高三数学八校联考数学.docx
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高三数学八校联考数学
2019-2020年高三数学八校联考(数学)
(松江二中、青浦、七宝、育才、市二、行知、进才、位育)
一、填空题(4′×12):
1、不等式的解集是。
2、(理)设、是方程的两根,则。
(文)设、是方程的两根,则。
3、数列
中的第xx项是。
4、集合
非空,则中所有元素的和是。
5、若
,则复数的模是。
6、已知函数的反函数是,则方程的解是。
7、已知数列是公差不为零的等差数列,设,则数列的前项和的表达式可以
是。
(用中的项表示)
8、关于函数有下列命题:
①的定义域是;②是偶函数;③在定义域内是增函数;④的最大值是,最小值是。
其中正确的命题是②④。
(写出你所认为正确的所有命题序号)
9、走廊上有一排照明灯共盏,为了节约用电,要关掉其中的三盏。
如果关掉的三盏灯不是两端的灯,且任意两盏都不相邻,就不会影响照明,那么随机关掉其中的三盏灯,影响照明的概率是。
10、(理)设函数的图像与直线及轴所围成图形的面积称为函数在上的面积。
已知函数在上的面积为,则函数在上的面积为。
(文)设函数的图像与直线及轴所围成图形的面积称为函数在上的面积。
已知函数在上的面积为,则函数在上的面积为。
11、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。
随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力会越来越大,使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的。
已知一个铁钉受击次后全部进入木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的,请从这个实事中提炼出一个不等式组是
。
12、(理)已知,记,(其中),例如:
。
设,且满足
,则有序数组
是。
(文)在中,的面积为,则的值为。
二、选择题(4′×4):
13、设、是两个集合,对于,下列说法正确的是(D)
A.存在,使B.一定不成立C.不可能为空集D.是的充分条件
14、(理)若,则一定不属于的区间是(C)
A.B.C.D.
(文)若,则一定不属于的区间是(D)
A.B.C.D.
15、(理)满足不等式
的正整数的个数记为,的前项和记
为,则(A)
A.B.C.D.
(文)已知等比数列的公比是不为的正数,数列满足
,当,
时,数列的前项和最大,则的值为(C)
A.B.C.D.
16、已知函数,则函数的图像可能是(A)
二、解答题(本大题满分86分,共6题):
17、(12′=9′+3′)(理)设表示幂函数在上是增函数的的集合;表示不等式
对任意恒成立的的集合。
(1)求;
(2)试写出一个解集为的不等式。
(文)设表示幂函数在上是增函数的的集合;表示不等式对任
意恒成立的的集合。
(1)求;
(2)试写出一个解集为的不等式。
解:
(理)
(1)∵幂函数在上是增函数,∴,即,
又不等式对任意恒成立,∴,即,
∴
。
(2)一个解集为的不等式可以是。
(文)
(1)∵幂函数在上是增函数,∴,即,
又不等式对任意恒成立,∴,即,
∴
。
(2)一个解集为的不等式可以是。
18、(12′=6′+6′)已知复数
,
(1)当时,求的取值范围;
(2)(理)是否存在实数,使得,若存在,求出的值;若不存在,说明理由。
(文)是否存在实数,使得,若存在,求出的值;若不存在,说明理由。
解:
(1)∵,∴
。
(2)(理)∵,∴为纯虚数,∴
(文)∵,∴,∴
(舍去)。
19、(14′=9′+5′)已知,关于的一元二次方程的两实数根、满足
,且,
(1)求数列和的通项公式;
(2)求的值。
解:
(1)∵,且,
∴
,
∴是一个以为首项,为公差的等差数列。
∴
,
∴
。
(2)
。
20、(16′=4′+12′)已知函数
,
(1)在右侧坐标系中作出函数的草图;
(2)研究其值域、奇偶性和单调性,并分别加以证明。
解:
(1)
,
(2)的值域为。
∵
,∴是偶函数。
任取,则,即,∴在上是增函数,
又是偶函数,∴在上是减函数。
21、(14′=8′+6′)为了能更好地了解鲸的生活习性,某动物研究所在受伤的鲸身上安装了电子监测装置。
从海岸放归点处(如图所示)把它放归大海,并沿海岸线由西向东不停地对鲸进行了分钟的跟踪观测,每隔分钟踩点测得数据如下表(设鲸沿海面游动)。
然后又在观测站处对鲸进行生活习性的详细观测。
已知,观测站的观测半径为。
(Ⅰ)根据表中数据:
①计算鲸沿海岸线方向运动的速度,②写出、满足的关系式并画出鲸的运动路线简图;
(Ⅱ)若鲸继续以(Ⅰ)中②的运动路线运动,则鲸大约经过多少分钟(从放归时计时),可进入前方观测站的观测范围(精确到分钟)?
