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旋转

本章小结

小结1本章概述

在本章中，我们将学习生活中的旋转现象．掌握旋转的有关概念，理解旋转的性质、特点，并会进行简单的旋转作图；掌握中心对称及中心对称图形的概念、作图方法及直角坐标系中对称点的作法；利用旋转、中心对称进行简单的图案设计和认识图形是如何变换而来的．旋转和中心对称是现实生活中广泛存在的现象，它们既是探索图形某些性质的必要手段，也是解决现实生活中的具体问题及进行数学活动、变换的重要工具．有关旋转的性质、作图是后面学习几何图形（如圆）的性质、位置的确定等知识的重要依据之一，也是近年中考的易考查点．

本章涉及的主要概念有：

旋转、旋转中心、旋转角、中心对称和中心对称图形，主要规律有：

旋转中心、旋转角的找法，对称中心及对称点的找法以及找关于原点对称的点的坐标的规律．

小结2本章学习重难点

【本章重点】理解旋转的性质、中心对称的概念及其性质，掌握平行四边形是中心对称图形，并掌握常见的中心对称图形．

【本章难点】灵活运用旋转、中心对称图形的性质，掌握关于原点对称的点的坐标的特征，能够利用旋转、平移、轴对称等知识进行图案设计．

小结3学法指导

l．注重联系实际．通过实例加深对旋转变换和中心对称图形的认识．

2．注重探索结论，许多图形可以由基本图形旋转而成．为了更好地认识图形，要善于探索、发现图形之间的变换关系．探索、发现图形之间的变换关系有助于运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计．

3．注重与已学图形变换的联系．平移变换、轴对称变换是前面已学过的全等变换，学习旋转变换时可类比平移变换和轴对称变换．

知识网络结构图

专题总结及应用

一、知识性专题

专题1旋转与平移的简单应用

【专题解读】有关旋转、平移的知识是近几年中考的一个热点，旋转和平移这两种交换方式不仅贴近生活，而且使人们享受了图形变化的美，命题新颖，内涵丰富，既有选择题、填空题，也有操作设计、解答方面的命题.

例1以如图23-88

（1）所示的图的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻转180°，再按顺时针方向旋转180°得到的图形是如图23-88

（2）所示的（）

【分析】动手做一做，很快就可以作出正确的判断，故选a

【解题策略】关于旋转、平移概念的问题的解题关键是正确并灵活运用相关知识

例2如图23—89所示，直线y=与x轴、y轴分别交于a，b两点，把△aob绕点a顺时针旋转90°后得到△ao′b′，则点b′的坐标是（）

a．（3，4）b．（4．5）

分析由y=与x轴、y轴分别交于a，b两点，可知a（3，0），b（0，4），所以oa=3，ob=4，由旋转知o′a=oa=3，o′b′=ob=4.因为△aob绕点a旋转90°，所以∠oao′=90°，所以o′b′∥oa，所以b′的纵坐标等于o′的纵坐标3，由oa=3，o′b′=4，可知b′的横坐标为7，所以b′的坐标为（7，3）．故选d．

【解题策略】本题的解题关键是找出0′b′∥oa这一条件，这是找出b′点坐标的基础．

图形，然后求出它的面积．（结果保留π）

分析；本题考查旋转作图的方法，作出旋转后的图形，首先要确定旋转后关键点的位置，然后把关键点连起来即可．

（1）请你在图23-92

（2）中作出变换后的图案（最终图案用实线表示）；

（2）你所用的变换方法是（在以下变换方法中选择一种正确的填到横线上）.

①将菱形b向上平移；②将菱形b绕点o旋转120°；③将菱形b绕点o旋转180°.

分析本题是一道有关平移和旋转的作图题，首选要确定作法，再动手作图，问题

（2）是一道开放性题目.

解：

（1）如图23—92（3）所示.

（2）①或③

专题2旋转变换在几何中的应用

【专题解读】旋转变换在几何中的应用问题一般综合性较强，常与三角形、四边形、平面直角坐标系、函数等知识综合考查.

