微观经济学计算题和简答题概要.docx
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微观经济学计算题和简答题概要
1.假定某消费者关于某种商品的需求数量 Q 与收入 M 之间的函数关系为 M=100Q2
求:
当收入 M=2500 时的需求的收入点弹性
由 M=100Q2
得:
Q =
M
100
dQ
dM
= ( )
2 100
1
∙
1
100
em =
dQ
dM
∙
M
Q
= ( )
2 100 100
1
M
M
=
1
2
100
相应的需求的收入点弹性恒等于 1/2
2.假定需求函数为 Q=MP-N,其中 M 表示收入,P 表示商品价格,N(N>0)为常数。
求:
需求的价格弹性和需求的收入点弹性。
ed = -
dQ
dP
∙
P
Q
= -M (-N )P-N -1
P
MP-N
= N
em =
dQ
dM
∙
M
Q
= P-N
M
MP-N
= 1
3.假定某商品市场上有 100 个消费者,其中 60 个消费者购买该市场 1/3 的商品,且每个消
费者的需求的价格弹性均为 3;另外 40 个消费者购买该市场 2/3 的商品,且每个消费者的
需求的价格弹性均为 6.求:
按 100 个消费者合计的需求的价格弹性系数是多少?
令市场上被 100 个消费者购买的商品总量为 Q,相应的市场价格为 P
根据题意:
该市场 1/3 的商品被 60 个消费才买走,且每个消费者的需求的价格弹性都是
3,单个消费者 i 的需求价格弹性可以写为:
edi = -
dQi
dP
∙
P
Qi
= 3 ,即:
dQi
dP
Q
P
(i=1, 2,…,60)
(1)
∑ Q
且:
60
i=1
i
=
Q
3
(2)
再根据题意,该市场的 2/3 的商品被另外 40 个消费者购买,且每个消费者的需求的价格弹
性是 6,这样单个消费者 j 的需求的价格弹性可写为:
ed j = -
dQj
dP
∙
P
Qj
= 6 ,即:
dQj
dP
= -6
Qj
P
(j=1, 2, …40) (3)
∑ Q
而且:
40
j=1
j
=
2Q
3
(4)
该市场上 100 个消费者合计的需求的价格弹性可以写为:
ed = -
dQ
dP
∙
P
Q
= -
60 40
i=1 j=1
dP
∙
P
Q
60
i=1 dP
40 dQj
j=1 dP
)
P
Q
将
(1)和(3)代入上式,得:
60
i=1
Qi
P
40
j=1 P
P
Q
= -[-
3 60
P
Qi +
- 6 40 P
P
将
(2)和(4)代入上式得:
)
ed = -(-
3
P
∙
Q
3
-
6 2Q P
P 3 Q
= 5
4.假定某消费者的需求的价格弹性 ed=1.3,需求的收入弹性 eM=2.2.求
(1)在其他条件不变
的情况下,商品价格下降 2%对需求数量的影响。
(2)在其他条件不变的情况下,消费者收入提高 5%对需求数量的影响。
∆Q
ed = -
Q
P
∆Q
Q
= -ed ∙
∆P
P
∙=
= -1.3 (- 2%) 2.6%
eM =
∆Q
Q
∆M
M
∆Q
Q
= eM
∆M
M
∙=
= 2.2 (5%) 11%
2、如果 B 厂商降价后,使得 B 厂商的需求量增加为 QB = 160 ,同时使得竞争对手 A 厂商
的需求量减少为 QA = 40 。
那么,厂商的需求的交叉价格弹性 eAB 是多少?
5.假定在某市场上 A、B 两厂商是生产同种有差异的产品的竞争者该市场对 A 厂商的需求
曲线为 PA=200-QA,对 B 厂商的需求曲线 PB=300-0.5QB;两厂商目前的销售量分别为
QA=50,QB=100,求:
1、A、B 两厂商的需求的价格弹性 edA 和 edB 各是多少?
'
'
3、如果厂商追求销售收入最大化,那么,你认为 B 厂商的降价是一个正确的行为选择吗?
