概率论第3章习题详解.docx
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概率论第3章习题详解
习题二
3.设二维随机变量(
X,Y)的联合分布函数为
F(x,y)=血乂前丫,
0,
冗y2其他.
求二维随机变量
(X,
Y)
在长方形域0x
冗冗
4'6
内的概率.
【解】如图P{0X
7C
冗
'6
冗冗
F(2?
」}公式(3.2)
3
冗冗..
F(“)F(0-)
463
7C
n
F(0,n
1.将一硬币抛掷三次,以X表示在三次中出现正面的次数,以Y表示三次中出现正面次数与
出现反面次数之差的绝对值•试写出X和Y的联合分布律•
【解】X和Y的联合分布律如表:
0
1
2
3
1
0
Cig1113
汽厂8
Cfg1丄丄3/8违22
0
3
1
8
0
0
1111
2228
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律•
【解】X和Y的联合分布律如表:
0
1
2
3
0
0
0
—2—2—
—3—1
C3©3
c3Cc2
2
c435
C;
35
1
0
c3gC;gP2
6
cite;
12
eg
2
c;
35
c4
35
c4
35
2
P(0黑,2红,2
白)=
A
c3cc2cc2
6
琢2_3_
0
224
C2CC2/C7
1
c:
35
C;35
35
nnnnnn
sin-gsin—sin—gsin—sinOgsin—sinOgsin-
434636
¥(3i).
4
题3图说明:
也可先求出密度函数,再求概率。
4.设随机变量(X,Y)的分布密度
f(x,y)
Ae(3x4y),
x0,y0,
0,其他.
求:
(1)常数A;
(2)随机变量(X,Y)的分布函数;
(3)P{0wX<1,0 【解】 (1)由f(x,y)dxdyo°Ae-(3x4y)dxdyA1 得A=12 (2)由定义,有 yx F(x,y)f(u,v)dudv x12e(3u4v)dudv 0 (1e3x)(1e4y)y0,x0, 0, 0,其他 ⑶P{0X1,0Y2} P{0X1,0Y2} 012e (3x4y) dxdy (1e3)(1e8) 0.9499. 5.设随机变量(X,Y)的概率密度为 k(6x y),0x2,2 y4, 0, 其他. (1) 确定常数k; (2) 求P[X<1,Y<3}; (3) 求P{X<1.5}; (4) 求P{X+Yw4}. 【解】( 1)由性质有 f(x,y) (2) P{X1,Y f(x,y)dxdy 3} P{X1.5} 02k(6x f(x,y)dydx 31 2§k(6xy)dydxf(x,y)dxdy如图 x1.5 1.5dx0 a =D1 y)dydx8k1, 3 8 f(x,y)dxdy P{XY4} XY 2 41 —(6xy)dy 28 f(x,y)dxdy如图bf(x,y)dxdy 27 32 4D2 4x12 (6xy)dy-83 0.2)上服从均匀分布, 题5图 X在(0, dx02 6.设X和Y是两个相互独立的随机变量, Y的密度函数为 fY(y) 5e5y 0, y0, 其他. 求: (1)X与Y的联合分布密度; (2)P{Y 题6图 所以 【解】 (1)因X在(0,0.2)上服从均匀分布, X的密度函数为 丄 fx(x)0.2, 0, x0.2, 其他. 所以 fY(y) 5e5y,y0, 0,其他. f(x,y)X,丫独立fx(x)gfy(y) 5e5y 25e5y,0x0.2且y0, 0, 0,其他• ⑵P(YX)f(x,y)dxdy如图25e5ydxdy yxD 0.2 dx 0 25e-5ydy 02(5e5x 5)dx ■1 =e0.3679. 7.设二维随机变量 X,Y)的联合分布函数为 F(x,y) (1 0, 4xe )(1 e2y), x0,y0, 其他. 求(XY)的联合分布密度 【解】f(x,y) 2F(x,y) 8e(4x 2y) 8.设二维随机变量( X, Y) (X, 0, 的概率密度为 4.8y(2 0, 0,y其他. x), 0, 1,0 yx, 其他. 求边缘概率密度 【解】fX(X) f(x,y)dy x 04.8y(2x)dy 0, 2.4x2(2 0, x), 0 其他. 1, fY(y) f(x,y)dx 1 y4.8y(2x)dx 2.4y(34yy2),0y1, 0,其他. y\ 1 y=x' w p. o X 9.