（1）求证当旋转角为90°时，四边形abef是平行四边形；

分析本题综合考查平行四边形的性质与旋转的相关性质.

证明：

（1）当∠aof=90°时，ab∥ef.

∵af∥be，∴四边形abef为平行四边形.

（3）四边形bedf可能是菱形，理由如下:

∴ef与bd互相平分.

∴当ef⊥bd时，四边形bedf为菱形.

∴∠aob=45°,∴∠aof=45°,

专题3中心对称在几何中的应用

【专题解读】中心对称在几何中主要应用于图案设计问题或与平行四边形有关的证明或计算题．

分析平行四边形和圆都是中心对称图形．因为过中心对称图形中心的任意一条直线都可以把这个中心对称图形的面积平分，所以所要画的直线只需同时过两个图形的对称中心即可．

解：

如图23—94所示，平行四边形的两条对角线交于m点，则m点就是平行四边形的中心，画直线om，则直线om同时把两个图形分别分成了面积相等的两部分．

【解题策略】本题应用了过中心对称图形中心的直线平分图形的面积这一性质．

分析因为四边形egfh的对角线互相垂直，所以欲证它是菱形，只需证它是平行四边形．因为e，f与g，h分别是以o为对称中心的对称点，所以由中心对称的性质可得oe=of，og=oh，于是问题得以证明．

∴g，h是以o为对称中心的对称点．

根据中心对称图形的对称点的连线经过对称中心，并且被对称中心平分这

一性质可得og=oh．

同理可以得到oe=of．

∴四边形egfh是平行四边形，

∵ef⊥gh，∴□egfh为菱形.

【解题策略】本题利用中心对称的性质得出了四边形egfh的对角线互相平分，大大简化了证明过程.

二、规律方法专题

专题4综合运用旋转、平移、轴对称知识探索“辅助线”的作法

【专题解读】在几何中，经常需要作辅助线，如何作辅助线是急需掌握的，仔细研究题目中的已知、求解及图形的特征，对辅助线的发现大有帮助．运用旋转、平移、轴对称等知识，可以使复杂的问题变得简单，达到事半功倍的效果．

又∵me⊥mf，∴en=ef．

∴ab2+ae2=be2，∴∠bae=90°．

在rt△abd中，bd2=ab2+ad2=52+62=61，

专题5利用旋转设计方案

分析欲分成形状相同且面积相等的三部分，可考虑将正三角形划分成旋转三次（相同的方式）都与自己重合的图形．

得到d′，d″，连接od′，od″，得方案2，如图23—99②所示．

【解题策略】本题用了旋转对称图形的性质，旋转对称图形是指一图形绕一点旋转一个角度后能与自身重合，将图形三等分，则每次旋转.

三、思想方法专题

专题6从特殊到一般的思想

【专题解读】对于图形的变换，常常由几种特殊情况总结一般的规律，进而解决问题．

（1）如图23-100

（1）所示，ad=be成立吗?

分析本题主要考查旋转变换过程中不同位置时相对应的图形，由于是两个等边三角形组成的图形，所以在旋转过程中确立了很多相等关系．

故ad=be成立．

专题7转化思想

【专题解读】运用转化思想可将旋转问题转化为已知几何图形问题加以解决，降低问题的难度．

∠b=，

a++90°=180．∴θ=2a．

专题8数形结合思想

【专题解读】解旋转知识与平面直角坐标系等知识的综合题时，最好的办法是运用数形结合思想结合几何图形进行解题．

例13如图23—102所示，在平面直角坐标系xoy中，a点的坐标为（3，4），将oa绕原点o顺时针旋转90°得到oa′，则点a′的坐标是（）

a．（-4，3）b．（-3，4）

分析本题主要考查旋转知识与平面直角坐标系知识的综合应用．由题可知oa绕原点o顺时针旋转90°，得到0a′，则点a′应在第四象限，故排除a，b选项，连接aa′，由于∠aoa′=90°，故△aoa′为等腰直角三角形，因此可求出a′点的坐标为（4，-3）．故选d．

