实变函数课后习题答案.docx
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实变函数课后习题答案
实变函数课后习题答案
【篇一:
实变函数试题库参考答案】
ass=txt>选择题
1,下列对象不能构成集合的是:
()
a、全体自然数b、0,1之间的实数全体c、[0,1]上的实函数全体
d、全体大个子
2、下列对象不能构成集合的是:
()
a、{全体实数}b、{全体整数}c、{全体小个子}d、{x:
x1}
3、下列对象不能构成集合的是:
()
a、{全体实数}b、{全体整数}c、{x:
x1}d、{全体
胖子}
4、下列对象不能构成集合的是:
()
a、{全体实数}b、{全体整数}c、{x:
x1}d、{全体瘦子}
5、下列对象不能构成集合的是:
()
a、{全体小孩子}b、{全体整数}c、{x:
x1}d、{全体实
数}
6、下列对象不能构成集合的是:
()
a、{全体实数}b、{全体大人}c、{x:
x1}d、{全体整
数}
7、设a?
?
{x:
?
?
1?
x?
?
},i为全体实数,则?
a?
=()?
?
i
a、(-1,1)b、(-1,0)c、(-?
+?
)d、(1,
+?
)
?
118、设ai?
{x:
?
1?
?
x?
1?
i?
n,则?
ai=()i?
1ii
a、(-1,1)b、(-1,0)c、[0,1]
d、[-1,1]
?
19、设ai?
{x:
0?
x?
1?
i?
n,则?
ai=()i?
1i
a、(0,1)b、[0,1]c、[0,1]d、
(0,+?
)
?
1110、设ai?
{x:
1?
?
x?
2?
i?
n,则?
ai=()i?
1ii
a、[1,2]b、(1,2)c、(0,3)d、
(1,2)
?
311、设ai?
{x:
i?
x?
i?
i?
n,则?
ai=()i?
12
{0}
?
1112、设ai?
{x:
?
?
x?
i?
n,则?
ai=()i?
1ii
13、设a2n?
1?
[0,2?
11],a2n?
[0,1?
],n?
n,则an?
()2n?
12nn?
?
a、[0,2]b、[0,2]c、[0,1]d、[0,1]
14、设a2n?
1?
[0,2?
11],a2n?
[0,1?
],n?
n,则liman?
()n?
?
2n?
12n
a、[0,2]b、[0,2]c、[0,1]d、[0,
1]
15、设an?
(0,n),n?
n,则liman?
()
n?
?
116、设an?
(0,),n?
n,则liman?
()n?
?
n
117、设a2n?
1?
(0,),a2n?
(0,n),n?
n,则liman?
()nn?
?
118、设a2n?
1?
(0,),a2n?
(0,n),n?
n,则liman?
()n?
?
n
19、设a、b、c是三个集合,则a-(a-b)=()
a、bb、ac、a?
bd、a?
b
20、设a、b、c是三个集合,则a-(b?
c)=()
a、(a-b)?
(a-c)b、(a-b)?
(a-c)c、a?
bd、a?
c
21、设a、b、c是三个集合,则a-(b?
c)=()
a、(a-b)?
(a-c)b、(a-b)?
(a-c)c、a?
bd、a?
c
22、设a、b、s是三个集合,且a?
s,b?
s,则cs(a?
b)=()
a、csa?
csbb、csa?
csbc、csa?
bd、csa?
b
23、设a、b、s是三个集合,且a?
s,b?
s,则cs(a?
b)=()
a、csa?
csbb、csa?
csbc、csa?
bd、a?
csb
24、设a、b、c是三个集合,则a-(b-c)=()
a、a?
c-bb、a-b-cc、(a-b)?
(a?
c)d、c-(b-a)
25、集合e的全体内点所成的集合称为e的()
a、开核b、边界c、导集d、闭包
26、集合e的全体聚点所成的集合称为e的()
a、开核b、边界c、导集d、闭包
27、集合e的全体边界点和内点所成的集合是e的()
a、开核b、边界c、导集d、闭包
28、e-e'所成的集合是()
a、开核b、边界c、外点d、{e的全体孤立点}
29、e的全体边界点所成的集合称为e的()
a、开核b、边界c、导集d、闭包
30、设点p是集合e的边界点,则()
a、p是e的聚点b、p是e的孤立点c、p是e的内点d、p是ce的边界点
31、设g?
