河大高等数学下册期末考试题及答案.docx
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河大高等数学下册期末考试题及答案.docx
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河大高等数学下册期末考试题及答案
高等数学(下册)考试试卷
(一)
、填空题(每小题3分,共计24分)
1、
z=.Ioga(x2y2)(a0)的定义域为
D=
2、
重积分In(x2y2)dxdy的符号为
|x||y|1
3、由曲线ylnx及直线x
y1所围图形的面积用二重积分表示为
,其值
4、
设曲线L的参数方程表示为
(t)
(t)
(x),则弧长元素ds
5、
设曲面刀为x2
y29介于
2
3间的部分的外侧,贝U(x
y21)ds
6、
微分方程dy
dx
-tan丄的通解为
xx
7、
方程y⑷4y
0的通解为
级数
的和为
n1n(n1)
二、选择题(每小题2分,共计16分)1、二元函数zf(x,y)在(x°,y°)处可微的充分条件是(
(A)f(x,y)在(x°,y°)处连续;
(B)
fx(x,y),fy(x,y)在(Xo,yo)的某邻域内存在;
(C)
zfx(x0,y。
)x
fy(x0,y。
)y当..(x)2
y)2
0时,是无穷小;
(D)
lim
xI
fx(X0,y°)xfy(X0,y°)y
.(x)2(y)2
2、设u
/X、
yf()y
(A)x
y;
3、设
2:
X
y1
y
xf(),其中f具有二阶连续导数,则
x
0
0
(B)x;(C)y;(D)0
2
u
X2
x
22
yz1,z0,则三重积分I
zdV等于
(A)4jd
jd
13
0rsincosdr;
(B)
12
2ddrsin
000
dr;
2
(C)d
0
13
0rsincosdr;
(D)
2dd1r3sin
000
cosdr。
4、
球面x
222
z4a与柱面x
2ax所围成的立体体积
V=(
5、
6、
(A)
(C)
02d
02d
设有界闭区域
LPdx
Qdy
2acos
2acos
(A)
(C)
.4a2r2dr;
D由分段光滑曲线
r2dr;
L所围成,
(B)402d
(D)[d
2
2acos
2acos
r,4a2r2dr;
r4a2
r2dr。
L取正向,函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,
dU
p
(—
Dx
Q)dxdy;
x
Q
)dxdy;y
F列说法中错误的是(
(A)
方程xy
(B)
(D)
dE
(B)
(C)
方程(x2
2y
x鱼
dx
P
)dxdy;
x
P
—)dxdy。
y
x2y0是三阶微分方程;
ysinx是一阶微分方程;
2xy3)dx(y23x2y
)dy0是全微分方程;
(D)
-x勺是伯努利方程。
2x
2xy60平行,而y(x)满足微分方程
已知曲线yy(x)经过原点,且在原点处的切线与直线
y2y
5y0,则曲线的方程为y
(
)
(A)
x
esin2x;
(B)
x
e(sin2xcos2x);
(C)
ex(cos2xsin2x);
(D)
exsin2x。
&设limnun0,贝Uun(
)
n
n1
(A)收敛;(B)发散;
(C)不一定;
(D)绝对收敛。
三、求解下列问题(共计15分)
1、
(7分)设f,g均为连续可微函数。
f(x,xy),v
g(xxy),
2、
(8分)设u(x,t)
xt
tf(z)dz,
xt
四、求解下列问题(共计15分)。
1、计算I
22
dxe
0x
2
ydy。
(7分)
2、计算|
(x2
y2)dV,其中
是由x2y22z,Z
1及z2所围成的空间闭区域(8分)
五、(13分)
计算I
xdyydx
C
L22
Lxy
,其中L是xoy面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点0(0,0)的封
闭曲线的逆时针方向。
六、(9分)设对任意
x,y,f(x)满足方程f(xy)
丄血a,且f(0)存在,求f(x)。
1f(x)f(y)
2n1
七、(8分)求级数
n
(1)
1
na勺的收敛区间。
2n1
高等数学(下册)考试试卷
(二)
1、设2sin(x2y3z)
x2y3z,则-Z—
xy
叫
Hx
9.