【解题策略】旋转知识与平面直角坐标系相关知识的综合应用，应注意点所在的象限及长度相等的对应线段．

2011中考真题精选

一、选择题

1.（2011•南通）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

a、b、

考点：

中心对称图形；轴对称图形。

分析：

结合轴对称图形与中心对称图形的定义进行分析

点评：

本题主要考察轴对称图象的定义和中心对称图形的定义，解题的关键是找到图形是否符合轴对称图形和中心对称图形的定义

考点：

旋转的性质；含30度角的直角三角形。

专题：

创新题型；探究型。

∵bd=ab=2，

点评：

本题考查的是图形旋转的性质及直角三角形的性质、三角形中位线定理及三角形的面积公式，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键，即：

①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．

3.（2011•宁夏，8，3分）如图，△abo的顶点坐标分别为a（1，4）、b（2，1）、o（0，0），如果将△abo绕点o按逆时针方向旋转90°，得到△a′b′o′，那么点a′、b′的对应点的坐标是（　　）

a、a′（﹣4，2），b′（﹣1，1）b、a′（﹣4，1），b′（﹣1，2）

考点：

坐标与图形变化-旋转。

专题：

探究型。

分析：

根据图形旋转的性质对四个答案用排除法进行解答即可．

解答：

解：

∵图形旋转后大小不变，

∴oa=oa′==，

∴a、d显然错误；

同理ob=ob′==．

故选d．

点评：

本题考查的是图形旋转的性质，即图形旋转后其大小和形状不会发生变化．

考点：

旋转的性质；等边三角形的性质。

分析：

设三角形的边长是x，则

（1）中阴影部分是一个内角是60°的菱形，图

（2）是个角是30°的直角三角形，分别求得两个图形的面积，即可求解．

解答：

解：

设三角形的边长是x，则高长是．

图

（1）中，阴影部分是一个内角是60°的菱形，ad=×=．

另一条对角线长是：

2××sin30°=x．

则阴影部分的面积是：

×x•x=x2；

图

（2）中，ad=×=．

是一个角是30°的直角三角形．

两个三角形重迭区域的面积比为：

x2：

x2=4：

3．

点评：

本题主要考查了三角形的重心的性质，以及菱形、直角三角形面积的计算，正确计算两个图形的面积是解决本题的关键．

5.（2011天津，2，3分）下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是（　　）

考点：

中心对称图形。

分析：

根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可．

解答：

解：

a．旋转180°，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项正确；

b．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；

d．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；

故选：

a．

点评：

此题主要考查了中心对称图形的性质，根据中心对称图形的定义判断图形是解决问题的关键．

6.（2010重庆，3，4分）下列图形中，是中心对称图形的是（）

考点：

中心对称图形

分析：

根据中心对称图形的定义来判断：

把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

解答：

解：

a、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形；

b、将此图形绕某一点旋转180度正好与原来的图形重合，所以这个图形是中心对称图形；

d、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形．

故选b．

点评：

本题主要考查中心对称图形的定义：

把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

考点：

待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；中心对称。

解答：

解：

设d（1，0），

∴od=oe=1，

∵顶点b的坐标为（6，4）．

∴e（5，4）

设直线l的函数解析式是y=kx+b，

∵图象过d（1，0），e（5，4），

∴，

解得：

，

∴直线l的函数解析式是y=x﹣1．

故选d．

点评：

此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是求出e点坐标．

考点：

几何变换的类型。

专题：

常规题型。

故选d．

点评：

本题考查了几何变换的类型，几何变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，本题用到了旋转变换与平移变换，对识图能力要求比较高．