(0,1)?
(2,3),则下列那一个是g的构成区间:
()
a、(0,1)b、(1,1)c、[0,1]d、(0,2)2
132、设g1?
(0,1),g2?
(?
1,0)?
(,2)g?
g1?
g2,则下列那一个是g的构2
成区间:
()
a、(0,1)b、(0,2)c、(-1,1)d、(-1,2)2
33、设g1?
(0,4),g2?
(0,1)?
(3,4)g?
g1?
g2,则下列那一个是g的构
成区间:
()
a、(0,1)b、(3,4)c、(0,4)d、(1,4)
34、设g1?
(0,1),g2?
(1,2)?
(3,4)g?
g1?
g2,则下列那一个是g的构成区间:
()
a、(0,1)b、(0,3)c、(0,4)d、(1,4)
35、设g1?
(0,2),g2?
(1,2)?
(3,4)g?
g1?
g2,则下列那一个是g的构成区间:
()
a、(0,1)b、(0,2)c、(1,2)d、(1,4)
1336、设g1?
(0,1)?
(1,2),g2?
(?
1,0)?
(,)g?
g1?
g2,则下列那一个是22
g的构成区间:
()
a、(13,)b、(1,2)c、(0,1)d、(-1,0)22
37、若a?
b,则下列命题错误的是:
()
a、a?
?
b?
b、a'?
b'c、?
a?
?
bd、a?
b
38、若a?
b?
c,则下列命题正确的是:
()
a、a?
?
b?
?
c?
b、a'?
b'=c'c、?
a?
?
b?
?
cd、{a的孤立点}?
{b的孤立点}={c的孤立点}
39、若a?
b?
c,则下列命题错误的是:
()
a、a?
?
b?
?
c?
b、c'?
a'?
b'ca?
b?
cd、{a的孤立点}?
{b的孤立点}={c的孤立点}
40、设ca是a的余集,则下列命题正确的是:
()
a、c(a?
)?
(ca)?
b、?
a?
?
(ca)c、c(a')=(ca)'d、c(a)?
ca
【篇二:
实变函数第一章习题解答】
3.等式(a?
b)?
c?
a?
(b?
c)成立的的充要条件是什么?
解:
若(a?
b)?
c?
a?
(b?
c),则c?
(a?
b)?
c?
a?
(b?
c)?
a.即,c?
a.
反过来,假设c?
a,因为b?
c?
b.所以,a?
b?
a?
(b?
c).故,
(a?
b)?
c?
a?
(b?
c).
最后证,a?
(b?
c)?
(a?
b)?
c
事实上,?
x?
a?
(b?
c),则x?
a且x?
b?
c。
若x?
c,则x?
(a?
b)?
c;若x?
c,则x?
b,故x?
a?
b?
(a?
b)?
c.从而,a?
(b?
c)?
(a?
b)?
c.c?
(a?
b)?
c?
a?
(b?
c)?
a?
?
?
a.即c?
a.
反过来,若c?
a,则因为b?
c?
b所以a?
b?
a?
(b?
c)又因为c?
a,所以c?
a?
(b?
c)故(a?
b)?
c?
a?
(b?
c)
另一方面,如果x?
c则x?
(a?
b)?
c;?
x?
a?
(b?
c)?
x?
a且x?
b?
c,如果x?
c,因为x?
b?
c,所以x?
b故x?
a?
b.则x?
(a?
b)?
c.从而a?
(b?
c)?
(a?
b)?
c
于是,(a?
b)?
c?
a?
(b?
c)
x?
ax?
a
?
1,4.对于集合a,定义a的特征函数为?
a(x)?
?
?
0,
,假设a1,a2,?
an?
