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电场拓展练习题

电场·拓展练习题

1．应用库仑定律分析静止点电荷间的相互作用问题．应当明确，这类问题实际上是在充分考虑库仑力特点的前提下，全面运用力学概念、规律进行分析研究的力学问题．充分考虑库仑力的特点就是要求应全面理解、掌握库仑定律，认清：

（1）不论两个点电荷的电量大小关系如何，质量大小关系如何，每个点电荷所受的库仑力都是大小相等、方向相反（分清相吸还是相斥）的．

（2）如果由于电荷移动，两个点电荷距离发生改变，则库仑力依据平方反比规律同时发生变化．

在上述前提下还要从题设条件出发依据一般物体受力分析的思路进行全面考虑．譬如：

若一个点电荷同时受到两个（或两个以上）点电荷的作用，那么它所受的库仑力要用共点力合成的方法计算其大小和方向；若同时还有其他性质的力（如重力、弹力等），则需要将各种力一并应用力的合成法则求解合力，确定状态．

例1真空中两个正点电荷Q1、Q2分别固定在相距为0.30m的A，B两点上，Q1=3.0×10-8C，Q2=6.0×10-8C．在A，B连线上距A点0.10m的C点引入一个带有2.0×10-8C电量的负点电荷Q3，求Q3所受静电力的大小和方向．

分析：

按题意画图并标明Q1，Q2分别对Q3的静电力（即库仑力）FA和FB的方向．初步估量两力的大小（见图14－48）．

由于Q2对Q3吸引，FB方向向右指向B点．

Q3所受静电力的合力F的大小：

F=FA－FB=（5.4－2.7）×10-4N=2.7×10-4N，

方向与FA一致，即向左指向A点．

答：

Q3所受静电力的大小为2.7×10-4N，方向向左指向A点．

评述：

应用库仑定律计算静电力的大小时，不必将表示电荷电性的正、负号代入公式，待确定该力方向时再依两电荷的电性作出判定，但方向关系应在图中标明，以便全面考虑．

例2有两个带电小球a和b，电荷量分别为+Q和+9Q，在真空中相距0.4m．如果引进第三个带电小球c，正好使三个小球都处于平衡状态，第三个小球带的是哪种电荷？

应放在什么地方？

电荷量是Q的几倍？

分析：

由于a，b小球均带正电，可以断定带电小球c所应放置的位置必定在a，b之间的连线上．根据c所受静是力的合力为零，就可以具体确定其所处位置．

带正电的a，b小球也都需要处于静止状态，即它们各自所受静电力的合力也均需为零，由此就可以进一步判定c球所带电的电性并推算出它所带的电量．

解：

依上述分析作图．设带电小球c与a相距为x，则c与b相距为0.4－x，并设c的电荷量为q（见图14－49）．

（1）确定带电小球c的位置．

c所受静电力的合力为零，即Fac－Fbc=0．根据库仑定律有（视带电小球a，b，c均为点电荷）

即x2+0.1x－0.02=0，

解得x1=0.1m，x2=－0.2m．

由于a，b球同带正电，只有当带电小球c（不论电性如何）处于a，b之间时，所受a，b对它的静电力才可能方向相反，因此只有x1=0.1m符合题意，至于解x2=－0.2m是指在a球的左侧0.2m处，只有当a，b球所带电为异性时，这个结论才成立，在本题中应舍去．

（2）判定c球所带电的电性并推算其电荷量：

a，b球分别所受静电力的合力均应为零，应用其一即可求解．对a来说，b对它的静电力是向左的斥力Fba，因此c对它的静电力Fcd就必须是向右的引力，由此可以判定c球所带电的电性必定为负．

答：

第三个小球c带负电，应放在a，b连线上距a0.1m处，电荷量

·评述：

归纳上述解题过程，可得思路是：

对每个带电小球均依据库仑定律建立平衡方程（各电荷量都取绝对值），即

另一个方程验证．

例3在真空中，电荷量均为+Q的两个固定的点电荷A，B相距为2l，在它们连线的垂直平分线上，将一点电荷－q自AB连线中点O沿

情况（见图14－50）．

分析：

对点电荷－q进行受力分析可知，它将在A、B两点电荷对它的库仑力F1，F2的合力作用下运动，为判定其运动性质需从分析合力的特征入手．

F=－Kx．

根据点电荷－q所受合力的这一特征，显然在位移x不大的前提下，该电荷被无初速释放后，将以O点为平衡位置、沿AB连线的垂直平分线做简谐运动．

评述：

①点电荷－q的上述简谐运动是在AB连线的垂直平分线上进行的，如果该电荷的位置偏离这条线少许，还能做这种运动吗？

②如果将－q换为+q，自O点沿AB连线移动一小段距离x′（x′

例4如图14－51所示，A，B是两个体积不等的带电小气球，B所带电量是A的2倍．A，B气球分别用长3l和4l的细线共同悬吊一质量为m的重物．设两气球能够静止地悬浮于空中，且两细线间夹角为90°，A，B两气球处于同一水平面内．若视气球为点电荷，求气球A所带电量．

