北师版八上数学知识点.docx
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北师版八上数学知识点
第11章数的开方
11.1平方根与立方根
一、平方根
1、定义:
如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。
(也叫做二次方根)
即:
若x²=a,则x叫做a的平方根。
2、性质:
(1)一个正数有两个平方根。
它们互为相反数;
(2)零的平方根是零;
(3)负数没有平方根。
二、算术平方根
1、定义:
正数a的正的平方根,叫做a的算术平方根。
2、算术平方根的性质:
(1)一个正数的算术平方根只有一个且为正;
(2)零的算术平方根是零;
(3)负数没有算术平方根;
(4)算术平方根的非负性:
a≥0,
。
三、平方根和算术平方根是记号:
平方根±
(读作:
正负根号a);
算术平方根
(读作根号a)
其中a叫做被开方数。
四、开平方:
求一个非负数的平方根的运算,叫做开平方。
五、立方根
1、定义:
如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根。
(也叫做三次方根)
即:
若x³=a,则x叫做a的立方根。
2、性质:
(1)一个正数的立方根为正;
(2)一个负数的立方根为负;
(3)零的立方根是零。
3、立方根的记号:
(读作:
三次根号a),
a称为被开方数,“3”称为根指数。
6、开立方:
求一个数的立方根的运算,叫做开立方。
11.2实数与数轴
一、无理数
无理数定义:
无限不循环小数叫做无理数。
二、实数
1、实数定义:
有理数与无理数统称为实数。
2、实数的运算:
有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数的运算。
3、实数的分类:
(1)按照正负性分为:
正实数、零、负实数三类。
(2)按照定义分为:
有理数、无理数
4、实数与数轴上的点是一一对应关系。
第12章整式的乘除
12.1幂的运算
一、同底数幂的乘法
同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
二、幂的乘方
幂的乘方,底数不变,指数相乘。
三、积的乘方
积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方,再把所得的幂相乘。
四、同底数幂的除法
同底数幂相除,底数不变,指数相减。
12.2整式的乘法
一、单项式与单项式相乘
法则:
单项式与单项式相乘,只要将它们的系数与系数相乘,相同字母的幂相乘,多余的字母照搬到最后结果中。
二、单项式与多项式相乘
法则:
(乘法分配律)只要将单项式分别去乘以多项式的每一项,再将所得的积相加。
三、多项式与多项式相乘
法则:
将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再将所得的积相加。
(2)把其中一个多项式看成一个整体(单项式),去乘以另一个多项式的每一项,再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘,最后将所得的积相加。
12.3乘法公式
一、两数和乘以这两数的差(平方差公式)
公式:
(a+b)(a-b)=a²-b²;
二、完全平方公式
公式:
(a±b)²=a²±2ab+b²
三、公式法:
利用乘法公式进行因式分解的方法,叫做公式法。
1、平方差公式:
a2-b2=(a+b)(a-b);名称:
平方差公式。
12.4整式的除法
1、单项式除以单项式
单项式除以单项式,把系数、同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式中出现的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式
2、多项式除以单项式
多项式除以单项式,先用这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加
12.5因式分解
定义:
把一个多项式转化成几个整式乘积的形式
1、提公因式法
2、公式法
因式分解的一般步骤:
一提,二套,三看
第13章全等三角形
1、命题与定理、互逆命题与互逆定理
(1)命题由题设(条件)和结论两部分组成,可分为真命题和假命题.
要说明一个命题是真命题,需要进行演绎推理
要说明一个命题是假命题,可以使用“举反例”的方法(满足条件,不满足结论)
(2)任何一个命题都有逆命题,只需将题设(条件)和结论对调即可,不是所有定理都有逆定理
2、全等三角形
(1)性质:
全等三角形的对应边、对应角分别相等
注:
求线段或角的值,证明线段或角相等的重要方法
(2)判定方法:
一般三角形:
①S.A.S.(两边夹一角)②A.S.A.(两角夹一边)
③A.A.S.(两角对一边)④S.S.S.(三边)
直角三角形:
H.L.(斜边直角边)
3、等腰三角形的性质与判定
定义:
有两条边相等的三角形是等腰三角形
性质:
(1)等腰三角形的两底角相等(等边对等角)
(2)等腰三角形底边上的高、中线和顶角的平分线互相重合(“三线合一”)
判定:
(1)定义(两边相等)
(2)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边,两角相等)
4、等边三角形的性质与判定
定义:
三条边都相等的三角形是等边三角形
性质:
等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°
判定:
(1)定义(三边相等)
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形(三角相等)
(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
5、线段的垂直平分线
性质:
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
判定:
到线段两端距离相等的点,在线段的垂直平分线上.
6、角的平分线
性质:
角平分线上的点到角两边的距离相等
判定:
到角两边距离相等的点,在角的平分线上.
注:
①到三角形三个顶点距离相等的点是三条边垂直平分线的交点②到三角形三条边距离相等的点是三个内角平分线的交点
7、尺规作图
概念:
使用圆规和没有刻度的直尺作图
①作一条线段等于已知线段
②作一个角等于已知角
③作已知角的平分线
④过一点做已知直线的垂线
⑤作线段的垂直平分线
第14章勾股定理
14.1勾股定理
一、直角三角形三边的关系
1、勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、注意事项:
(1)勾股定理必须在Rt△使用,若遇到非Rt△,则可引垂线段“造”Rt△。
(2)注意Rt△中告诉的“直角”是哪个,以便准确确定“斜边”。
(3)在运用勾股定理求边长时,要用到“开平方”运算,一定要指明“边长为正”的条件,求的是边长的算数平方根。
二、直角三角形的判定
1、直角三角形的定义:
有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。
2、有两个锐角互余的三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a、b、c有关系
,那么这个三角形是直角三角形,且边c所对的角为直角
4、勾股数:
指三个满足
的正整数,我们称为勾股数。
三、反证法
先假设结论反面成立,从假设出发,经过推理得出和基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾,从而得出假设命题不成立,即所求证的命题正确。
像这种证明方法叫做反证法
14.2勾股定理的应用
常见问题:
1、求最短路径问题。
如“蚂蚁爬树”、“到两个点的路程之和最短”等问题。
2、“通过问题”。
如“过门洞”、“路线穿过公园”等
3、“干扰问题”。
如“台风影响”、“噪音影响”等
4、阴影面积问题。
第15章数据的收集与表示
15.1数据的收集
数据收集的步骤:
①明确调查问题②确定调查对象③选择调查方法④展开调查⑤记录结果⑥得出结论
数据收集的方法:
①民意调查法②实地调查法③媒体查询法
频数:
表示每个对象出现的次数
频率:
表示每个对象出现的次数与总次数的比值
频数、总次数、频率之间的关系(用公式表示)
频数=总数×频率总次数=频数÷频率
频率=频数÷总数
15.2数据的表示
调查和借助统计图表是收集数据的基本方法.做统计图表是处理数据、表示数据的基本手段
1.常见的统计图有:
扇形统计图,折线统计图,条形统计图
扇形统计图能清楚地表示各部分的总体中所占的百分比
条形图能准确地表示出每个项目的具体数目
折线图能清楚地反映事物的变化趋势
2.扇形统计图及其特点:
(1)扇形统计图是利用圆和扇形来表示总数和部分的比例关系,即用圆表示总数,用扇形表示部分对象所占的比例,扇形的大小反映频率的大小
(2)扇形统计图能清楚的表示各部分在总体中所占频率
3扇形中心角计算方法:
扇形的中心角=360°×频率(百分比).
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