是
一集列,证明:
(i)?
liminf
n
a
n
(x)?
liminf?
an(x)
n
(ii)?
limsup
n
a
n
(x)?
limsup?
an(x)
n
证明:
(i)?
x?
liminfan?
?
(?
an),?
n0?
n,?
m?
n0时,x?
am.
n
n?
n
m?
n
所以?
a(x)?
1,所以inf?
a(x)?
1故liminf?
a(x)?
supinf?
a(x)?
1
m
m?
n0
m
n
n
b?
nm?
n
m
?
x?
liminfan?
?
n?
n,有x?
?
an?
?
kn?
n
n
m?
n
有x?
ak?
?
a
m
kn
故usp?
0?
inf?
am(x)?
0,
m?
n
b?
nm?
n
nfi
即?
a(x)?
0,mil
m
n
nfi
?
a(x)=0,
n
从而?
liminf
n
a
n
(x)?
liminf?
an(x)
n
i?
1
5.设{an}为集列,b1?
a1,bi?
ai?
?
aj(i?
1)证明
j?
1
(i){bn}互相正交
n
ni?
1
(ii)?
n?
n,?
ai?
?
bi
i?
1
n?
1
证明:
(i)?
n,m?
n,n?
m;不妨设nm,因为bn?
an?
?
ai?
an?
am,又因
i?
1
为bm?
am,所以bn?
an?
am?
an?
bm,故bn?
bm?
?
,从而?
bn}n?
1相互正交.
?
nni?
1
ni?
1
ni?
1
(ii)因为?
i(1?
i?
n),有bi?
ai,所以?
bi?
?
ai,现在来证:
?
ai?
?
bi
i?
1
当n=1时,a1?
b1;
ni?
1
ni?
1
当n?
1时,有:
?
ai?
?
bi
n?
1
ni?
1
n?
1i?
1
ni?
1
ni?
1
ni?
1
则?
ai?
(?
ai)?
an?
1?
(?
ai)?
(an?
1?
?
ai)?
(?
bi)?
(bn?
1?
?
bi)
i?
1
事实上,?
x?
?
ai,则?
i(1?
i?
n)使得x?
ai,令i0?
min?
i|x?
ai且1?
i?
n
i?
1
i0?
1i?
1
n
n
?
则x?
ai?
?
ai?
bi?
?
bi,其中,当i0?
1时,?
ai?
?
,从而,?
ai?
?
bi
i0?
1i?
1
ni?
1
ni?
1
i?
1
6.设f(x)是定义于e上的实函数,a为常数,证明:
?
(i)e{x|f(x)?
a}=?
{f(x)?
a?
n?
1?
1
(ii)e{x|f(x)?
a=?
{f(x)?
a?
n?
1
n1
n
证明:
(i)?
x?
e{x|f(x)?
a}?
x?
e且f(x)?
a?
?
n?
n,使得f(x)?
a?
1
?
a且x?
e?
x?
e{x|f(x)?
a?
1
nn
?
?
11
?
x?
?
e{x|f(x)?
a?
?
e{x|f(x)?
a}?
?
e{x|f(x)?
a?
n?
1n?
1nn
?
11
反过来,?
x?
?
e{x?
x|f(x)?
a?
},?
n?
n,使x?
e{x|f(x)?
a?
n?
1nn
即f(x)?
a?
?
1n
?
a且x?
e故x?
e{x|f(x)?
a}
1n
?
e{x|f(x)?
a}故
1
所以?
e{x|f(x)?
a?
n?
1
?
e{x|f(x)?
a}?
e{x|f(x)?
a?
n?
1
n
7.设{fn(x)}是e上的实函数列,具有极限f(x),证明对任意常数a都有:
?
e{x|f(x)?
a}?
?
liminfe{x|fn(x)?
a?
k?
1
n
1k
?
?
?
liminfe{x|fn(x)?
a?
k?
1
n
1
}k
证明:
?
x?
e{x|f(x)?
a},?
k?
n,即f(x)?
a?
a?
因为limfn(x)?
f(x),?
n?
n,使?
m?
n,有fn(x)?
a?
n?
