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直线和圆弧的生成算法
第3章直线和圆弧的生成算法
3.1 直线图形的生成算法
数学上的直线是没有宽度、由无数个点构成的集合,显然,光栅显示器只能近地似显示直线。
当我们对直线进行光栅化时,需要在显示器有限个像素中,确定最佳逼近该直线的一组像素,并且按扫描线顺序,对这些像素进行写操作,这个过程称为用显示器绘制直线或直线的扫描转换。
由于在一个图形中,可能包含成千上万条直线,所以要求绘制算法应尽可能地快。
本节我们介绍一个像素宽直线绘制的三个常用算法:
数值微分法(DDA)、中点画线法和Bresenham算法。
3.1.1逐点比较法
3.1.2数值微分(DDA)法
设过端点P0(x0 ,y0)、P1(x1 ,y1)的直线段为L(P0 ,P1),则直线段L的斜率
L的起点P0的横坐标x0向L的终点P1的横坐标x1步进,取步长=1(个像素),用L的直线程y=kx+b计算相应的y坐标,并取像素点(x,round(y))作为当前点的坐标。
因为:
yi+1 = kxi+1+b
= k1xi+b+kx
= yi+kx
所以,当x=1; yi+1 = yi+k。
也就是说,当x每递增1,y递增k(即直线斜率)。
根据这个原理,我们可以写出DDA(DigitalDifferentialAnalyzer)画线算法程序。
DDA画线算法程序:
voidDDALine(intx0,inty0,intx1,inty1,intcolor)
{intx;
floatdx,dy,y,k;
dx=x1-x0;dy=y1-y0;
k=dy/dx,;y=y0;
for(x=x0;x {drawpixel(x,int(y+0.5),color); y=y+k; } } 注意: 我们这里用整型变量color表示像素的颜色和灰度。 举例: 用DDA法扫描转换连接两点P0(0,0)和P1(5,2)的直线段。 x int(y+0.5) y+0.5 0 0 0 1 0 0.4+0.5 2 1 0.8+0.5 3 1 1.2+0.5 4 2 1.6+0.5 图3.1.1直线段的扫描转换 注意: 上述分析的算法仅适用于|k| ≤1的情形。 在这种情况下,x每增加1,y最多增加1。 当 |k| 1时,必须把x,y地位互换,y每增加1,x相应增加1/k。 在这个算法中,y与k必须用浮点数表示,而且每一步都要对y进行四舍五入后取整,这使得它不利于硬件实现。 动画演示: 数值微分画线算法(DDA) 3.1.3中点画线法 假定直线斜率k在0~1之间,当前像素点为(xp,yp),则下一个像素点有两种可选择点P1(xp+1,yp)或P2(xp+1,yp+1)。 若P1与P2的中点(xp+1,yp+0.5)称为M,Q为理想直线与x=xp+1垂线的交点。 当M在Q的下时,则取P2应为下一个像素点;当M在Q的上时,则取P1为下一个像素点。 这就是中点画线法的基本原理。 图3.1.2中点画线法每步迭代涉及的像素和中点示意图 下面讨论中点画线法的实现。 过点(x0,y0)、(x1, y1)的直线段L的程式为F(x, y)=ax+by+c=0,其中,a=y0-y1, b=x1-x0, c=x0y1-x1y0,欲判断中点M在Q点的上还是下,只要把M代入F(x,y),并判断它的符号即可。 为此,我们构造判别式: d=F(M)=F(xp+1, yp+0.5)=a(xp+1)+b(yp+0.5)+c 当d<0时,M在L(Q点)下,取P2为下一个像素; 当d>0时,M在L(Q点)上,取P1为下一个像素; 当d=0时,选P1或P2均可,约定取P1为下一个像素; 注意到d是xp, yp的线性函数,可采用增量计算,提高运算效率。 若当前像素处于d0情况,则取正右像素P1(xp+1,yp),要判下一个像素位置,应计算 d1=F(xp+2, yp+0.5)=a(xp+2)+b(yp+0.5)=d+a,增量为a。 若d<0时,则取右上像素P2(xp+1, yp+1)。 要判断再下一像素,则要计算d2= F(xp+2, yp+1.5)=a(xp+2)+b(yp+1.5)+c=d+a+b ,增量为a+b。 画线从(x0, y0)开始,d的初值 d0=F(x0+1, y0+0.5)=F(x0, y0)+a+0.5b,因 F(x0, y0)=0,所以d0=a+0.5b。 由于我们使用的只是d的符号,而且d的增量都是整数,只是初始值包含小数。 因此,我们可以用2d代替d来摆脱小数,写出仅包含整数运算的算法程序。 中点画线算法程序: voidMidpointLine(intx0,inty0,intx1,inty1,intcolor) {inta,b,d1,d2,d,x,y; a=y0-y1;b=x1-x0;d=2*a+b; d1=2*a;d2=2*(a+b); x=x0;y=y0; drawpixel(x,y,color); while(x {if(d<0) {x++;y++;d+=d2;} else {x++;d+=d1;} drawpixel(x,y,color); }/*while*/ }/*midPointLine*/ 举例: 用中点画线法扫描转换连接两点P0(0,0)和P1(5,2)的直线段。 a=y0-y1=-2;b=x1-x0=5;d0=2*a+b=1;d1=2*a=-4;d2=2*(a+b)=6, x y d 0 0 1 1 0 -3 2 1 3 3 1 -1 4 2 5 5 2 15 图3.1.3中点画线法 问题1: 若上述算法往下取二步(i=2),则算法和像素的取法将变成怎样? 问题2: 与DDA法相比,中点法的优点是什么? 