1、关于 A 厂商:
PA=200-QA=200-50=150,且厂商的需求函数可写成:
QA=200-PA,厂商的需求价格弹性:
eda = -
dQA
dPA
P
QA
150
50
= 3
关于 B 厂商:
PB=300-0.5QB=300-0.5×100=250,且厂商的需求函数为:
QB=600-2PB,
厂商的需求价格弹性:
edB = -
dQB
dPB
P 250
QB 100
= 5
2、令 B 厂商降价后的价格分别为 PB 和 PB ,且 A 厂商相应的需求量分别为 QA 和 QA ,因此:
'’
PB=300-0.5QB=300-0.5×100=250
'
PB =300-0.5×160=220
QA=50
A
Q’ =40
厂商的需求的交叉价格弹性:
eAB =
∆QA
∆PB
P
QA
- 10
- 30
∙
250
50
=
5
3
以 B 厂商由 PB=250 下降为 PB =20 时,将会增加销售收入。
降价后 PB =220, QB = 160 ,厂商的 TR B = PB ∙ QB = 220 ⨯160 = 35200
P2=30 元,该消费者的效用函数为 u = 3x1x2 ,该消费者每年购买这两种商品的数量应各是
3、由题 1 可知,B 厂商在 PB=250 时的需求价格弹性为 5,厂商的需求是富有弹性的,所
'
降价前 PB=250,QB=100,厂商的 TRB=PB·QB=250×100=25000
''’’’
6.已知某消费者每年用于商品 1 和商品 2 的收入为 540 元,两商品的价格为 P1=20 元,
2
多少?
每年从中获得的总效用是多少?
MU1 =
MU 2=
dTU
dX 1
dTU
dX 2
= 3X 2
= 6 X1X 2
消费者效用最大化的均衡条件:
MU1
MU2
P
P2
3X22
6X1X2
=
20
30
,得:
X2 =
4
3
X1 ,代入预算约束条件 20X1+30X2=540
得 X1 = 9 , X2 = 12
U * = 3X(X*2)2 = 3 ⨯ 9 ⨯122 = 3888
7.假定某消费者的效用函数为 U = x1 x2 ,两商品的价格分别为 P1,P2,消费者的收入为
**
将上述最优的商品组合代入效用函数, 得:
*
1
0.50.5
M。
分别求该消费者关于商品 1 和商品口的需求函数。
MU1 =
MU2 =
dTU
dx1
dTU
dx2
10
= 0.5x-0.5x2.5
02
= 0.5x1 .5x-0.5
根据消费者效用最大化的均衡条件:
0.5x-0.5x2.5
P
0.5-0.5
P
x2
P
x1
P
P x1
即:
x2 =
P
MU1
MU2
P
P2
12
将上式得入约束条件 P x1 + P x2 = M ,有:
P1x1 + P ∙
M
x1 =
1
2P
P x1
P
= M
同理可得:
x1 =
M
2
2P
8.假定消费者的效用函数为 U=q0.5+3M,其中 q 为某商品的消费量,M 为收入。
求:
该消费者的需求函数;该消费者的反需求函数;当 p=1/12,q=4 时的消费者剩余。
商品的边际效用:
MU =
∂U
∂q
= 0.5q-0.5
货币的边际效用:
∂U
∂M
= λ = 3
消费者均衡条件:
MU/q=λ, 有:
0.5q-0.5
P
= 3 ,得需求函数:
q =
1
36P2
反需求函数:
p =
1
6 q
q
0
1
6 q
1 q 1
)dq - pq = q 2 - pq = q 2 - pq ,
0
设某消费者的效用函数为 U = x y ,商品 x 和商品 y 的价格分别为 Px 和 Py,消费者的收
以 p=1/12,q=4 代入上式,则消费者剩余:
CS=1/3
αβ
入为 M,α和β为常数,且α+β=1
求该消费者关于商品 x 和商品 y 的需求函数。
证明当商品 x 和商品 y 的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时,消费者对两商品的
需求关系维持不变。
证明消费者效用函数中的参数α和β分别为商品 x 和商品 y 的消费支出占消费者收入的份额。
∂U
= αxα -1 yβ
MU x =
∂x
∂U
= βxα yβ =1
MU y =
∂y
根据消费者效用最大化的均衡条件
MUx
MU y
P
Py
x =
y =
αM
Px
βM
Py
当商品 x 和商品 y 的价格以及消费者的收入同时变动一个比例,相当于消费者的预算线变为
λPx x + λPy y = λM ,λ为非零常数。
此时消费者的均衡条件为:
αxα -1 yβ
α β -1
P
Py
同时还要
满足 λPx x + λPy y = λM ,这表明在这种情况下对两商品的需求关系维持不变。
由消费者的需求函数可得:
α =
β =
Px x
M
Py y
M
已知生产函数 Q=f(L, K)=2kL-0.5L2-0.5K2,假定厂商目前处于短期生产,且 K=10.