?
1k1k
,且x?
e,故
1k
x?
e{x|fm(x)?
a?
1k
所以x?
?
e{x|fm(x)?
a?
?
m?
n),
m?
n
x?
?
?
e{x|fm(x)?
a?
n?
nm?
n?
1k
=liminfe{x|fm(x)?
a?
n
1k
n
},由k的任意性:
1k,
x?
?
liminfe{x|fn(x)?
a?
k?
1
n
1k
?
,反过来,对于?
x?
?
liminfe{x|fn(x)?
a?
k?
1
?
k?
n,有x?
liminfe{x|fm(x)?
a?
n
1k
}=
n?
nm?
n
?
?
e{x|fm(x)?
a?
1k
,即
1k
?
n?
n,?
m?
n时,有:
fm(x)?
a?
1k
且x?
e,所以,limfm(x)?
f(x)?
a?
m
且
x?
e.又令k?
?
,故f(x)?
a且x?
e从而x?
e{x|f(x)?
a}
?
故e{x|f(x)?
a}=?
liminfe{x|fn(x)?
a?
k?
1
n
1k
8.设{fn(x)}是区间(a,b)上的单调递增的序列,即
f1(x)?
f2(x)?
?
?
fn(x)?
?
?
若fn(x)有极限函数f(x),证明:
?
a?
r,e{f(x)?
a}?
?
e{fn(x)?
a}
n?
1
证明:
?
x?
e{f(x)?
a},即:
x?
e且f(x)?
a,因为limfn(x)?
f(x)
n?
?
所以?
n0?
n,?
n?
n0,恒有:
fn(x)?
a且x?
e,从而,x?
e{fn(x)?
a}
?
?
?
e{fn(x)?
a}
n?
1
?
反过来,?
x?
?
e{fn(x)?
a},?
n0?
n,使x?
e{fn(x)?
a},故?
n?
n0,因此,
n?
1
limfn(x)?
f(x)?
fn0(x)?
a且x?
e,即,x?
e{f(x)?
a},
n?
?
?
从而,e{f(x)?
a}?
?
e{fn(x)?
a}
n?
1
10.证明:
r中坐标为有理数的点是不可数的。
证明:
设q为有理数集,由定理6:
q是不可数的。
现在证:
q?
q?
q?
{(x,y,z)|x,y,z都是有理数}可数?
x?
q,因为q?
q?
?
({x}?
q)是可数个有理数集的并,故可数,
x?
q
3
又因为q?
q?
q?
?
({x}?
q?
q)并且?
x?
q,{x}?
q?
q~q?
q,所以
x?
q
{x}?
q?
q可数
故q?
q?
q可数
14.证明:
可数集的有限子集的全体仍是可数
证明:
设q为可数集,不妨记为:
q?
{r1,r2,r3,?
rn,?
}?
n?
n,令an?
{a|a?
{r1,r2,r3,?
rn}}
a?
?
?
n为正交可数集,即?
n?
c0
n?
n
则?
n为有限集(?
n?
2),则
n
又因为q~?
{x}|x?
q?
?
a,所以c0?
q?
a,故a?
c0
a是q上一切有限子集的全体。
15.设是两两不相交的集所组成的集列,证明:
limen?
limen?
?
n?
?
n?
?
?
证明:
因为{e1,e2,?
}两两不相交,所以,?
n?
n,?
em?
?
,故
m?
n
?
n?
?
n?
1
?
m?
n
?
n?
1
limen?
?
?
(?
em)?
?
?
?
?
?
n?
?
?
n?
?
另一方面,若limen?
?
(?
em)?
?
,我们取x0?
limen
n?
1m?
n
则?
k?
n,?
nk?
k,使得x?
en.特别的,当k?
1?
n时,?
n1?
1,有x?
en,当
k
k?
n1?
1时:
?
n2?
n,n2?
k?
n1?
1?
n1,有x?
e2(n1?
n2)从而,x?
en1?
en2
这与en?
en?
?
矛盾,故limen?
?
1
2
n?
?
从而limen?
limen?
