与导数的几何意义,二是
考查导数的简单应用,例如求函数的单调区间、极值与最值等,三是考查导数的综合应用.
导数的几何意义以及简单应用通常以客观题的形式出现,属于容易题和中档题;而对于导数
的综合应用,则主要是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式进行考查,例如
一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题.
2
预测1.函数f(x)x2axa
在区间(,1)上有最小值,则函数
g
f(x)
(x)在
x
区间(1,)上一定
A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数
解析:
函数f(x)图像的对称轴为xa,依题意有a1,所以
f(x)a
g(x)x2a
xx
,g(x)在(0,a)上递减,在(a,)上递增,故g(x)在
(1,)上也递增,无最值,选D.
动向解读:
本题考查二次函数、不等式以及函数的最值问题.对于二次函数,高考有着
较高的考查要求,应熟练掌握二次函数及其有关问题的解法.在研究函数的单调性以及最值
p
问题时,要善于运用基本不等式以及函数(0)
yxp
x
的单调性进行求解.
预测2.如图,当参数分别取1,2时,函数
2x
f(x)(x0)
1x
的部分图像分别对
应曲线
C1,C2,则有
A.012B.021C.120D.210
2x
解析:
由于函数f(x)
的图像在[0,)上连续不间断,所以必有
1x
10,20.
又因为当x1时,由图像可知
22
11
12
,故12,所以选A.
动向解读:
本题考查函数的图像问题,这是高考考查的热点题型,其特点是给出函数
图象,求函数解析式或确定其中的参数取值范围.解决这类问题时,要善于根据函数图象分
析研究函数的性质,从定义域、值域、对称性、单调性、经过的特殊点等方面获取函数的
性质,从而确定函数的解析式或其中的参数取值范围.
x
预测3.已知函数f(x)emx的图像为曲线C,若曲线C不存在与直线
1
yx垂
2
直的切线,则实数m的取值范围是
A.
1
mB.
2
1
mC.m2D.m2
2
解析:
fxem,曲线C不存在与直线'()x
'()x
1
yx垂直的切线,即曲线C不存在斜
2
率等于2的切线,亦即方程exm2无解,exm2,故m20,因此m2.
动向解读:
本题考查导数的几何意义,这是高考对导数考查的一个重要内容和热点内
容,涉及曲线的切线问题都可考虑利用导数的几何意义解决,求解这类问题时,要始终以
“切点”为核心,并注意对问题进行转化.
预测4.(理科)已知函数为R上的单调函数,则实数a的取值范围是
A.[1,0)B.(0,)C.[2,0)D.(,2)
a0
解析:
若f(x)在R上单调递增,则有a20,a无解;若f(x)在R上单调递减,
a21
a0
则有a20
,解得1a0,综上实数a的取值范围是[1,0).故选A.
a21
动向解读:
本题考查分段函数、函数的单调性以及分类讨论思想,这些都是高考的重
要考点.解决这类问题时,要特别注意:
分段函数在R上单调递增(减),不仅要求函数在
每一段上都要单调递增(减),还应满足函数在分段点左侧的函数值不大于(不小于)分段
点右侧的函数值.
(文科)已知函数
fx
210
axx
x
(a2)ex0
为R上的单调函数,则实数a的取值范
围是
A.(2,3]B.(2,)C.(,3]D.(2,3)
a0
解析:
若f(x)在R上单调递增,则有a20,解得2a3;若f(x)在R上单
a21
a0
调递减,则有
,a无解,综上实数a的取值范围是(2,3].a20
a21
动向解读:
本题考查分段函数、函数的单调性以及分类讨论思想,这些都是高考的重
要考点.解决这类问题时,要特别注意:
分段函数在R上单调递增(减),不仅要求函数在
每一段上都要单调递增(减),还应满足函数在分段点左侧的函数值不大于(不小于)分段
点右侧的函数值.
2bx
预测5.(理科)设函数f(x)xln
(1),其中b0.