9.（2011•郴州）观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）

a、b、

考点：

中心对称图形；轴对称图形。

专题：

几何图形问题。

分析：

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

解答：

解：

a、不是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误；

b、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误；

d、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误．

点评：

本题考查轴对称图形及中心对称图形的知识，要注意：

轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．

10.（2011•莱芜）以下多边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

考点：

中心对称图形；轴对称图形。

专题：

几何图形问题。

分析：

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

解答：

解：

a、是轴对称图形，不是中心对称图形；

b、是中心对称图形，也是轴对称图形；

d、是中心对称图形，也是轴对称图形；

故选b．

点评：

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称折叠后可重合，判断中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

11.（2011•莱芜）观察如图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是（　　）

考点：

几何变换的类型。

专题：

常规题型。

分析：

观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转、位似的定义作答．

解答：

解：

a、图形的方向发生了改变，不符合平移的定义，本题图案不包含平移变换，故本选项符合题意；

b、有8条对称轴，本题图案包含轴对称变换，故本选项不符合题意；

d、符合位似图形的定义，本题图案包含位似变换，故本选项不符合题意．

故选a．

点评：

考查图形的四种变换方式：

对称、平移、旋转、位似．

对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．

平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．

旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．

位似的特点是几个相似图形的对应点所在的直线交于一点．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．

12.（2011山东青岛，4，3分）下列汽车标志中既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）

考点：

轴对称图形；中心对称图形。

分析：

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

解答：

解：

a．是轴对称图形，不是中心对称图形；

b．是轴对称图形，不是中心对称图形；

d．是中心对称图形，也是轴对称图形．

故选d．

点评：

此题将汽车标志与对称相结合，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．

13.（2011泰安，3，3分）下列图形：

其中是中心对称图形的个数为（　　）

考点：

中心对称图形。

专题：

图表型。

分析：

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

解答：

解：

一图是轴对称图形，二图是中心对称图形，三图是轴对称图形，四图即是中心对称图形，也是周对称图形；

所以，中心对称图形的个数为2．

故选b．

点评：

本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：

轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

14.（2011泰安，12，3分）若点a的坐标为（6，3）o为坐标原点，将oa绕点o按顺时针方向旋转90°得到oa′，则点a′的坐标是（　　）

考点：

坐标与图形变化-旋转。

专题：

作图题。

分析：

正确作出a旋转以后的a′点，即可确定坐标．

解答：

解：

由图知a点的坐标为（6，3），

根据旋转中心o，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，

点a′的坐标是（3，－6）．

故选a．

点评：

本题考查了图形的旋转，抓住旋转的三要素：

旋转中心o，旋转方向顺时针，旋转角度90°，通过画图得a′．

考点：

相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；平移的性质；旋转的性质。

专题：

计算题。

在rt△ab′d中，∵∠a=30°，

点评：

本题考查了旋转的性质，30°直角三角形的性质，平移的问题．关键是找出表示平移长度的线段，把问题集中在小直角三角形中求解．

16.（2011四川泸州，2，2分）如图，该图形绕点o按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（　　）

考点：

旋转对称图形．

分析：

该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．

点评：

本题考查旋转对称图形的概念：

把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．

17.（2011四川攀枝花，2，3分）下列图形中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（　　）

a、b、

考点：

中心对称图形；轴对称图形。

分析：

根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形性质即可判断出．

点评：

此题主要考查了中心对称图形以及轴对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．

18.（2011北京，3，4分）下列图形中，即是中心对称又是轴对称图形的是（　　）

考点：

中心对称图形；轴对称图形。

分析：

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，四个选项中，只有d选项既为中心对称图形又是轴对称图形

解答：

解：

a．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；

b．是不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；

d．既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项正确．

故选d．

点评：

本题主要考察中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

19.（2011福建莆田，4，4分）在平行四边形、等边三角形、菱形、等腰梯形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

考点：

中心对称图形；轴对称图形．

专题：

应用题．

分析：

根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别对平行四边形、等边三角形、菱形、等腰梯形进行分析即可得出结果．