设二维随机变量 题8图 X,Y)的概率密度为 y e,0xy, 0,其他. 求边缘概率密度 【解】fX(x)f(x,y)dy x 0, eydy xc e,x0, 0,其他. fy(y)f(x,y)dx yeydx 0 0, yex,y0, 0,其他. 10.设二维随机变量 X,Y的概率密度为 f(x,y)= 2 cxy, 0, 2 xy1,其他. 题10图 (1)试确定常数c; (2)求边缘概率密度 【解】 (1)f(x,y)dxdy如图f(x,y)dxdy D 1 dx -1 2cx2ydy x 4c21 21c. ⑵fx(x)f(x,y)dy 1212124\ 2xydyx(1x),1x1, x48 0,0,其他. fY(y)f(x,y)dx y21 y4 x2ydx 5 2y2,0y1, 0,0,其他. 11.设随机变量(X,Y)的概率密度为 求条件概率密度 【解】fx(x) f(x,y) fYix(y|x), f(x,y)dy 1,yx,0x1, 0,其他. 题11图 fxiY(x|y). 2x, x1, x 1dy x 0, 其他. 所以 fY(y) f(x,y)dx 1 1dx y 1 1dx y 0, y, y, 1y0, 0y1, fYix(y|x) f(x,y) fx(x) 1 2x 0, |y|x1, 其他. yx1, fxY(x|y) f(x,y) fY(y) iy 亠,yxi, iy 0,其他. 12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码为X,最大 的号码为Y. (1)求X与Y的联合概率分布; (2)X与Y是否相互独立? 【解】 (1)X与Y的联合分布律如下表 3 4 5 P{XXi} 1 1 1 2 2 3 3 6 亠3 亠3 — 10 C5 10 C5 10 c5 10 2 0 3 1 1 2 2 10 10 10 3 0 0 A 1 1 1 ■^― ~2 ■^― 10 C5 10 1 3 6 P{Yyi} 10 10 10 6161 (2)因P{X1}gP{Y3}P{X1,Y3}, 101010010 故X与Y不独立 (2)X与Y是否相互独立? ⑵因P{X2}gP{Y0.4}0.20.80.160.15P(X2,Y0.4), 故X与Y不独立. 14.设X和Y是两个相互独立的随机变量, fv(y)= X在(0, 1y/2 2e, 0, 1)上服从均匀分布,Y的概率密度为 y0, 其他. (1)求X和Y的联合概率密度; (2)设含有a的二次方程为a2+2Xs+Y=0, 试求 a有实根的概率. 1,0x1, 【解】 (1)因fX(X)°,其他; fv(y) 12e2 2 0, y1, 其他. 1e故f(x,y)X,Y独立fx(x)gfY(y)2 y/2 x1,y0, 故 从而方程有实根的概率为: (2X)24Y0 灯Y, P{X2Y} x2 f(x,y)dxdy y dx x21 e 0 y/2dy 15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命 (以小时计),并设X和Y相互独立,且服从 x1000, 其他. 同一分布,其概率密度为 1000 f(X)=丁 0, 求Z=X/Y的概率密度 【解】如图,Z的分布函数FZ(z) X P{Zz}P{Xz} (1) 当zW0时,FZ(z)0 (2) 当0 x=1000时,y=^0) z (如图a) io3dy 1: z孽dx 10xy Fz(z) xy-z 106 103 106 dy 2 3 当z>1 103 Fz(z) 103 106 22dxdyxy zy106 df^dx 103 106 3 zy dy 1 2z fz(z) fz(z) 1丄 2z z 2 0, 1 尹 1 2, 0, 1, z1, 其他. 1, z1, 其他. 16. 只, 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从(160,20)分布.随机地选取4求其中没有一只寿命小于180的概率. 【解】设这四只寿命为X(i=1,2,3,4),则X〜N(160,202), 从而 P{min(X! X2,X3,X4)180}Xi之间独立P{Xi180}gP{X2180} P{X3180}gP{X4180} [1P{X1180}]C P{X2180}]g1P{X3180}]g1P{X4180}] [1 P{X1 4 180}] 4 180160 1 20 [1 4 (1)] 4 (0.158) 0.00063. 