分析：

本题应在充分考虑静电力情况下进行全面受力分析，依据静力学平衡条件求解．

分别隔离重物和两气球，分析各自受力情况，画出受力图，如图14－52所示．要注意，尽管A，B带电量不等，它们必带同种电荷，且分别所受静电力F与F′是等大、反向（都处在水平方向上）的．

解：

设重物受重力mg和两线拉力T1和T2．若忽略空气对重物的浮力，则这三力的合为为零．由此可求出拉力

设气球A，B分别受浮力FA，FB，重力mAg，mBg，两线拉力T1′，T2′，以及静电力F，F′．各自所受合力为零．虽然其中浮力和气球自重未知，但根据矢量图与结构图的几何关系，以及T1′=T1，T2′=T2，即可求出静电力F（或F′）：

根据库仑定律有

评述：

请进一步思考：

若上题中：

①两线长度相等，其他条件不变，将会出现什么情况？

②两气球的体积和质量都分别相等，其他条件不变，将会出现什么情况？

2．对于静电场中有关各点电场强度矢量的分析，以及点电荷在电场中所受电场力的计算，应立足于场强叠加原理，并注意运用好电场线这一重要辅助工具．既要掌握静电场的基本性质，又要对其有全面、形象的理解．

例5如图14－53所示，在真空中的A，B两点分别固定着电荷量各自为4Q和Q的两个正点电荷，其间相距为l．试求A，B连线中点C的场强EC，并确定场强为零的位置．

分析：

本题两问均需根据场强叠加原理求解，并从点电荷电场的场强决定式出发，结合题设条件作出相应的估量．

解：

（1）A，B两场源点电荷的电场各自在连线中点C的场强是：

即向右指向B点．

（2）由于两场源点电荷均为正电性，它们在A、B连线上各点的场强必然方向相反．按照上述分析的思路估量，合场强为零的点应距B点较距A点近一些．

设该点在A、B连线上距B点为x，则

只要EA与EB等值，因其方向相反，该点合场强必为零．由此有

整理得3x2+2lx－l2=0．

解得x1=l/3，x2=－l．

显然，x=l/3与估计一致，符合题意，即合场强为零的位置在A、B连线上距B为l/3处，x2=－l不合题意，应舍去．

评述：

如果原题中在B点放置的是负电荷，且电荷量不变，那么如果其他条件依旧，结果将会怎样？

由于负场源电荷电场的各点场强方向均指向场源电荷，因此在第一问是E′CB方向指向B，与ECA同向，所以C点合场强E′C=ECA+

的应是x2=－l，即应在B点的右侧，在A，B连线的延长线上距B为l（距A则为2l）处的合场强才为零．

例6如图14－54所示，在真空中相距为5l的A，B两点分别固定着各自电荷量及电性为64Q和－27Q的点电荷．空间C点与A，B分别相距4l和3l．试求C点场强的大小和方向．

分析：

本题仍首先分别求出A，B两场源电荷的电场在C点的场强矢量ECA和ECB（包括量值和方向），再根据场强叠加原理，运用矢量合成法则，求出C点合场强矢量EC（包括量值和方向）．