xy
3、
2
dx
0
2x
f(x,y)dy,交换积分次序后,
4、
设f(u)为可微函数,且
f(0)
1
0,则lim—t0t3
X2
f(x2y2)d
t2
5、
设L为取正向的圆周x2
4,则曲线积分
Ly(yex
1)dx(2yexx)dy
6、设A
222
(xyz)i(yxz)j(z
xy)k,贝VdivA
7、通解为
x
yGe
C2e2x的微分方程是
二、选择题
(每小题
16分)。
1、设函数
f(x,y)
2
xy
~~24,
xy
x2
0,
x2
处(
(A)连续且偏导数存在;
(B)
连续但偏导数不存在;
(C)不连续但偏导数存在;
(D)
不连续且偏导数不存在。
2、设u(x,y)在平面有界区域
D上具有二阶连续偏导数,且满足
2u
2
u
-2
y
则(
(A)
最大值点和最小值点必定都在
D的内部;
(B)
最大值点和最小值点必定都在
D的边界上;
(C)
最大值点在D的内部,最小值点在
D的边界上;
(D)
最小值点在D的内部,最大值点在
D的边界上。
3、设平面区域D:
(x2)2
(y
1)21
若I1(xy)2d,
D
I2(xy)3d
D
则有(
(A)I1I2;
(B)
I1
(CI1I2;
(D)
不能比较。
4、设是由曲面z
xy,y
x,x
0所围成的空间区域,则
xy2z3dxdydz=(
(B)
1;
;
362
(C)
1;
;
363
(D)
5、设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,
x(t)
L的参数方程为
y(t)
(t),其中(t),
(t)在
[,]上具有一阶连续导数,且
2(t)
2(t)0,则曲线积分Lf(x,y)ds(
(A)
f((t),(t))dt;(B)
f((t),
2(t)dt
(C)
f((t),(t)).2(t)
2
2(t)dt;
(D)
f((t),(t))dt。
6、设
是取外侧的单位球面x2
则曲面积分
xdydzydzdx
zdxdy=(
(A)0;(B)
2;(C)
(D)4
7、下列方程中,设
yi,y是它的解,
可以推知力
y2也是它的解的方程是(
(A)y
p(x)y
q(x)0;
B)y
p(x)yq(x)y0;
(C)y
p(x)y
q(x)yf(x);
(D)
p(x)yq(x)0。
8设级数
an为一交错级数,则(
n1
(A)该级数必收敛;
(B)
该级数必发散;
(C)该级数可能收敛也可能发散;
(D)
若an0(n0),则必收敛。
三、求解下列问题(共计15分)
1、(8分)求函数uln(x
y2z2)在点A(0,1,0)沿A指向点B
(3,-2,2)
的方向的方向导数。
2、(7分)求函数f(x,y)
2
xy(4xy)在由直线xy6,y0,x
0所围成的闭区域D上的最大
值和最小值。
四、求解下列问题(共计15分)
1、(7分)计算|
dv
(1xy
3,其中是由x0,y0,z0及xyz1所围成的立体
z)
域。
2、(8分)设f(x)为连续函数,定义
222
F(t)[zf(xy)]dv.
其中
22
(x,y,z)|0zh,xy
t2,求。
dt
五、求解下列问题(15分)
、(8分)求I
L(exsinymy)dx(excosym)dy,其中
L是从
2
A(a,0)经y..axx至UO
0)的弧。
、(7分)计算|
x2dydzy2dzdxz2dxdy,其中是x2
z2(0za)的外侧。
六、
(15分)设函数
(X)具有连续的二阶导数,并使曲线积分
l[3(x)
2(x)
xe2x]ydx(x)dy与路径无关,求函数(x)。
高等数学(下册)考试试卷
、填空题
(每小题
3分,共计24分)
1、设u
yzt2
edt,
xz
则-
z
2、函数
f(x,y)xysin(x
2y)在点(0,0)处沿I(1,2)的方向导数
(0,0)
为曲面z1x2
2
y,z
0所围成的立体,如果将三重积分I
f(x,y,z)dv化为先对z再对
y最后对x三次积分,则|=
,其中D:
x2
t2。
1
4、设f(x,y)为连续函数,则|lim2f(x,y)dt0t2tD
,其中L:
x2y2a2。
6、设是一空间有界区域,其边界曲面
是由有限块分片光滑的曲面所组成,如果函数
P(x,y,z),
Q(x,y,z),R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数,则三重积分与第二型曲面积分之间有关系
式:
,该关系式称为
公式。
7、微分方程y6y9yx26x9的特解可设为y
8、若级数发散,则p
n1np
二、选择题(每小题2分,共计16分)
1、设fx(a,b)存在,则佃f(xa®f(ax,b)=(
x0
(A)
fx(a,b);(B)0;(C)2fx(a,b);(D)
1
—fx(a,b)。
2、设z
2
xy,结论正确的是(