17.设X,Y是相互独立的随机变量,其分布律分别为 F^[X=k}=p(k),k=0,1,2,…,P{Y=r}=q(r),r=0,1,2,…证明随机变量Z=X+Y的分布律为 i P{Z=i}=p(k)q(i k0 k),i=0,1,2,…. 【证明】 因X和Y所有可能值都是非负整数, 所以 {Z i}{X Yi} {X 0,Yi}U{X 1,Yi1}ULU{Xi,Y0} 于是 P{Zi} i P{X k0 k,Yi k}X,Y相互独〔 i 立P{Xk}gP{Yik} k0 i p(k)q(ik) k0 18.设X,Y是相互独立的随机变量,它们都服从参数为n,p的二项分布.证明Z=X+Y服从参 数为2n,p的二项分布. 【证明】方法一: X+Y可能取值为0,1,2,…,2n. k P{XYk}P{Xi,Yki} i0 i0 nkinki Pq ki k i0 n i ini pq k n n k2nk pq i0 i ki 2n k2nk P q k 方法二 : 设11,12,…,1n;11,1, 1 1n 均服从两点分布(参数为p),则 X=11+12+…+1n,Y=11'+ a2, +…+ / 1n, k P(Xi)gP{Yki} X+Y=(1l+口2+…+口n+口1,+2,+…+口n 所以,X+Y服从参数为(2n,p)的二项分布. 19.设随机变量(X,Y)的分布律为 * 0 1 2 34 5 0 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 1 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 3 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 (1)求RX=2|Y=2},RY=3|X=0}; 2)求V=max(X,Y)的分布律; (3)求U=min(X,Y)的分布律; (4)求W=X+Y的分布律. 【解】 (1)P{X2|Y2} P{X2,Y2} P{Y2} P{X2,Y2} 5 P{Xi,Y2} i0 0.051 0.252 P{Y3|X0} P{Y3,X0} P{X0} P{X0,Y3} 3 P{X0,Yj} j0 0.011 0.033 i,Yi}P{Xi,Yi} P{X k0 i,Y i k}P{X k0 k,Yi}, i0,123,4,5 V=max(XY)0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28 ⑶P{Ui}P{min(X,Y)i} P{Xi,Yi} 3 P{Xi,Yi} P{Xi,Y ki 5 k}P{Xk,Yi} ki1 i0,123, U=min(XY) P 0.28 0.30 0.25 0.17 WX+Y P (4)类似上述过程,有 12345678 0.020.060.130.190.240.190.120.05 (2) 【解】因(X,Y)的联合概率密度为 20.雷达的圆形屏幕半径为R设目标出现点(X,Y)在屏幕上服从均匀分布. (1)求RY>0|Y>X}; 1222 f(x,y) 2,xyR,R 0,其他. (1)P{Y0|YX} P{Y0,YX} P{YX} f(x,y)d y0 yx f(x,y)d yx n d n4 R12rdr 0n2 5 —n 4d n4 R12rdr 0n2 3/83 1/24 e1 【解】区域D的面积为Sdx 1x 1f(x,y)2 0, (X,Y)关于X的边缘密度函数为 2 lnxe2.(X,Y)的联合密度函数为 “2c1 1xe,0y, x 其他. fx(X) 1/x11 02dy2? 0, 1xe2, 其他. 1 所以fX (2)[ 4 y1 y2 y3 P{X=Xi}=pi X1 X2 1/8 1/8 P{Y=yj}=p 1/6 1 22.设随机变量X和Y相互独立,下表列出了二维随机变量( XY)联合分布律及关于X和 Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处 2 【解】因P{Yyj}PjP{Xx,Yyj}, 1 故P{Y比} P{XX1,YydP{XX2,Yyd, 从而P{Xx1,Y 1 24 (2)P{M 0}P{max(X,Y)0}1 P{max(X,Y) 0} 1P{X0,Y0}1 f(x,y)d 113. x0 y0 44 21.