1 写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量 TPL 函数,劳动的平均产量 APL 函数和劳动
的边际产量 MPL 函数。
2、分别计算当劳动的总产量 TPL、劳动的平均产量 APL 和劳动的边际产量 MPL 各自达到
最大值时的厂商的劳动投入量。
3、什么时候 APL=MPL?
它的值又是多少?
1、短期生产函数 Q=20L-0.5L2-0.5·102=20L-0.5L2-50,
劳动的平均产量函数 APL=TPL/L=20-0.5L-50/L
劳动的边际产量函数 MPL=dTPL/dL=20-L
已知生产函数为 Q=min(L, 4k).求:
(1)当产量 Q=32 时,L 与 K 值分别是多少?
(2)如
果生产要素的价格分别为 PL=2, PK=5, 则生产 100 单位产量时的最小成本是多少?
(1)生产函数 Q=min(L, 4k),表示函数是一个固定投入比例的生产函数,厂商生产时总有
Q=L=4K.
已知产量 Q=32,相应地有 L=32, K=8
(2)由 Q=L=4K,且 Q=100,可得:
L=100,K=25
C=PL·L+PK·K=2*100+5*25=325
已知生产函数为:
(1)Q=5L1/3K2/3
(2) Q=KL/(K+L)
(3)Q=KL2
(4) Q=min(3L,K)
求 厂商长期生产的扩展线方程;
当 PL=1, PK=1, Q=1000 时,厂商实现最小成本的生产要素投入组合
(1)关于生产函数 Q=5L1/3K2/3:
2 2
3
1 1
MPK =
L K
3
由最优要素组合的均衡条件
K
P
2L
PK
MPL
MPK
P
PK
即厂商长期扩展线方程 K=(2PL/PK)L
(2)关于生产函数 Q =
KL
K + L
MPL =
MPK =
K (K + L) - KL
2
(K + L)
L(K + L) - KL
(K + L)2
=
=
K 2
(K + L)2
L2
(K + L)2
由最优要素组合的均衡条件得:
K2
2
P
PK
即:
K=(PL/PK)1/2·L
(4),厂商 长期扩展线方程为 3L=k
已知生产函数 Q=AL1/3K2/3
判断
(1)在长期中,该生产函数的规模报酬属于哪一种类型?
(2)在短期生产中,该生产函数是否受边际报酬递减规律支配?
(1)Q=f(L, K)=AL1/3K2/3,
F(λL, λK)=A(λL)1/3(λK)2/3=λAL1/3K2/3=λf(L, K)
-
(2) MPL =
1
3
2 2
AL 3 K 3
dMPL
dL
5 2
= - AL 3 K 3 < 0
9
总成本函数:
TC(Q) = Q - 15Q + 100Q + 500
假定某厂商的边际成本函数 MC=3Q2-30Q+100,且生产 10 单位产量时的总成本为 1000。
求:
(1)固定成本的值。
(2)总成本函数、总可变成本函数,以及平均成本函数、平均可变成本函数。
TC = ⎰ MC(Q)dQ + TFC =⎰ (3Q2 - 30Q + 100)dQ + TFC = Q3 - 15Q2 + 100Q + TFC
103 - 15 ∙102 + 100 ∙10 + TFC = 1000
TFC = 500
32
总可变成本函数:
TVC(Q)=Q3-15Q2+100Q
平均成本函数:
AC(Q)=TC(Q)/Q=Q2-15Q+100+500/Q
平均可变成本函数 AVC(Q)=TVC(Q)/Q=Q2-15Q+100
假定某企业的短期成本函数是 TC(Q)=Q3-10Q2+17Q+66。
(1)指出该短期成本函数中的可变成本部分和不变成本部分;
(2)写出下列相应的函数:
TVC(Q)、AC(Q)、AFC(Q)和 MC(Q)。
某公司用两个工厂生产一种产品,其成本函数为 C = 2Q1 + Q2 - Q1Q2 ,其中 Q1 表示第一
22