解答：

解：

等边三角形、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，

平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，

菱形是轴对称图形，也是中心对称图形．

点评：

本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，

图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，比

较简单．

20.（2011福建龙岩，3，4分）下列图形中是中心对称图形的是（）

考点：

中心对称图形。

分析：

根据中心对称图形的定义进行解答，找到图形的对称中心．

点评：

本题主要考查对中心对称图形的定义的掌握，解题的关键是看那个图形能够找到对称中心，是否符合中心对称图形的定义．

21.（2011福建省三明市，6,4分）有5张形状、大小、质地均相同的卡片，背面完全相同，正面分别印有等边三角形、平行四边形、菱形、等腰梯形和圆五种不同的图案．将这5张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽出一张，抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为（　　）

a、b、

考点：

概率公式；轴对称图形；中心对称图形。

分析：

根据中心对称图形的定义得出等边三角形、平行四边形、菱形、等腰梯形和圆五种图案哪些是中心对称图形，即可得出答案．

解答：

解：

∵根据中心对称图形的性质，旋转180°后，能够与原图形完全重合的图形是中心对称图形，

∴只有平行四边形、菱形、圆是中心对称图形，

∵共有5张不同卡片，

∴抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为：

，

点评：

此题考查主要考查了概率求法以及中心对称图形的定义，此题比较简单，正确记忆中心对称图形的定义是解决问题的关键．

a、顺时针旋转90°b、逆时针旋转90°

考点：

旋转的性质。

分析：

此题根据给出的图形先确定出旋转中心，再确定出旋转的方向和度数即可求出答案．

故选b．

点评：

本题主要考查旋转的性质，在解题时，一定要明确三个要素：

旋转中心、旋转方向、旋转角度．

考点：

锐角三角函数的定义；旋转的性质．

∴tanb′=tanb=．

故选b．

点评：

本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．

24.（2010广东佛山，7，3分）一个图形无论经过平移还是旋转，有以下说法（）

①对应线段平行；②对应线段相等；

③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化

考点旋转的性质；平移的性质

分析掌握平移和旋转的性质及其区别，平移变换对应线段平行，但旋转后对应线段不平行．

解答解：

平移后对应线段平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化．

旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化．

故选d．

点评此题考查了图形变换的性质及其区别，属基础题．

25.（2011辽宁沈阳5，3）下列图形是中心对称图形的是（　　）

考点：

中心对称图形。

专题：

几何图形问题。

分析：

根据中心对称图形的定义，结合各图特点解答．

故选d．

点评：

考查了中心对称图形的概念：

绕着一点旋转180°后，与原图形重合的图形是中心对称图形．

26.（2010河南，6，3分）如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，先将它绕原点o旋转180°到乙位置，再将它向下平移2个单位长到丙位置，则小花顶点a在丙位置中的对应点a′的坐标为（　　）

考点：

坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化-平移

分析：

根据图示可知a点坐标为（﹣3，﹣1），它绕原点o旋转180°后得到的坐标为（3，1），根据平移“上加下减”原则，向下平移2个单位得到的坐标为（3，﹣1）．

点评：

本题主要考查了根据图示判断坐标、图形旋转180°特点以及平移的特点，比较综合，难度适中．

考点：

坐标与图形变化-旋转。

解答：

解：

∵点b的坐标是（2，1），

∴点b关于点o的对称点b1点的坐标是（﹣2，﹣1）．

点评：

此题主要考查了旋转变换，本题实际就是一个关于原点成中心对称的问题，要根据中心对称的定义，充分利用网格的辅助解题．

28.（2011湖南衡阳，4，3分）下列几个图形是国际通用的交通标志，其中不是中心对称图形的是（　　）

考点：

中心对称图形；生活中的旋转现象。

分析：

根据中心对称图形的定义解答．

故选d．

点评：

本题考查中心对称图形的概念：

在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

29.（2011•玉林，4，3分）下列图形是轴对称图形，又是中心对称图形的有（　　）

a、4个b