外接球的表面积和体积高考试题精选.docx
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外接球的表面积和体积高考试题精选
外接球的表面积和体积高考试题精选
(一)
一.选择题(共30小题)
1.一几何体的三视图如图所示,三个三角形都是直角边为2的等腰直角三角形,该几何体的顶点都在球O上,球O的表面积为()
A.16πB.3πC.D.12π
2.如图某几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为()
A.B.C.D.3π
3.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为()
A.12πB.πC.8πD.4π
4.过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为()
A.B.C.D.
5.已知三棱锥O﹣ABC,A,B,C三点均在球心为O的球表面上,AB=BC=1,∠ABC=120°,三棱锥O﹣ABC的体积为,则球O的表面积是()
A.544πB.16πC.πD.64π
6.点A、B、C、D在同一个球的球面上,AB=BC=AC=,若四面体ABCD体积的最大值为,则这个球的表面积为()
A.B.8πC.D.
7.四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上,AB⊥平面BCD,△BCD是边长为3的等边三角形.若AB=2,则球O的表面积为()
A.8πB.12πC.16πD.32π
8.已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面ABC的距离为1,点E是线段AB的中点,过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是()
A.πB.2πC.πD.3π
9.已知在三棱锥P﹣ABC中,V=,∠APC=,∠BPC=,PA⊥AC,PB⊥BC,且平ABCP﹣面PAC⊥平面PBC,那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为()
A.B.C.D.
10.已知三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球的表面积为()
A.4πB.8πC.12πD.16π
11.一个四面体的顶点都在球面上,它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图.图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形.则这个四面体的外接球的表面积是()
A.πB.3πC.4πD.6π
12.已知在三棱锥P﹣ABC中,PA=PB=BC=1,AB=,AB⊥BC,平面PAB⊥平面ABC,若三棱锥的顶点在同一个球面上,则该球的表面积是()
A.πB.3πC.D.2π
13.球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点,其中AB=18,BC=24,AC=30,球心到这个截面的距离为球半径的一半,则球的表面积为()
A.1200πB.1400πC.1600πD.1800π
14.已知球O的半径为R,A,B,C三点在球O的球面上,球心O到平面ABC的距离为R.AB=AC=2,∠BAC=120°,则球O的表面积为()
A.πB.πC.πD.π
15.四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上,AB⊥平面BCD,△BCD是边长为3的等边三角形.若AB=2,则球O的表面积为()
A.4πB.12πC.16πD.32π
16.已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直,PA=PD=AB=2,∠APD=90°,若点P、A、B、C、D都在同一球面上,则此球的表面积等于()
A.4πB.πC.12πD.20π
17.四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上,AB=2,BC=CD=1,∠BCD=60°,AB⊥平面BCD,则球O的表面积为()
A.8πB.C.D.
18.已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O上,底面ABCD是矩形,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD为正三角形,AB=2AD=4,则球O的表面积为()
A.B.C.32πD.64π
19.正三棱柱的底面边长为,侧棱长为2,且三棱柱的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()
A.4πB.8πC.12πD.16π
20.已知正四面体的棱长,则其外接球的表面积为()
A.8πB.12πC.πD.3π
21.一直三棱柱的每条棱长都是3,且每个顶点都在球O的表面上,则球O的半径为()
A.B.C.D.3
22.已知SC是球O的直径,A,B是该球面上的两点,△ABC是边长为的正三角形,若三棱锥S﹣ABC的体积为,则球O的表面积为()
A.16πB.18πC.20πD.24π
23.已知三棱锥P﹣ABC,在底面△ABC中,∠A=60°,BC=,PA⊥面ABC,PA=2,则此三棱锥的外接球的表面积为()
A.πB.4πC.πD.16π
24.已知A,B,C在球O的球面上,AB=1,BC=2,∠ABC=60°,直线OA与截面ABC所成的角为30°,则球O的表面积为()
A.4πB.16πC.πD.π
的表O的表面上,则球O,且每个顶点都在球3.一直三棱柱的每条棱长都是25.
面积为()
A.21πB.24πC.28πD.36π
26.在三棱锥P﹣ABC中,PA=2,PC=2,AB=,BC=3,∠ABC=,则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为()
A.4πB.πC.πD.16π
27.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=60°,C为该球面上的动点,若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为,则球O的表面积为()
A.36πB.64πC.144πD.256π
28.已知三棱锥A﹣BCD的四个顶点A、B、C、D都在球O的表面上,AC⊥平面BCD,BC⊥CD,且AC=,BC=2,CD=,则球O的表面积为()
A.12πB.7πC.9πD.8π
29.用一个与球心距离为1的平面去截球,所得截面的面积为π,则球的表面积为()
A.4πB.8πC.12πD.16π
30.在三棱锥A﹣BCD中,AB=,其余各棱长都为2,则该三棱锥外接球的表面积为()
A.3πB.πC.6πD.π
外接球的表面积和体积高考试题精选
(一)
参考答案与试题解析
一.选择题(共30小题)
1.(2017?