设平面区域 D由曲线y=1/x及直线y=0, x=1,x=e$所围成, 二维随机变量(XY) 在区域D上服从均匀分布,求(X,Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少? 而X与Y独立,故P{XXj}gP{Yyj}P{Xxi,Yyi}, 11 从而P{Xx,}—P{X为,丫y,} 624 111 即: P{Xx,}/. 2464 又P{X X1} P{X X1,Y yd P{X 1 即丄 1 1 P{X 冷丫 y3}, 4 24 8 从而 P{X X1,Yy3} 1 12 . 同理 P{Y y? } 1 2' P{X X2,Y 3 又 P{Y yj} 1,故 P{Y Y3) 1 1- Xi,Y y? } ji y』p{x Xi,Yy3), 3 同理P{Xx2}. 4 Xi,Yy3}1 11 124 从而 P{XX2,Yy3}P{Y滋P{X Y1 Y2 Y3 P{XX}P 1 1 1 1 X1 — — — 24 8 12 4 1 3 1 3 X2 — — 8 8 4 4 P{Y Yj}Pj 1 1 1 1 6 2 3 23.设某班车起点站上客人数X服从参数为入(入>0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0 (1)在 发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率; (2)二维随机变量(X,Y)的概 率分布. 【解】 (1)P{Ym|Xn}C: pm(1p)nm,0mn,n0,1,2丄. (2)P{Xn,Ym}P{Xn}gP{Ym|Xn} mmnme CnP(1P)呻 n,n0,1,2,L. 24.设随机变量X和Y独立,其中X的概率分布为X~ 0.3 0.7 而Y的概率密度为f(y), 求随机变量U=X^Y的概率密度g(u). 【解】设F(y)是Y的分布函数,则由全概率公式,知 U=XfY的分布函数为 G(u)P{XYu}0.3P{XYu|X 1}0.7P{XYu|X2} 0.3P{Yu1|X1}0.7P{Yu 2|X 2} 由于X和Y独立,可见 G(u)0.3P{Yu1}0.7P{Y u2} 0.3F(u 1)0.7F(u 2). 由此,得U的概率密度为 g(u)G(u) 0.3F(u1) 0.7F (u2) 0.3f(u 1)0.7f(u 2). 25.w1}. 解: 25.设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3] 上的均匀分布, 求P{max{X,Y} 因为随即变量服从[0,3]上的均匀分布,于是有 1 f(x)3 0, 3, f(y) 因为X, Y相互独立,所以 推得 26. 0,x 3; 1c 3,0y 0,y0,y 3, 3. f(x,y) 1 9 0, 3,0 3, 0,y0,x3,y P{max{X,Y}1}1 9 3. 设二维随机变量(X,Y)的概率分布为 其中a,b,c为常数,且X的数学期望E(X)=0.2,P{Y<0|Xw0}=0.5,记Z=X+Y.求: (1)a,b,c的值; (2)Z的概率分布; (3)P{X=Z}. 解 (1)由概率分布的性质知, a+b+c+0.6=1即a+b+c=04 由E(X)0.2,可得 ac0.1. 再由P{Y0X0}P{X0,Y0}abZ0.5, P{X0}ab0.5 得ab0.3. 解以上关于a,b,c的三个方程得 a0.2,b0.1,c0.1. ⑵Z的可能取值为2,1,0,1,2, P{Z2}P{X1,Y1}0.2, P{Z1}P{X1,Y0}P{X0,Y1}0.1, 0.3, P{Z0}P{X1,Y1}P{X0,Y0}P{X1,Y1} P{Z1}P{X1,Y0}P{X0,Y1}0.3, P{Z2}P{X1,Y1}0.1, 即Z的概率分布为 Z 21012 P 0.20.10.30.30.1 ⑶P{XZ}P{Y0}0.1b0.20.10.10.20.4 2 ⑵方程a2XaY0有实根的条件是
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