解:
(Ⅰ)由表中数据知:
①鲸沿海岸线方向运行的速度为(km/分钟),②、满足的关系式为,
鲸的运动路线图如图:
(Ⅱ)如图,设鲸所在的位置为点,点位于点的正北方向,点位于点的正东方向
由(Ⅰ)知。
又,依题意,当鲸到观测站的距离不大于时进入观测站的观测范围,∴,∴,即,∴。
故鲸从A点进入前方观测站B所用的时间大约为
(分钟)。
答:
鲸大约经过113分钟进入B站的观测范围。
22、(18′=4′+8′+6′)(理)已知
为正常数。
(1)可以证明:
定理“若、,则(当且仅当时取等号)”推广到三个正数时结论是正确的,试写出推广后的结论(无需证明);
(2)若在上恒成立,且函数的最大值大于,求实数的取值范围,并由此猜测的单调性(无需证明);
(3)对满足
(2)的条件的一个常数,设时,取得最大值。
试构造一个定义在
上的函数,使当时,,当时,取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。
解:
(1)若、、,则(当且仅当时取等号)。
(2)
在上恒成立,即在上恒成立,
∵,∴,即,
又∵
∴,即时,
,
又∵,∴。
综上,得。
易知,是奇函数,∵时,函数有最大值,∴时,函数有最小值。
故猜测:
时,单调递减;时,单调递增。
(3)依题意,只需构造以为周期的周期函数即可。
如对
,,此时
,
即
。
(文)已知函数
,,
(Ⅰ)当时,若在上单调递增,求的取值范围;
(Ⅱ)求满足下列条件的所有实数对:
当是整数时,存在,使得是的最大值,是的最小值;
(Ⅲ)对满足(Ⅱ)的条件的一个实数对,试构造一个定义在,且上的函数,使当时,,当时,取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。
解:
(Ⅰ)当时,,
若,,则在上单调递减,不符题意。
故,要使在上单调递增,必须满足,∴。
(Ⅱ)若,,则无最大值,故,∴为二次函数,
要使有最大值,必须满足,即且,
此时,时,有最大值。
又取最小值时,,依题意,有,则
,
∵且,∴,得,此时或。
∴满足条件的实数对是。
(Ⅲ)当实数对是时,
依题意,只需构造以2(或2的正整数倍)为周期的周期函数即可。
如对,,
此时,
,
故
。
2019-2020年高三数学公开课教案数形结合函数人教版
教学目的:
通过本节课的学习,使学生对如何寻找数学问题中内含的几何意义,充分利用几何图形的性质,直观、简捷地帮助解决数学问题有一定的认识和体会,对数形结合解题的思想方法有一定的了解,并能用以帮助解题。
情感与技能目标:
培养学生辩证的世界观和不屈不挠的探索精神。
提高学生观察、分析问题能力和实践动手能力。
教学重点:
“数形结合”解题的思想方法在解决与函数有关问题中的应用。
教学难点:
“数”与“形”的转化及变量与不变量之间的关系的探索。
教学手段:
多媒体辅助教学
数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学,数与形是数学研究的两个重要方面,在研究过程中,数形结合既是一个重要的数学思想又是一种常用的数学方法。
“数”与“形”是一对矛盾,它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
在高中阶段较多的是“以形助数”。
一般地说:
“形”是具有形象,直观的特点,易于从整体上定性地分析问题,“由数想形”便于寻求思路,化难为易;“数”则具有严谨,准确的特点,能够严格论证和定量求解,“数形对照”可以弥补“形”难以精确的弊端。
“数无形时少直观,形无数时难人微",华罗庚的诗句精辟地指出了“数形结合"对数学研究和学习的重要性。
数形结合的思想简言之就是代数问题几何化,几何问题代数化,充分体现图形的直观性,代数推理的逻辑性.
一练习:
1.(04天津)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x∈[0,]时,f(x)=sinx,则f()的值为(D)
A.-B.C.-D.
-π0π2π
y
xz
解析:
依据偶函数与周期函数的特征,可以画出y=f(x)的简图
∴f(π)=f(π)=
2.设函数f(x)=,若f(x0)>1,则x0的取值范围是(D)
A.(-1,1)B.(-1,+∞)
C.(-∞,-2)∪(0,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
0
x
y
2
1
3.(05上海理16)设定义域为为R的函数,则关于x的方程
f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数解的充要条件是(C)
(A)b<0且c>0;(B)b>0且c<0;
(C)b<0且c=0;(D)b≥0且c=0。
解析:
f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的
实数解的充要条件是f2(x)+bf(x)+c=0有一根为0故c=0且b<0
4.已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex在[-1,1]上是单调函数,则a的取值范围是________.