(A)
(B)
(C)
(D)
3、
f(x,y)为关于
x的奇函数,
积分域D关于y轴对称,对称部分记为D1,D2,f(x,y)在D上连续,则
xy
(x,y),则曲线弧L的重心的x坐标x
f(x,y)d()
(A)
1
x=MLx(x,y)ds;
(B)x
1
MLx(x,y)dx;
(C)x=
Lx(x,y)ds;
(D)
lxds,
其中M为曲线弧L的质量。
22
为柱面xy1和x
0,y
0,z1在第一卦限所围成部分的外侧,则
曲面积分
:
y2zdxdy
2
xzdydzxydxdz=(
(A)0;
(B)-;
4
(C)
5;
;
24
(D)
4
7、方程y
2y
f(x)的特解可设为
D
(A)
0;(B)2
f(x,y)d
;(C)
4
f(x,y)d;(D)2
f(x,y)d。
D1
D1
D2
4、设
:
x2y2
z2R2,
则
(x2
y)dxdydz=(
)
(A)
85
3r;
4
(B)3
R5;
85
(C)R;
15
165
(D)R。
15
5、设在xoy面内有一分布着质量的曲线
L,在点(x,y)处的线密度为
(A)
A,若
f(x)1;
(B)
Aex,
若f(x)ex;
(C)
Ax4
Bx3
Cx2Dx
E
,若
f(x)
x22x-
(D)
x(Asin5x
Bcos5x),
若
f(x)
sin5x。
8、设f(x)
x0,则它的Fourier展开式中的a.等于()
、
1、
D;2、D;
3、C:
;4、
B;5
、D;6、E
3;7
三、
1、
Uf
1
yf2;
U
xg(x
xy);
x
y
2、
u
f(xt)
f(x
t);
u
f(xt)
f(x
x
t
22
y2
2
yy2
2
y2
四、
1、
dxe
0x
dy
dy
0J
ye
0
dxye
07
dy
A;8、C;
t);
1(1e4);
(A)—[1(
n
(B)0;(C)丄;
n
(D)上。
n
三、(12分)设y
f(x,t),
t为由方程F(x,y,t)
0确定的
x,y的函数,其中f,F具有一阶连续偏导
数,求
O
四、(8分)在椭圆x
4y2
4上求一点,使其到直线
2x3y
60的距离最短。
五、(8分)求圆柱面
22
x2y2
2y被锥面zx2y2和平面z
0割下部分的面积A。
六、(12分)计算I
xyzdxdy,
222
其中为球面xyz
1的x0,y0部分
的外侧。
七、(10分)
设^cos凶1sin2d(cosx)
x,求f(x)。
八、(10分)
将函数f(x)ln(1x
x2x3)展开成x的幕级数。
(下册)
考试试卷
(一)参考答案
2、
5、
7、
1、当0
负号;3
180
1时,
.y
sin
x
0x2
1时,
1
°dy
Cx;
e1y
ey
dx;
32;
2(t)2(t)dt;
C1cos.2xC2sin2x
C3elx
C4e
柱面坐标
2、I
dr
2r3
dz
2
2dr
2
12
r
2
r3dz
14;
;
3
五、令P
x
~~22
xy
2
y_
(x2
2
x
2、2
y)
Q,(x,y)(0,0);
x
于是①当
L所围成的区域
D中不含O(0,
时,
Q在D内连续。
所以由Green公式得:
I=0;②当L
x
所围成的区域D中含
O(0,0)时,
D内除0(0,0)外都连续,此时作曲线丨为
x2
2(0
1),逆时针方向,并假设
为L及丨所围成区域,则
Greer公式
D*
(卫
x
P)dxdy:
2
yx2y22
六、由所给条件易得:
f(0)
2f(0)
1f2(0)
f(0)
f(x)f(
x)
f(x)
f(x)
加f(x)f(x)
x0
f(x)
2
1f(x)
lim
x01f(x)f(x)
f(x)f(0)
2
f(0)[1f(x)]
f(0)
arctanf(x)f(0)x
f(x)
tan[f
(0)xc]
f(0)0即c
k,k
f(x)
tan(f(0)x)
2n1
七、令x2t,
考虑级数
t2n
lim
n
2n_3
f2n1
t2
当t1即x3或x1时,原级数发散;
1时,级数
(1)n1—J收敛;
2n1
3时,级数
1
(1)n-收敛;
2n1
级数的半径为R=1,收敛区间为[1,3]。
1、
2、-1/6
5、
6、2(x
1、
C;
2、B;3
1、
函数uln(x
(下册)
y
3、0dyy/2f(x,y)dx
yz);7、y
考试试卷
(二)参考答案
4
2dy
y2y0;
、A;4、D;5、C;6、D;
22y/2f(x,y)dx;4、-f(0);
3
8、0;
7、B;8、C;
■y2z2)在点A(1,0,1)处可微,且
(1,0,1)1/2;
(1,0,1)
(1,0,1)
1/2
AB(2,2,1),所以l
1-—■
1),故在A点沿lAB方向导数为:
u
u
u
u
A
Acos+—
Acos+—
acosz
12211
0(-)1/2.