由图14－54中的几何关系可以看出，ECB与ECA方向互相垂直，且

评述：

本题矢量图和结构图的几何关系较简单，在一般情况下需用解三角形等数学知识，但思路是相同的．

例7在真空中的M，N两点上固定有两个点电荷，分别带等量正电，电荷量为Q．两点相距为2L，如图14－55所示．

（1）在M，N两点连线上，距中点O等距离的任意两点a，b处，其场强量值和方向有什么关系？

（2）在M，N两点连线的垂直平分线上，距连线中点O等距离的任意两点c，d处，其场强量值和方向有什么关系？

分析：

依然根据场强叠加原理处理本题，但应注意所取各点在题设空间变动时其场强量值和方向有什么相应的变化．

方向向右指向O点；

方向向左指向O点．

即Ea与Eb等值、反向，均指向O点．由于l的取值范围是0＜l＜L，所以Ea和Eb的取值范围应对应是0＜Ea（Eb）＜∞．

示的矢量图，依据矢量图和结构图的几何关系可得：

即Ec与Ed等值、反向，均背离O点．由于m的取值范围是0＜m

评述：

根据上述题解以及电场线的含义，在M，N连线以及其垂直平分线上即可画出如图14－57所示的电场线．①①njj00065_0153_0

例8图14－58所示为真空环境，在场强为E，方向向右的匀强

图中距Q为r的a，b，c，d四点的合场强各是多少？

方向如何？

分析：

只要正确运用电场叠加原理于每一个点，本题不难解决．

评述：

在本题中若用电场线描述叠加后的电场，将是一个较为复杂的非匀强电场电场线的分布图．其中沿通过a、c的直线上，合场强的大小和方向是怎样变化的？

请读者试作说明．

3．有关电势和电势差的问题分析．

例9一带电粒子射入一固定在O点的点电荷的电场中，粒子运动轨迹如图14－59中虚线abc所示．图中实线是同心圆弧，表示电场的等势面．不计重力，可以判断：

[]

A．此粒子一直受到静电排斥力作用．

B．粒子在b点的电势能一定大于在a点的电势能．

C．粒子在b点的速度一定大于在a点的速度．

D．粒子在a点和c点的速度大小一定相等．

答：

（A），（B），（D）．

评述：

需将牛顿运动定律和功能关系等力学规律结合电势、电势差、电势能及等势面等概念运用到孤立点电荷周围的静电场中进行逐一分析判定．

根据粒子运动轨迹的弯曲情况，依据曲线运动的产生条件可知，粒子一定与场源电荷带同种电，使粒子一直受到静电排斥力的作用．

若粒子沿a→b方向射入，在斥力作用下要克服静电斥力做功，导致粒子的电势能增加，即εb＞εa．

由于在带电粒子的运动过程中只有电场力做功，所以根据动能定理，在粒子由a到b的过程中，因电场力做负功，粒子的动能必然减少，所以速度vb＜va，所以选项C是错的．

c点与a点位于同一等势面上，粒子所具有的电势能应相等．由于在沿abc运动的全过程中只有电场力做功，粒子的电势能与动能的总和时刻保持恒定，所以它在c点的动能与在a点时的动能应相等，速度的大小也必然相等．

在原子物理中卢瑟福的α粒子散射实验结果之一是少数α粒子穿过金箔时发生较大的偏转，且有极少数α粒子偏转角度超过90°．本题的内容与这种情况相对应，这是由于α粒子与原子核相当接近时，受到较大的库仑斥力，从而出现了题设运动过程所致．

例10在平行于纸面的匀强电场中，有a，b，c三点，各点的电

和方向．

分析：

由于在匀强电场中，无论是沿ab方向还是沿ac方向各点电势都是均匀降低的，所以沿ab方向电势由8V降到－4V过程中，电势为2V的位置（即Uad=Uac=（8－2）V=6V处）应在ab连线的中点（见图14

向右的方向（即电势降低最快的方向）就是电场E的方向．

等势面间的距离，

评述：

从本题结果来看，由于c，e，d三点的电势均为2V，所以电势差Uac=Uae=Uad=（8－2）V=6V，即自a点沿不同路线到这三个点，电势都降低了6V，不过其中以ae直线距离最近，即沿ae方向电势降低得最快，这也就是电场强度的方向．电势沿这个方向在单位长度上的变化量就等于场强的大小．

请读者再思考一下，在本题中电势为零的等势面在什么位置？

并在图14－61中准确画出．

例11图14－62中A，B，C，D为均强电场中相邻两面电势差均等的四个等势面．一个电子飞经等势面A时，动能为20eV；飞经等势面B时，电势能为－10eV；飞经等势面C时，速度刚好为零．已

B面时的速度vB=？

（已知元电荷e=1.60×10-19C，电子质量m=9.0×10-31kg）

分析：

在题设匀强电场中，电子在运动过程中，其动能和电势能的总和在各个位置上都保持恒定；电子通过相邻各等势面时，电势能的变化量都相等．因此，该电子经等势面A到C的过程中动能减少了20eV，也就表明它的电势能相应增加了20eV．那么，电子在经过B面时电势能比经A面时增加10eV，成为－10eV，它的动能就要比经A面时减少10eV而成为（20－10）eV，即10eV，动能与电势能在B面处的总和应为