(1)若b12,求f(x)
在[1,3]的最小值;
(2)如果f(x)在定义域内既有极大值又有极小值,求实数b的取值范围;
(3)是否存在最小的正整数N,使得当nN时,不等式
解析:
(1)由题意知,f(x)的定义域为(1,),
ln
n1n1
3
nn
恒成立.
b12时,由
当x[1,2)时,
2
/122x2x12
f(x)2x0
,得x2(x3舍去),
x1x1
fx,当x(2,3]时,fx,/()0/()0
/()0/()0
所以当x[1,2)时,f(x)单调递减;当x(2,3]时,f(x)单调递增,
所以
f(x)f
(2)412ln3;
min
(2)由题意
2
/b2x2xb
f(x)2x0
x1x1
在(1,)有两个不等实根,即
2
2x2xb0在(1,)有两个不等实根,
设g(x)
2
2x2xb,则
48b0
,解之得
g
(1)0
0
1
b;
2
2x3fxxxx
32
(3)对于函数fxxln
(1),令函数hxx()ln
(1),
则
32
13x(x1)
/2/x
hx3x,x[0,)时,0
2x当h,
x1x1
所以函数hx在[0,)上单调递增,又h(0)0,x(0,)时,恒有hxh(0)0,
1
2xx
3
即xln
(1)恒成立.取(0,)
x,则有
n
ln
n
111
23
nnn
恒成立.
显然,存在最小的正整数N=1,使得当nN时,不等式
ln
n
111
23
nnn
恒成立.
动向解读:
函数、导数、不等式的综合问题是近几年高考的一个热点题型,这类问题
以“参数处理”为主要特征,以“导数运用”为主要手段,以“函数的单调性、极值、最
值”为结合点,往往涉及到函数、导数、不等式、方程等多方面的知识,需要综合运用等
价转换、分类讨论、数形结合等重要数学思想方法.
a
(文科)已知函数()3ln
fxaxx
x
.
(1)当a2时,求函数f(x)的最小值;
(2)
若f(x)在[2,e]上单调递增,求实数a的取值范围.
解析:
(1)当a2时,
2
f(x)2x3lnx
x
,定义域为(0,).
'
f(x)2
2
232x3x2
22
xxx
,令
fx,得x2('()0
'()0
1
x舍去),当x变化时,
2
f(x),
fx的变化情况如下表:
'()
'()
x
2
(0,2)(2,)
fx'()
'()
0
递减极小值递增
f(x)
所以函数f(x)在x2时取得极小值,同时也是函数在定义域上的最小值f
(2)53ln2.
(2)由于
'
f(x)a
a
3
2
xx
,所以由题意知,
a3
'
f(x)a0
2
xx
在[2,e]上恒成立.
即
2
ax3xa
2
x
0
,所以
230
axxa在[2,e]上恒成立,即
a
3x
2
x
1
.
令
g(x)
3x
2
x
1
,而
'
g(x)
2
33x
22
(x1)
,当x[2,]e时
gx,所以g(x)在[2,e]上'()0
'()0
递减,故g(x)在[2,e]上得最大值为g
(2)2,因此要使
a
3x
2
x
恒成立,应有a2.
1
动向解读:
函数、导数、不等式的综合问题是近几年高考的一个热点题型,这类问题
以“参数处理”为主要特征,以“导数运用”为主要手段,以“函数的单调性、极值、最
值”为结合点,往往涉及到函数、导数、不等式、方程等多方面的知识,需要综合运用等
价转换、分类讨论、数形结合等重要数学思想方法.
命题热点三立体几何与空间向量
(理科)高考对立体几何与空间向量的考查主要有三个方面:
一是考查空间几何体的结
构特征、直观图与三视图;二是考查空间点、线、面之间的位置关系;三是考查利用空间向
量解决立体几何问题:
例如利用空间向量证明线面平行与垂直、利用空间向量求空间角等.
在高考试卷中,一般有1~2个客观题和一个解答题.多为容易题和中档题.
(文科)高考对立体几何的考查主要有两个方面:
一是考查空间几何体的结构特征、直
观图与三视图;二是考查空间点、线、面之间的位置关系,线面平行、垂直关系的证明等;
在高考试卷中,一般有1~2个客观题和一个解答题.多为容易题和中档题.
预测1.若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于
A.3B.2
C.23D.6
解析:
由正视图可知该三棱柱的底面边长等于2,高是1,所以其侧面积等于
S3216,故选D.
动向解读:
三视图是高考的热点内容,几乎每年必考,除了考查对简单几何体的三视
图的判断外,更多地是以三视图为载体考查几何体的体积、表面积的计算,在由三视图中
给出的数据得出原几何体的有关数据时,要充分利用三视图“主左一样高、主俯一样长、
俯左一样宽”的性质.