动画演示: 中点画线算法 3.1.4Bresenham算法 Bresenham算法是计算机图形学领域使用最广泛的直线扫描转换算法。 仍然假定直线斜率在0~1之间,该法类似于中点法,由一个误差项符号决定下一个像素点。 算法原理如下: 过各行各列像素中心构造一组虚拟网格线。 按直线从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交点,然后确定该列像素中与此交点最近的像素。 该算法的巧妙之处在于采用增量计算,使得对于每一列,只要检查一个误差项的符号,就可以确定该列的所求像素。 如图2.1.4所示,设直线程为yi+1=yi+k(xi+1-xi)+k。 假设列坐标像素已经确定为xi,其行坐标为yi。 那么下一个像素的列坐标为xi+1,而行坐标要么为yi,要么递增1为yi+1。 是否增1取决于误差项d的值。 误差项d的初值d0=0,x坐标每增加1,d的值相应递增直线的斜率值k,即d=d+k。 一旦 d≥1,就把它减去1,这样保证d在0、1之间。 当d≥0.5时,直线与垂线x=xi+1交点最接近于当前像素(xi,yi)的右上像素(xi+1,yi+1);而当d<0.5时,更接近于右像素(xi+1,yi)。 为便计算,令e=d-0.5,e的初值为-0.5,增量为k。 当e≥0时,取当前像素(xi,yi)的右上像素(xi+1,yi+1);而当e<0时,取(xi,yi)右像素(xi+1,yi)。 图3.1.4Bresenham算法所用误差项的几含义 ○Bresenham画线算法程序: voidBresenhamline(intx0,inty0,intx1,inty1,intcolor) {intx,y,dx,dy; floatk,e; dx=x1-x0;dy=y1-y0;k=dy/dx; e=-0.5;x=x0,;y=y0; for(i=0;i {drawpixel(x,y,color); x=x+1;e=e+k; if(e0) {y++;e=e-1;} } } 举例: 用Bresenham法扫描转换连接两点P0(0,0)和P1(5,2)的直线段。 x y e 0 0 -0.5 1 0 -0.1 2 1 -0.7 3 1 -0.3 4 2 -0.9 5 2 -0.5 图3.1.5Bresenham算法 上述Bresenham算法在计算直线斜率与误差项时用到小数与除法。 可以改用整数以避免除法。 由于算法中只用到误差项的符号,因此可作如下替换: 2*e*dx。 改进的Bresenham画线算法程序: voidInterBresenhamline(intx0,inty0,intx1,inty1,intcolor) {dx=x1-x0,;dy=y1-y0,;e=-dx; x=x0;y=y0; for(i=0;i {drawpixel(x,y,color); x++;e=e+2*dy; if(e0){y++;e=e-2*dx;} } } 动画演示: Bresenham画线算法: 3.2 圆弧的扫描转换算法 这一节我们来讨论圆弧的扫描转换算法。 3.2.1圆的特征 圆被定义为到给定中心位置(xc,yc)距离为r的点集。 圆心位于原点的圆有四条对称轴x=0,y=0,x=y和x=-y。 若已知圆弧上一点(x,y),可以得到其关于四条对称轴的其它7个点,这种性质称为圆的八对称性。 因此,只要扫描转换八分之一圆弧,就可以求出整个圆弧的像素集。 显示圆弧上的八个对称点的算法: voidCirclePoints(intx,inty,intcolor) {drawpixel(x,y,color);drawpixel(y,x,color); drawpixel(-x,y,color);drawpixel(y,-x,color); drawpixel(x,-y,color);drawpixel(-y,x,color); drawpixel(-x,-y,color);drawpixel(-y,-x,color); } 3.2.2中点画圆法 如果我们构造函数 F(x,y)=x2+y2-R2,则对于圆上的点有F(x,y)=0,对于圆外的点有F(x,y)>0,对于圆的点F(x,y)<0。 与中点画线法一样,构造判别式: d=F(M)=F(xp+1,yp-0.5)=(xp+1)2+(yp-0.5)2-R2 若 d<0,则应取P1为下一像素,而且再下一像素的判别式为: d=F(xp+2,yp-0.5)=(xp+2)2+(yp-0.5)2-R2=d+2xp+3 若d≥0,则应取P2为下一像素,而且下一像素的判别式为: d=F(xp+2,yp-1.5)=(xp+2)2+(yp-1.5)2-R2=d+2(xp-yp)+5 我们这里讨论的第一个像素是(0,R),判别式d的初始值为: d0=F(1,R-0.5)=1.25-R 图3.2.1当前像素与下一像素的候选者 中点画圆算法: MidPointCircle(intrintcolor) {intx,y; floatd; x=0;y=r;d=1.25-r; circlepoints(x,y,color); while(x<=y) {if(d<0) d+=2*x+3; else {d+=2*(x-y)+5;y--;} x++; circlepoints(x,y,color); } } 为了进一步提高算法的效率,可以将上面的算法中的浮点数改写成整数,将乘法运算改成加法运算,即仅用整数实现中点画圆法。 动画演示: 中点画圆算法
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- 直线 圆弧 生成 算法
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