三垂线定理教案_精品文档.doc

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三垂线定理教案

科技工程部数学组：

柯群英

一、教材分析：

1、本节课在教材中的地位和作用：

“三垂线定理”是立体几何中的重要定理，它是在研究了空间直线和平面垂直关系的基础上研究空间两条直线垂直关系的一个重要定理。

它既是线面垂直关系的一个应用，又为以后学习面面垂直，研究空间距离、空间角、多面体与旋转体的性质奠定了基础，同时本节课对培养学生空间想象能力和逻辑思维能力有重要意义。

本节课的主要内容是三垂线定理的引出、证明和初步应用。

教学时对教材的知识点安排进行了调整，把正射影部分的内容提前讲解，逆定理部分的内容安排到下一课时，这样以便于突出重点。

本节课对定理的引出改变了教材中直接给出定理的做法，通过一道练习题的结论引出三垂线定理的内容这样，学生感到自然，容易接受，例题有所增加，处理方式也有适当改变。

2、教学重点、难点：

重点：

三垂线定理的理解和应用。

难点：

变换位置下的三垂线定理的应用。

三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，它在立体几何中占有重要地位，为后续课的学习奠定基础，因此确定三垂线定理是本节课的重点。

学生往往习惯于在水平平面内运用三垂线定理，对变换位置下应用定理有一定困难，缺乏学习的灵活性，因此变换位置下的三垂线定理的应用是本节课的难点。

二、学生分析：

立体几何本身是一门比较抽象的学科，要求解题过程要严谨，而我们的学生基础较薄弱，缺乏空间想象能力，不习惯做证明题，因此学习起来有一定困难。

学生的学是教学的主要方面，学是中心，学会是目的，因此在教学中要不断指导学生学会学习。

三、教学目标：

根据教学大纲的要求、本节课的特点和学生对空间图形的认知特点，本节课的教学目的确定如下：

知识目标：

理解并掌握三垂线定理及其证明，准确把握几个垂直关系的实质，初步学会应用三垂线定理解决相关问题。

能力目标：

通过对三垂线定理的探索过程，进一步渗透立体几何证明中的转化思想，具体体现在线线垂直与线面垂直的辨证关系上：

线线判定线面性质线线

情感目标：

通过数学严密的逻辑推理教学，使学生感受数学的严谨性，体会数学的美。

四、设计理念：

本节课的主要内容是三垂线定理的引出、证明和初步应用。

教学时对教材的知识点安排进行了调整，把正射影部分的内容提前讲解，逆定理部分的内容安排到下一课时，这样以便于突出重点。

本节课对定理的引出改变了教材中直接给出定理的做法，通过一道练习题的结论引出三垂线定理的内容这样，学生感到自然，容易接受，例题有所增加，处理方式也有适当改变。

五、教具学具准备：

本节课内容较多，又涉及到很多的空间图形，所以采用多媒体课件来教学有助于降低学生学习的难度，提高课堂学习效率，还准备一把三角尺，建立三垂线定理中几条直线的模型，帮助理解三垂线定理的实质。

六、教学过程：

（一）复习提问：

1、线线判定线面性质线线

2、何为平面的斜线、何为斜线在平面上的射影？

（二）新课讲授：

练习：

已知PA、PO分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影.a,aAO。

A

a

a

O

P

求证aPO

三垂线定理：

如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它就与这条斜线垂直。

（垂影则垂斜）

分析定理中的3个垂直关系：

1、PA⊥a（线面垂直）

2、a⊥AO（线影垂直）

3、a⊥PO（线斜垂直）

分析定理中的4条直线：

PA—垂线PO—斜线AO—射影a—平面内的直线

定理应用：

P

A

B

C

D

O

例1、已知P是平面ABC外一点，PA平面ABC，ACBC,求证：

PCBC

P

A

B

C

（例1）（练习1）

（选择这道例题的主要目的是直接应用定理）

练习1：

已知：

PA正方体ABCD所在平面，O为对角线BD的中点。

求证：

POBD,PCBD

P

A

P

C

A

BP

CP

MM

练习2：

已知:

PA⊥平面PBC，M是BC的中点，且PB=PC

求证：

BC⊥AM

（练习题设计意图：

深化对定理的理解）

A

B

C

D

A

C

D

B

例2、在正方体AC中，求证：

ACBD，ACBC

（例题设计意图：

培养学生在变换位置的形式下

应用三垂线定理的能力）

小结运用三垂线定理证明的一般步骤：

一定（定平面）

二找（找平面的垂线、斜线及其射影）

三证（证平面内一直线与斜线垂直）

（解题回顾设计意图帮助学生理顺解题思路）

练习3：

P

A

B

C

D

填空：

如图，ABCD是矩形，PA平面AC,连接PB、PC、PD。

（1）与PA垂直的直线有；

（2）与PB垂直的直线有

（3）直角三角形有

（练习题设计意图：

培养学生应用定理判定线线垂直的综合推理能力，巩固所学知识）

（三）课时小结：

本节主要学习了三垂线定理：

如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它就与这条斜线垂直。

即垂影则垂斜。

（设计意图：

强调重点）

（四）作业布置：

P1091、P1205、（巩固基础知识，反馈教学信息）

（五）板书设计：

课题：

三垂线定理

例1：

多媒体

练习1

（1）：

1

（2）

（学生板演）（学生板演）

例2中的第二个证

（学生板演）

七、教学反思：

教学过程安排较合理，各环节进展顺利，板书设计合理，学生参与率较高，教学目标达成度较高，在下次教学中要及时抓住学生的课堂生成资源。

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