达州模拟)一几何体的三视图如图所示,三个三角形都是直角边为2的等腰直角三角形,该几何体的顶点都在球O上,球O的表面积为()
A.16πB.3πC.D.12π
【解答】解:
由三视图可知:
该几何体是一个三棱锥,如图所示,AB=AC=AD=2,且AB,AC,AD两两垂直.
把此三棱锥补成正方体,则这个空间几何体的外接球的直径为此正方体的对角线2,
因此这个空间几何体的外接球的表面积S=4π?
3=12π.
故选:
D.
2.(2017?
达州模拟)如图某几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为()
A.B.C.D.3π
【解答】解:
∵该几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形,
∴该几何体为从底面直角顶点出发的三条棱两两垂直的三棱锥,可将其补成一个边长为1的正方体,
则该几何体的外接球就是补成的正方体的外接球,
∵补成的正方体的对角线长l==为其外接球的直径d,
2=3π,∴外接球的表面积S=πd
即该几何体的外接球的表面积为3π,
故选:
D.
3.(2016?
新课标Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为()
A.12πB.πC.8πD.4π
【解答】解:
正方体体积为8,可知其边长为2,
正方体的体对角线为=2,
即为球的直径,所以半径为,
所以球的表面积为=12π.
故选:
A.
4.(2016?
上饶三模)过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为()
A.B.C.D.
【解答】解:
设球的半径为R,圆M的半径r,
222,R+r=R由图可知,
222,=4πR,∴∴RS=r球22,的面积为:
πr=πRM截面圆
则所得截面的面积与球的表面积的比为:
.
故选A.
5.(2016?
河南模拟)已知三棱锥O﹣ABC,A,B,C三点均在球心为O的球表面上,AB=BC=1,∠ABC=120°,三棱锥O﹣ABC的体积为,则球O的表面积是()
A.544πB.16πC.πD.64π
【解答】解:
三棱锥O﹣ABC,A、B、C三点均在球心O的表面上,且AB=BC=1,
∠ABC=120°,AC=,
∴S=×1×1×sin120°=,ABC△∵三棱锥O﹣ABC的体积为,
△ABC的外接圆的圆心为G,
∴OG⊥⊙G,
外接圆的半径为:
GA==1,
∴S?
OG=,即×OG=,ABC△OG=,
球的半径为:
=4.
2=64π.球的表面积:
4π4
故选:
D
6.(2016?
安徽校级一模)点A、B、C、D在同一个球的球面上,AB=BC=AC=,若四面体ABCD体积的最大值为,则这个球的表面积为()
A.B.8πC.D.
【解答】解:
根据题意知,△ABC是一个等边三角形,其面积为,外接圆的半径为1.
小圆的圆心为Q,若四面体ABCD的体积的最大值,由于底面积S不变,高最ABC△大时体积最大,
所以,DQ与面ABC垂直时体积最大,最大值为S×DQ=,ABC△∴DQ=4,
设球心为O,半径为R,
222222,∴)R=(4AQO则在直角△中,OA=AQ﹣+OQ,即RR=1+
2=则这个球的表面积为:
S=4π()
故选C.
,BCD⊥平面AB的表面上,O的四个顶点都在球ABCD四面体(2016?
衡水模拟).7.
△BCD是边长为3的等边三角形.若AB=2,则球O的表面积为()
A.8πB.12πC.16πD.32π
【解答】解:
取CD的中点E,连结AE,BE,∵在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,
△BCD是边长为3的等边三角形.
∴Rt△ABC≌Rt△ABD,△ACD是等腰三角形,
△BCD的中心为G,作OG∥AB交AB的中垂线HO于O,O为外接球的中心,
BE=,BG=,
R===2.
2=16π.外接球的表面积为:
4πR四面体ABCD
故选:
C.
8.(2016?
南昌三模)已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面ABC的距离为1,点E是线段AB的中点,过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是()
A.πB.2πC.πD.3π
【解答】解:
设正△ABC的中心为O,连结OA11∵O是正△ABC的中心,A、B、C三点都在球面上,1∴OO⊥平面ABC,∵球的半径R=2,球心O到平面ABC的距离为1,得OO=1,11∴Rt△OOA中,OA=.11又∵E为AB的中点,△ABC是等边三角形,∴AE=AOcos30°=.1∵过E作球O的截面,当截面与OE垂直时,截面圆的半径最小,
∴当截面与OE垂直时,截面圆的面积有最小值.
此时截面圆的半径r=,
2=S=πr可得截面面积为.