?
n?
?
n?
?
16.若集a中每个元素由相互独立的可列个指标所决定,即a={axx
1
2?
而每个指标xi},
在一个势为c的集中变化,则集a的势为c。
?
证明:
设xi在势为c的集合中变化,即a={axx
?
i
12?
|(x1,x2,?
)?
?
i?
1
bi}
因bi~r?
?
i:
bi?
r?
是既单又满的映射,
?
?
?
定义?
:
?
bi?
r;?
x?
(x1,x2,?
)?
?
bi,?
(x)?
?
(x1,x2,?
)?
(?
1(x),?
2(x),?
)
i?
1
i?
1
?
?
?
故?
是?
bi到r得既单又满的映射,从而,a~
i?
1
?
b
i?
1
i
~r
?
从而a?
r
?
?
?
c
17.设?
an的势是c,证明至少有一个an的势也是c。
n?
1
?
n?
1
?
n?
1
证明:
因为?
n?
n,an?
?
an,所以an?
?
an?
c
?
如果?
n?
n,an?
c,则?
n?
n,an?
c,即,an正交可数,从而,?
an正交可数.
n?
1
?
这与?
an?
c矛盾.
n?
1
故,?
n?
?
使an?
c.
18.证明:
[0,1]上的实函数全体具有势2证明:
设
?
?
{a|a?
[0,1
c
,则?
?
2
c
记[0,1]上全体是函数所构成的集合为?
对于?
x?
?
,定义函数
?
a(x)?
?
?
1,x?
a?
0.x?
a
即?
a是集合a的特征函数。
?
?
?
a|a?
[0,1]?
?
?
?
2
c
?
?
?
?
【篇三:
实变函数论课后答案第二章4】
xt>第二章第四节习题
1.证明全体有理数所构成的集合不是g?
集,即不能表成可数多个开集的交.证明:
设r上全体有理数为?
r?
?
q.1,r2,r3,?
rn,?
1
则一个?
rn?
作为单点集是闭集,所以q?
?
?
ri?
是f?
集,但要证q不是g?
集,则不容易.
i?
1
?
这里用到:
baire定理,设e?
r是f?
集,即e?
?
fk.
k?
1
n
?
fk?
k?
1,2,?
?
是闭集,若每个fk皆无内点,则e也无内点
(最后再证之)
反证设q?
?
ri;i?
1,2,?
(gi为开集,i?
1,2,?
?
为g?
集,即q?
?
gi,
i?
1?
)
r1上的单调函数的全体所组成的集合的势为c?
?
.
证明:
任取r上的单调函数f,则其间断点至多可数个,设其无理数的间断点,为
1
设r中的有理数为q?
?
r?
?
f?
?
令1,r2,?
rn,?
1
?
?
f?
?
?
?
x1,f?
x1?
?
?
r1,f?
r1?
?
?
?
xi,f?
xi?
?
?
ri,f?
ri?
?
?
?
?
r2.
则?
?
f?
为r中可数集.
2
?
gx?
若f,g?
?
,使?
?
f?
?
?
?
g?
,则?
xi,f?
xi?
?
?
?
f?
存在xjj?
?
?
?
?
?
?
?
?
g?
?
?
?
?
f?
x?
?
g?
x?
?
,所以x?
x
?
gx?
使xi,f?
xi?
?
xjj
i
j
i
?
?
?
j
从而?
xi?
q,f?
ri?
?
g?
ri?
.
?
f的无理数间断点xi,xi也是g的无理数间断点,且g?
xi?
?
f?
xi?
.
反过来也是的,?
g的无理间断点,xi也是f,的无理数间断点,且g?
xi?
?
f?
xi?
.故?
?
f?
?
?
?
g?
表明f与g在有理点重合,无理间断点相同,且在无理间断点的值.所以f?
g于r,所以?
是1?
1的.
1
利用下面结论:
claim:
任何其有连续势的集合的全体可数子集所构成的族的势为连续势.知:
?
?
c.
另一方面c?
fc?
x?
?
x?
c,c?
?
0,1?