EPB+EKB=（－10+10）eV=0．

由此可知，在C面处的总能也应为零．即EKC=0，所以EPC也为零，这就表明C面为零电势面．

依据电子（负电荷）由A经B至C的过程中电势能逐渐增加，即可判定电场应沿A→B→C→D电势逐渐降低的方向，且电子每经两相邻等

势应比C面电势低10V，即－10V．

前面已导出电子经D面时的动能EKB=10eV，所以它经B面时的速

评述：

本题提供的物理图景虽然仅仅是电子在匀强电场中的匀变速运动的情况，但要求在解题过程中需切实掌握好有关的概念和规律，并进行严谨的逻辑推理，每个环节都不能疏漏．

4．在静电平衡条件下分析导体的静电感应、感应起电过程以及静电屏蔽等问题，均应立足于电场叠加原理，并利用电场线的分布进行讨论．

例12把一个带正电的绝缘金属小球A悬在一个开有比A球略大一点的孔的绝缘空心金属球B中，如图14－63所示．①当把另一个带正电、电荷量很小的检验电荷C移到B球附近时电荷C将受到什么作用？

②若将A球与B球内壁接触，电荷C又将如何？

分析：

依据静电感应规律，将带正电小球A悬在球B中时，B球的内表面将被感应带有与A球所带电荷量相等的负电荷，而其外表面则将带有等量的正感应电荷．而且不论A球悬在B球内何处，尽管B球内表面的负电荷的分布将随之有所不同，但B球外表面的正电荷分布情况由于静电屏蔽结果却总是一样的．如果B球是孤立导体，且检验电荷C因电荷量很小不足以影响B球外表面的电荷分布，则B球外表面因曲率各处一样而使其面电荷均匀分布，球外电场的分布就好象外表面上的正电荷都集中于球心的孤立点电荷的电场分布一样．因此正电荷C受到的电场力方向是远离B球球心的．

若将A球与B球内壁接触，只是A球所带正电荷与B球内表面的感应负电荷等量中和，而外表面的感应正电荷的多少和分布均不受影响（这就是把A球电荷完全传给B球的一种有效方法）．可见，正电荷C在B球外所受电场力的情况也就不会发生变化了．

评述：

在本题上述分析的基础上再进一步思考：

①若在A球悬于B球内未与其内壁接触时，将B球外表面接地，则电荷C又将如何？

－－依据静电屏蔽，对于接地导体壳来说，不论导体壳内部有无电荷都不会对壳外产生影响，故电荷C所受电场力为零．

②若B球外表面接地后再将其与地绝缘，并把带正电的A球从B球内无接触地提出，则电荷C又将如何？

－－这是一个感应起电过程．把A球提出后，B球中原分布在内表面的负电荷将都重新分布在外表面上，从而使正电荷C受到指向B球球心的电场力作用．

例13长为l的中空金属棒原来不带电，现将一带电量为Q的正点电荷放在距棒左端d处，如图14－64所示．在达到静电平衡后，棒上感应的电荷在棒内左端A点和右端B点产生的场强EA与EB之比等于多少？

它们各自的方向如何？

分析：

根据静电感应原理，中空金属棒内各点的合场强均为零．这是由于在静电平衡条件下，金属棒上感应电荷在棒内各处电场的场强与对应点的外电场的场强均等值反向．

在本题中棒内左端A点，正点电荷Q在该点产生的外电场场强EAQ

评述：

正确解答本题必须立足于电场叠加原理，而不应孤立地从表面上作错误的判断．如有人以为A端感应电荷是负的，B端则有正感应电荷，EA与EB方向就应该相反，这显然是错的．

例14如图14－65所示，在原来不带电的绝缘中空的孤立球形导体B内，由开口处不接触地将一带负电－Q的金属球A放入，并悬在B的空腔中央．当达到静电平衡时，①图中a，b，c三点的场强Ea，Eb，

为rc，这一点的场强多大？

分析：

本题涉及三个区域的电场，即a，b，c各点分别所在的区域．根据静电感应原理，B球内表面带有+Q电荷并均匀分布，它的外表面则带有－Q电荷也均匀分布．“a”区电场线起于+Q止于A球的－Q，相当于位于B球球心的孤立点电荷－Q的电场分布；“c”区电场线则起于无穷远处，止于B球外表面的－Q，也相当于位于B球球心的孤心点电荷－Q的电场分布；而“b”区则为无电场线即场强为零的区域．全面来看，整个区域的电场分布，好像是在孤立点电荷－Q的电场中用B球的壁厚“屏蔽”了导体层内的区域，使之成为场强为零、电势相等的区域．

评述：

c点的场强可依据电场叠加原理来理解，即A球所带负电荷－Q的电场、B球内表面所感应的正电荷+Q的电场和B球外表面所感应的负电荷－Q的电场在c点的叠加．应有．

在B球内悬挂的位置不同以及A球与B球内壁接触而有所变化．

5．有无电容器的问题分析．

例15平行板空气电容器的两极板的相对面积是S，间距为d，接在电动势为ε的直流电源上．如果不将电源断开，而将相对面积扩大为3S，间距增加为2d，电容器的电荷量怎样改变？