解析令
解得
图
.
易知,.
由图可知,当时,函数在
上是单调函数的充要条件是,
即.
二.例题解析
例题1.求函数y=的最大值和最小值。
解:
函数y=可视为:
点A(-2,0)与点P(sinx,cosx)的连线的斜率
则y的最值即为kAP的最值。
而点P为单位圆上的一个动点,则当直线Ap与单位圆相切时kAP取得最值。
设直线AP的方程为:
y=k(x+2),由圆心到直线的距离为1,
则有:
解之得:
k=±,
故y的最大值为:
最小值为:
-
小结:
从数的形和构:
入手,由数想形。
建立坐标系,引入参数,化静为动,以动求解。
构造几何模型来求解。
例题2.(xx全国卷19)已知c>0设
P:
函数y=cx在R上单调递减;Q:
不等式x+∣x—2c∣>1的解集为R.
如果P和Q有且仅有一个正确,求c的取值范围。
解:
则c∈(0,]∪[1,+∞)
小结:
例题3:
已知关于x的方程x2+(-2m)x+m2-1=0(m是与x无关的实数)的两个实根在区间[0,2]内,求m的取值范围。
解:
令f(x)=x2+(-2m)x+m2-1,由f(x)=0的两根落在区间[0,2]内,
x=-∈[0,2](对称轴)x=-∈[0,2](对称轴)
则有f(-)<0(顶点)△>0(判别式)
f(0)≥0(端点)f(0)≥0(端点)
f
(2)≥0(端点)f
(2)≥0(端点)
0≤-+2m≤4
即为-(-m)2+m2-1<0
m2-1≥0
4+(-2m)2+m2-1≥0解之得:
{m|1≤m<}
小结:
“以形辅数”,化难为易。
转化为熟悉的几何模型来求解
思考题:
(06上海春21)设函数f(x)=|x2-4x-5|
(1)在区间[-2,6]上画出函数f(x)的图像;
(2)集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2]∪[6,+∞).试判断集合A和B之间的关系,并给出证明;
(3)当k>2时,求证在区间[-1,5]上,y=kx+3k的图像位于函数f(x)图像的上方.
y
-20246x
8
6
4
2
-2
21.解:
(1)
(2)方程f(x)=5的解分别是2-,0和2+,由于f(x)在(-∞,1]和[-1,2]和[5,+∞)上单调递增,因此A=(-∞,2-]∪[2+,+∞).
由于2+<6,2->-2,∴BA
(3)[解法一]当x∈[-1,5]时,f(x)=-x2+4x+5
g(x)=k(x+3)-(-x2+4x+5)
=x2+(k-4)x+(3k-5)
=(x-)2,
∵k>2,∴<1,又-1≤x≤5,
①当-1≤<1,即2 取x=,g(x)min== ∵16≤(k-10)2<64,∴(k-10)2-64<0,则g(x)min>0 ②当<-1,既k>6时,取x=-1,g(x)min=2k>0 由①②可知,当k>2时,g(x)>0,x∈[-1,5] 因此,在[-1,5]上,y=kx+3k的图像位于函数f(x)图像的上方. [解法二]当x∈[-1,5]时,f(x)=-x2+4x+5 ,得x2+(k-4)x+(3k-5)=0, 令△=(k-4)2-4(3k-5)=0,解得k=2或k=18, 在区间[-1,5]上,当k=2时,y=2(x+3)的图像与函数f(x)的图像只交于一点(1,8); 当k=18时,y=18(x+3)的图像与函数f(x)的图像没有交点。 如图可知,由于直线y=k(x+3)过点(-3,0),当k>2时,直线y=k(x+3)是由直线y=2(x+3)绕点(-3,0)逆时针方向旋转得到,因此在区间[-1,5]上,y=k(x+3)的图像位于函数f(x)图像的上方。 小结 数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合,通过对图形的认识、数形的转化,可以培养思维的灵活性、形象性。 通过数形结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化。 一.数形结合的信息转化的三个途径: (1)建立坐标系,引入参数,化静为动,以动求解; (2)转化为熟悉的几何模型来求解; (3)构造几何模型来求解。 二.常用的数学模型: (1)一元二次函数的图像; (2)一元一次函数的图形; (3)定比分点公式;(4)斜率公式; (5)两点间的距离公式;(6)点到直线的距离公式 课后练习 1.(05福建理5)函数f(x)axb的图象如图,其中 a、b为常数,则下列结论正确的是(B)
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- 数学 联考