?
?
证毕.
lemma:
设为x,y两集合,?
:
x?
y是一个满射,则y?
x.即存在x的一个子集
a,a?
y.
证明:
因为?
为满射,?
y?
y,?
?
1?
y?
?
x;x?
x,?
?
x?
?
y?
?
且y,z?
y,y?
z时必有?
?
1
?
?
?
y?
?
?
?
1?
z?
?
?
.
?
1
令?
?
?
?
y?
;y?
y,则由选择公理存在一个集合x,它由?
中每一个集合?
?
1?
y?
中
?
?
恰取一个元素而形成,显?
x?
x,?
a?
?
x,存在唯一一个y?
y,使a?
?
?
1?
y?
.
x与y是对等的,故y?
x.所以?
证毕.
选择公理:
若?
是由互不相交的一些非空集合所形成的集合族,则存在集合x,它由该族的每一个集合中恰取一个元素而形成.
2.证明?
0,1?
上全体无理数所作成的集合不是f?
集.
证明:
设?
0,1?
上全体无理数所作成的集合是?
,则?
?
?
0,1?
?
q,(q为r上全体有理数
1
的集合)
若?
为f?
集,则存在闭集fi,i?
1,2,?
使?
?
?
fi.
i?
1?
所以?
c
?
q?
?
0,1?
?
?
fic为g?
集.
i?
1
?
?
?
?
?
fi?
?
?
?
rk?
,?
rk?
,fi为闭集,?
rk?
无内点.?
0,1?
?
?
?
?
q?
?
0,1?
?
?
?
i?
?
?
1?
k?
1
i?
1
?
fi?
?
显为内点.
?
所以fi无内点.
这说明?
0,1?
无内点(baire定理)得矛盾.证毕.
3.证明不可能有在?
0,1?
上定义的在有理点处都连续,在无理点处都不连续的实函数.
证明:
若存在这样的?
0,1?
上的实函数,它在有理点都连续,在无理点都不连续.
f?
x?
的全体不连续点的集合为?
0,1?
上的全体无理数为?
,由本章第二节习题10结论知
?
为f?
集,这于本节习题2的结论:
?
不是f?
集矛盾.
故不存在这样的?
0,1?
上的函数.
4.证明r中全体开集构成一基数为c的集合,从而r中全体闭集也构成一基数为c的集
合.
证明:
对任意的r上开集合,由开集的构造定理,存在?
?
?
?
?
i,?
i?
r1?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
使得g?
?
?
?
i,?
i?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.
i?
1
?
下面建立r上的开集到全体实数列集成的集合的一个映射i.若g?
r,令i?
g?
?
?
0,0,?
0,?
?
.
1
1
若g?
r,则g?
?
?
?
i,?
i?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.
1
i?
1
m
令i?
g?
?
k?
k?
?
1,?
1,?
2,?
2,?
.
这里k?
?
?
?
,若?
?
?
?
?
k?
?
0;若?
?
?
?
?
k?
?
?
?
;若?
?
?
?
?
k?
?
0;若?
?
?
?
?
则这个映射i是单射.
12
若g1,g2?
r1g1?
r,g2?
r且i?
g1?
?
i?
g2?
.
?
?
?
?
g1?
?
?
?
i,?
i?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
i?
1?
?
g2?
?
?
?
i,?
i?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
i?
1
则?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
i?
?
i,?
i?
?
i.故g1?
g2.
又若i?
g?
?
?
0,0,?
0,?
?
则必有g?
r(否则i?
g?
至少有一个分量不等于零).
1
故i是单射,所以r上全体开集所作成的集合的势?
c.令一方面,?
a?
r,?
a,a?
1?
是一开集,
1
1
?
:
r?
r上全体开集之集合,令i
1
1
1
则c?
r1?
“r上全体开集之集的势”?
c,
由berstrein定理,r上全体开集之集合的势为c.证:
记可数集?
?
b?
x,r?
;x?
q,r?
q
n
1
?
1
?
?
?
b?
x?
?
r?
?
b?
x?
?
r?
?
?
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