改变多少？

*电容器储存的静电能怎样改变？

改变多少？

分析：

依题意，随着电容器极板相对面积和间距的改变，其电容量

即C′=1.5C，电容量扩大为原来的1.5倍．

由于电容器一直与电源相连，因此在题设变化过程中，两极间的电压一直保持为ε．

依据Q=CU，由于电容量的扩大，故电容器的电荷量将按比例地

这些电荷取自电源．

比例也增加，增加量ΔW为

ε2，这些增加的能量也取自电源．

例16在图14－66所示的电路中，电容器A的电容CA=30μF，电容器B的电容CB=10μF．在开关S1，S2都是断开的情况下，分别给电容器A，B充电．充电后，M点的电势比N点高5V，O点的电势比P点低5V．然后把S1、S2都接通，接通后M点的电势比N点高．

[]

A．10V　　　　　　　　　　　　　　　　　　　C．5V

C．2.5V　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．0．

答：

（C）．

评述：

首先计算每个电容器充电后的电荷量：

Q1=CA·UMN=30×5μC=150μC，上板带正电；QB=CB·UPO=10×5μF=50μF，下板带正电．

将两开关闭合后，A，B两电容器的上极板所带正、负电荷中和一部分后净带电荷（150－50）μC即100μC的正电荷；同理，两电容器的下极板净带电荷为100μC的负电．此时，两电容器的电势差相同，净带电量将按电容成正比例地分配：

本题中当两开关接通后，有人认为两电容器是串联关系，这是错误的．必须认清两开关接通后，上、下两极板分别达到静电平衡时M与O，N与P分别等电势，因此，CA与CB两电容器应是并联关系．所以在解题时应从题设条件出发作具体分析，从中确定正确解题思路．

6．有关带电粒子在匀强电场中运动的问题分析．

例17试分析示波器可以测量信号电压的原理．

分析：

示波器的核心部件是示波管，它主要由电子枪、水平和竖直偏转电极以及荧光屏组成，工作在真空环境中．电子枪对电子束的加速功能以及偏转电极对电子束的电致偏转原理已如前面所述．下面主要结合荧光屏上显示电子束打出的光斑位置与偏转电极所加信号压的关系作具体分析．

以光斑在荧光屏上对中心的竖直偏移为例．图14－67表示经电子枪加速电压U1加速后的电子束经竖直偏转电场作用发生侧移，最后打在屏上的过程．其中，当竖直偏转电极所加电压为U2时，电子束离开偏转电场时的偏移量为y，打在屏睥光斑对中心O′相应的偏移距离为Y．依据前述结果，电子束经偏转电场后相当于从其中心点P直线射出一样，

由上式可知，在加速电压U1确定的前提下，Y∝U2，即Y=KU2，其

在显示屏上测出光斑与屏中心的竖直距离Y即可推算出加在竖直偏转电极上的信号电压U2．

评述：

请思考一下，若U2一定，Y与U1有什么关系？

例18图14－68①中A，B是一对平行的金属板，在两板间加一

规律如图14－68②所示．现有一电子从A板上的小孔进入两板间的电场区，设电子的初速度和重力的影响均可忽略，且两板间的距离d足够大．如果电子是在t=T/8时刻进入的，试分析它的运动情况，并画出速度－时间关系图象．

分析：

本题是有关匀强电场、匀变速直线运动以及牛顿运动定律等知识的综合运用．

解：

电子在T/8～T/2时间内在恒定电场力eU0/d作用下向B板方向

离d足够大，可认为S1＜d，则在相等的时间即在T/2～7T/8时间内，电子将在反向的恒定电场力即－eU0/d作用下仍向B板方向但做匀减速

相等．见图14－69的T/8～7T/8区间图象．而在7T/8～T时间内，电子持续在－eU0/d电场力作用下则将做初速为零向A板方向的匀加速运动，此段位移与S2方向相反，退回一小段——见图中3T/4～T区间，两

下沿向A方向减速运动一小段位移，减速到零；尔后继续在eU0/d力作

生位移S3，与S1、S2方向相同，除这一区间最初T/8时间间隔的位移与前T/8时间的反向减速位移相抵外继续向B板运动……出现电子时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上的运动过程．用v－t图象可以清晰地把全过程展现在眼前．

评述：

从上述分析过程可以看到，充分运用函数图象（v－t图象与

物理图景、明确物理过程、理顺解题思路的重要途径．