预测2.平面与平面相交,直线m,则下列命题中正确的是
A.内必存在直线与m平行,且存在直线与m垂直
B.内不一定存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直
C.内不一定存在直线与m平行,但必存在直线与m垂直
D.内必存在直线与m平行,却不一定存在直线与m垂直
解析:
假设l,由于m,所以必有ml,因此在内必存在直线l与m
垂直;当时,可存在直线与m平行,当与不垂直时,在内一定不存在直线与
m平行.故选B.
动向解读:
本题考查空间中线面、面面的平行与垂直关系的判断,其特点是以符号语
言给出,考查对相关定理的理解与运用,解决这类问题时,要熟练掌握相关的定理,善于
利用一些常见的几何体作为模型进行判断,还要善于举出反例对命题进行否定.
预测3.(理科)正△ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E,F分别是AC和BC边
的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角ADCB.
(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;
(2)求二面角EDFC的余弦值;
(3)在线段BC上是否存在一点P,使APDE?
证明你的结论.
A
A
E
E
DC
D
C
F
F
B
B
解:
法一:
(I)如图:
在△ABC中,由E、F分别是AC、BC中点,得EF//AB,
又AB平面DEF,EF平面DEF,∴AB∥平面DEF.
(II)∵AD⊥CD,BD⊥CD,∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角,
∴AD⊥BD,∴AD⊥平面BCD,取CD的中点M,这时EM∥AD,∴EM⊥平面BCD,
过M作MN⊥DF于点N,连结EN,则EN⊥DF,
∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角.
在Rt△EMN中,EM=1,MN=
3
2
,∴tan∠MNE=
23
3
,cos∠MNE=
21
7
.
(Ⅲ)在线段BC上存在点P,使AP⊥DE,
1
证明如下:
在线段BC上取点P。
使BPBC
3
,过P作PQ⊥CD与点Q,
123
∴PQ⊥平面ACD∵
DQDC在等边△ADE中,∠DAQ=30°
33
∴AQ⊥DE∴AP⊥DE.
法二:
(Ⅱ)以点D为坐标原点,直线DB、DC为x轴、y轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,2)B(2,0,0)C(0,23,0,),E(0,3,1),F(1,3,0).
平面CDF的法向量为DA(0,0,2)设平面EDF的法向量为n(x,y,z),
则
DF
DE
n
n
0
0
x3y0
即取n(3,3,3),
3yz0
cos
DAn21
DA,n,所以二面角E—DF—C的余弦值为
7
|DA||n|
21
7
;
z
A
E
C
D
F
P
B
x
(Ⅲ)设
23
P(x,y,0),则APDE3y20y,
3
又BP(x2,y,0),PC(x,23y,0),
BP//PC(x2)(23y)xy3xy23
2341
把yxBPBC
代入上式得,
333
所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE.
动向解读:
本题主要考查空间向量在解决立体几何问题中的应用,这是每年高考的必
考内容,也是高考试卷中相对较为固定的考查模式,即以空间几何体为载体,考查空间中
直线与平面、平面与平面的平行关系与垂直关系的论证,考查空间中两异面直线所成的角、
直线与平面所成的角、二面角的求解等,有时还会以开放性的设问方式进行考查.这类问题
通常可以有两种解法,一是利用有关的定理与性质直接进行论证和求解,二是通过建立空
间直角坐标系,利用空间向量进行证明或计算.这类考题通常有2至3个小问题,在解答过
程要注意各个小问题结果之间的连贯性,这样可以简化解题过程,提高解题速度.
预测3.(文科)如图,平行四边形ABCD中,CD1,BCD60,且BDCD,正
F
E
方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直,G,H分别是DF,BE的中点.
G
(1)求证:
BD平面CDE;
AH
D
(2)求证:
GH//平面CDE;
BC
(3)求三棱锥DCEF的体积.
(Ⅰ)证明:
平面ADEF平面ABCD,交线为AD,
ED,∴ED平面ABCD,∴EDBD,
AD
又BDCD,∴BD平面CDE;
(Ⅱ)证明:
连结EA,则G是AE的中点,∴EAB中,GH//AB,又AB//CD,
∴GH//CD,∴GH//平面CDE;
11
(Ⅲ)解:
设RtBCD中BC边上的高为h,依题意:
13
2h
22
,
∴
h
3
2
,
即:
点C到平面DEF的距离为
3
2
,
∴
VDV
CEFC
DEF
1
3
1
2
22
3
2
3
3
.
动向解读:
本题主要考查立体几何中的综合问题,这是
- 配套讲稿:
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