个工厂生产的产量,Q2 表示第二个工厂生产的产量。
求:
当公司生产的产量为 40 时能够
使得公司生产成本最小的两个工厂的产量组合。
当一个公司用两个工厂生产同一种产品时,他必须使得两个工厂生产边际成本相等,即
MC1=MC2,才能实现成本最小的产量组合。
第一工厂的边际成本函数为:
MC1 =
∂C
∂Q1
= 4Q1 - Q2
第二个工厂的边际成本函数为:
MC2 =
∂C
∂Q2
= 2Q2 -Q1
4Q1-Q2=2Q2-Q1
即:
Q1 =
3
5
Q2
又因:
Q=Q1+Q2=40,将上式代入:
3
5
Q2 + Q2 = 40
*
*
Q2 = 25
Q1 = 15
1
1
1
已知生产函数 Q = A L K ;各要素的价格分别为 PA=1,PL=1, PK=2,假定厂商处于短
442
期生产,且 K = 16 。
推导:
该厂商短期生产的总成本函数和平均成本函数;总可变成本函数和平均可变成本函
数;边际成本函数。
总成本等式:
TC=PA·A+PL·L+PK·K
TC=1·A+1·L+2·16=A+L+32
1
1
1
1
1
生产函数可以写成:
Q = A 4 L(16)4 = 4A 4 L4 ,所谓的成本函数是指相对于给定产量而言
4
的最小成本。
-
-
MPA =
MPL =
∂Q
∂A
∂Q
∂L
=
=
1
4
1
4
3 1
∙ 4A 4 L4
1 3
∙ 4 A4 L 4
3 1
A 4 L4
1
=
1
A4 L
1
3
4
L = A
*
*
Q2
16
Q2
16
总成本函数:
TC(Q) = A + L + 32 =
Q2
16
+
Q2
16
+ 32 =
Q2
8
+ 32
平均成本函数:
AC(Q) =
TC(Q)
Q
=
Q
8
+
32
Q
总可变成本函数:
TVC(Q) =
Q2
8
平均可变成本函数:
AVC(Q) =
TVC(Q)
Q
=
Q
8
边际成本函数:
MC(Q) =
dTC(Q)
dQ
=
Q
4
已知某厂商的生产函数为 Q=0.5L1/3K2/3;当资本投入量 K=50 时资本的总价格为 500;劳动
的价格 PL=5;求:
劳动的投入函数 L=L(Q); 总成本函数、平均成本函数和边际成本函数;
当产品的价格 P=100 时,厂商获得的最大利润产量和利润各是多少?
当 K=50 时,资本总价格为 500,即 PK·K=PK·50=500,所以 PK=10.
2 2
6
MPK =
6
1 1
L K
MPL
MPK
P
PK
6
6
2 2
L K
1 1
L K
=
5
10
K=L
将上式代入生产函数 Q=0.5L1/3K2/3, 得:
Q=0.5L1/3L2/3.得劳动的投入函数 L(Q)=2Q
总成本函数:
TC=5L+10K=5·2Q+500=10Q+500
平均成本函数 AC(Q)=TC(Q)/Q=10+500/Q
边际成本函数 MC(Q) =
dTC(Q)
dQ
= 10
由 K=L 条件可知:
当 K=50 时,K=L=50.代入生产函数有 Q=0.5L1/3K2/3=0.5*50=25
由于成本最小化的要素组合(K=50,L=50)已给定,相应的最优产量 Q=25 也已给定,且
令市场价格 P=100,所以,利润:
π=P·Q-TC=100·25-(5·50+500)=1750
用图说明序数效用论者对消费者均衡条件的分析,以及在此基础上对需求曲线的推导。
已知某一时期内某商品的需求函数为 Qd=50-5P,供给函数为 Qs=-10+5P。
(1)求均衡价格 Pe 和均衡数量 Pe, 并作出几何图形。
(2)假定供给函数不变,由于消费者收入水平提高,使需求函数变为 Qd=60-5P。
求相应
的均衡价格和均衡数量。
(3)假定需求函数不变,由于生产技术水平提高,使供给函数变为 Qs=-5+5P, 求相应的
均衡价格和均衡数量。
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