23323
2、由
-2xy(4xy)xy(
2
yx(4x2y)0
1)0
得D内的驻点为M0(2,1),且f(2,1)4,
又f(0,y)0,f(x,O)0
而当xy6,x0,y0时,
f(x,y)2x3
12x2(0x6)
令(2x312x2)0得x10,x24
于是相应如6,y22且f(0,6)0,f(4,2)
64.
f(x,y)在D上的最大值为
f(2,1)
4,最小值为f(4,2)64.
四、1、
的联立不等式组为
1
所以Idx
0
x1
dy0
dz
(1xyz)3
dx0
1-
[(1
-1―1]dy
xy)4
(x
…皿丄1n2
42
5
16
2、在柱面坐标系中
F(t)
t
dr
0
h
0[zf(r)]rdz
t2
0[hf(r)r
护]dr
所以
dF
dt
2
[hf(t)t
^h't]2ht[f(t2)
3
12
3h]
五、1、连接
OA,由Green公式得:
1LOAOA
0_LOA
OA
Green公式
x2y2ax,y
-
(ecosy
0
x
ecosy
m)dxdy
a2
2、作辅助曲面
,上侧,则由Gauss公式得:
x2
y2z2,0
2(x
a
z)dxdydz
x2
a2dxdy
22
ya
六、
a
dz
0
2
x
zdxdy
22
yz
a3
2z3dz
0
由题意得:
(x)3
(x)
特征方程r2
3r
(x)
对应齐次方程的通解为:
又因为2是特征根。
代入方程并整理得:
即y*(x
故所求函数为:
1、yey
2z2
(x)
a4
(x)
xe2x
(x)
xe2x
0,特征根
x
y&e
ri
1,
2x
C2e
故其特解可设为:
2)e2x
(x)c1ex
xexz;
r22
x(AxB)e2x
2x
c?
e
1x(x
2)e2x
(下册)
考试试卷(三)参考答案
1
dx
1
1x2
1x2dy
1x2y2
f(x,y,z)dz;
4、f(0,0);
5、2a3;
P
(—
x
R
)dvz
tPdydzQdzdxRdxdy,
Gauss公式;
„2
7、Ax
BxC
0。
1、C;
、B;3
;5、A;6、D;7、B;
三、由于dy
fx(x,t)dx
ft(x,t)dt,FxdxFydyFtdt0
由上两式消去
dt,即得:
dyfxFtftFx
FtftFy
dx
62x3y|
13
2x3y)2
22
(x4y4),于是由:
Lx
Ly
4(6
6(6
2
x
2x3y)
2x3y)4y2
8383
得条件驻点:
M1(,),M2(,),Ma(
3555
8,3),M4(8,3
5555
依题意,椭圆到直线一定有最短距离存在,其中
dmin
62x3y
13
13
即为所求。
2
x
2
y
于是所割下部分在yoz面上的投影域为:
五、曲线z
2
x
投影为z2y
x0
2
y在yoz面上的
2y(0yz)
0y2
Dyz:
0z、2y,
由图形的对称性,所求面积为第一卦限部分的两倍。
2Dyz;1(A
(X)2d
z
六、将
是:
2dydz
Dyz2yy2
分为上半部分
2
1dy
2ydz
0
2yy2
:
z1x2
2
y和下半部分
.1x2y2
2在面xoy上的投影域都为:
D
2・xxy■
1,x0,y
0,
xyzdxdy
1
■1x
Dxy
2
ydxdy
极坐标
2d
0
2sin
1
”,•
xyzdxdy
2
xy(
Dxy
1x2y2)(
dxdy)
1
15’
215
七、因为df(cosx)1sin2x,即f(cosx)1sin2x
d(cosx)
所以f(x)2x2f(x)2x-x3c
3
八、f(x)ln[(1x)(1x2)]ln(1x)ln(1x2)
又ln(1u)—un,u(1,1]
n1n
f(x)
1)n1—xn
1)n
2n
(1,1]
(1)n
n/a
x(1
n、
x),
x(1,1]
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- 高等数学 下册 期末 考试题 答案