42二次函数的性质及练习.docx
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42二次函数的性质及练习
4.2 二次函数的性质
1、二次函数的性质
已知函数f(x)=x2-2x-3
1.函数的顶点式是什么?
【提示】 f(x)=(x-1)2-4.
2.函数的单调区间是什么?
它的图像的对称轴是什么?
【提示】 递增区间为[1,+∞),递减区间为(-∞,1],它的对称轴为x=1.
3.当自变量x为何值时,函数的图像达到最低点?
它的最小值为多少?
【提示】 在x=1时达到最低点,最小值为-4.
4.该函数在[1,2]上的最小值和最大值分别为多少?
在[0,2]上呢?
【提示】 在[1,2]上的最小值为-4,最大值为-3,在[0,2]上的最小值为-4,最大值为-3.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质如表:
a的
符号
性质
a>0
a<0
图像
开口方向
开口向上
开口向下
顶点
坐标
(-
,
)
(-
,
)
对称轴
x=-
x=-
单调
区间
在区间(-∞,-
]
上是减少的,
在区间[-
,+∞)
上是增加的
在区间(-∞,-
]
上是增加的,
在区间[-
,+∞)
上是减少的
最大值、
最小值
当x=-
时,
函数取得最小值
;无最大值
当x=-
时,
函数取得最大值
;无最小值
已知函数y=f(x)=3x2-6x+1.
(1)求其对称轴和顶点坐标;
(2)已知f(-1)=10,不计算函数值,求f(3);
(3)不直接计算函数值,试比较f(-
)与f(
)的大小.
【思路探究】 本题中已知二次函数f(x)的解析式,故可考虑用配方法将f(x)配成顶点式,进而确定对称轴和顶点坐标.然后再结合对称性求f(3)及比较f(-
)与f(
)的大小.
【自主解答】 ∵f(x)=3x2-6x+1=3(x-1)2-2,由于x2项的系数为正数,∴函数图像开口向上.
(1)顶点坐标为(1,-2);对称轴方程为x=1.
(2)∵f(-1)=10,
又|-1-1|=2,|3-1|=2,
∴由二次函数的对称性可知,f(3)=f(-1)=10.
(3)∵f(x)=3(x-1)2-2的图像开口向上,且对称轴为1,
∴离对称轴越近,函数值越小.
又|-
-1|>|
-1|,
∴f(-
)>f(
).
1.已知二次函数的解析式求顶点坐标及对称轴,一般先用配方法把二次函数解析式写成顶点式:
y=a(x+h)2+k,进而确定顶点坐标为(-h,k),对称轴为x=-h.
2.比较两函数值大小,可以先比较两点离对称轴的距离大小,然后结合二次函数的开口方向,从而得到它们的大小关系;也可以将要比较的两点转化到同一单调区间上,利用函数的单调性比较它们的大小.
(1)下列区间中,使函数y=-2x2+x是增函数的是( )
A.R B.[2,+∞)
C.[
,+∞)D.(-∞,
]
(2)(2013·保定检测)若函数f(x)=x2+bx+c的对称轴为x=2.则( )
A.f(4) (1) (2)B.f (2) (1) C.f (2) (1)D.f(4) (2) (1) 【解析】 (1)函数y=-2x2+x=-2(x- )2+ 的图像的对称轴是直线x= ,图像的开口向下,所以函数在对称轴x= 的左边是增加的. (2)函数f(x)的对称轴为x=2,所以f (2)最小,又x=4比x=1距对称轴远,故f(4)>f (1),即f (2) (1) 【答案】 (1)D (2)B 2、二次函数的最值 已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值; (2)用a表示出函数f(x)在区间[-5,5]上的最值. 【思路探究】 (1)将a=-1代入―→配方―→写最值 (2)配方―→写对称轴―→分类讨论―→结论 【自主解答】 (1)∵a=-1,∴f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1, ∴f(x)在[-5,1]上单调递减, f(x)在[1,5]上单调递增. ∴f(x)min=f (1)=1,f(x)max=f(-5)=37. (2)函数f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2的图像开口向上,对称轴为x=-a. ①当-a≤-5,即a≥5时,函数在区间[-5,5]上是增加的,所以f(x)max=f(5)=27+10a, f(x)min=f(-5)=27-10a; ②当-5<-a≤0,即0≤a<5时,函数图像如图 (1)所示. 由图像可得f(x)min=f(-a)=2-a2, f(x)max=f(5)=27+10a;
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