故选C.
9.(2016?
河南模拟)已知在三棱锥P﹣ABC中,V=,∠APC=,∠BPC=,PA⊥ABCP﹣AC,PB⊥BC,且平面PAC⊥平面PBC,那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为()
A.B.C.D.
【解答】解:
由题意,设PC=2x,则
∵PA⊥AC,∠APC=,
∴△APC为等腰直角三角形,
∴PC边上的高为x,
∵平面PAC⊥平面PBC,
∴A到平面PBC的距离为x,
∵∠BPC=,PA⊥AC,PB⊥BC,
∴PB=x,BC=x,
∴S==,PBC△∴V=V==,PBC﹣ABCA﹣P∴x=2,
∵PA⊥AC,PB⊥BC,
∴PC的中点为球心,球的半径为2,
∴三棱锥P﹣ABC外接球的体积为=.
故选:
D.
10.(2016?
湖南二模)已知三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球的表面积为()
A.4πB.8πC.12πD.16π
【解答】解:
由已知中三棱锥的高为1
底面为一个直角三角形,
由于底面斜边上的中线长为1,
则底面的外接圆半径为1,
顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上,
由于顶点到底面的距离,与底面外接圆的半径相等,所以底面直角三角形斜边中点就是外接球的球心;
则三棱锥的外接球半径R为1,
2=4π则三棱锥的外接球表面积S=4πR
A故选:
(2016?
湖南校级模拟)一个四面体的顶点都在球面上,它们的正视图、侧视11.则这个的正方形.俯视图都是右图.图中圆内有一个以圆心为中心边长为1图、)四面体的外接球的表面积是(
A.πB.3πC.4πD.6π
【解答】解:
由三视图可知:
该四面体是正方体的一个内接正四面体.
∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为.
∴此四面体的外接球的表面积为表面积为=3π.
故选:
B.
12.(2016?
大庆一模)已知在三棱锥P﹣ABC中,PA=PB=BC=1,AB=,AB⊥BC,平面PAB⊥平面ABC,若三棱锥的顶点在同一个球面上,则该球的表面积是()
A.πB.3πC.D.2π
【解答】解:
由题意,AC为截面圆的直径,AC=,
设球心到平面ABC的距离为d,球的半径为R,
∵PA=PB=1,AB=,
∴PA⊥PB,
∵平面PAB⊥平面ABC,
∴P到平面ABC的距离为.
22222,)++d(﹣=()由勾股定理可得Rd=()
2=,d=0,R∴
2=3π.4πR∴球的表面积为
故选:
B.
13.(2016?
中山市校级模拟)球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点,其中AB=18,BC=24,AC=30,球心到这个截面的距离为球半径的一半,则球的表面积为()
A.1200πB.1400πC.1600πD.1800π
222222,+24【解答】解:
∵AB+BC=AC=18=30
∴△ABC为直角三角形,且其外接圆的半径为=15,
即截面圆的半径r=15,又球心到截面的距离为d=R,
22,∴R=10﹣=15∴R,
2=4π×=1200π.S=4πR∴球的表面积
故选:
A.
14.(2016?
泉州校级模拟)已知球O的半径为R,A,B,C三点在球O的球面上,球心O到平面ABC的距离为R.AB=AC=2,∠BAC=120°,则球O的表面积为()
A.πB.πC.πD.π
【解答】解:
在△ABC中,
∵AB=AC=2,∠BAC=120°,
∴BC==2,
由正弦定理可得平面ABC截球所得圆的半径(即△ABC的外接圆半径),
r==2,
又∵球心到平面ABC的距离d=R,
∴球O的半径R=,
2=∴R
2=π,S=4πR故球O的表面积
故选:
D.
15.(2016?
白银模拟)四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上,AB⊥平面BCD,△BCD是边长为3的等边三角形.若AB=2,则球O的表面积为()
A.4πB.12πC.16πD.32π
【解答】解:
取CD的中点E,连结AE,BE,
∵在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,△BCD是边长为3的等边三角形.
∴Rt△ABC≌Rt△ABD,△ACD是等腰三角形,
△BCD的中心为G,作OG∥AB交AB的中垂线HO于O,O为外接球的中心,
BE=,BG=,
∴R=2.
2=16π.外接球的表面积为:
4πR四面体ABCD
故选:
C.
16.(2016?
广西二模)已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直,PA=PD=AB=2,∠APD=90°,若点P、A、B、C、D都在同一球面上,则此球的表面积等于()
A.4πB.πC.12πD.20π
【解答】解:
设球心为O,如图.
由PA=PD=AB=2,∠APD=90°,可求得AD=2,
在矩形ABCD中,可求得对角线BD==2,
由于点P、A、B、C、D都在同一球面上,
∴球的半径R=BD=
2=12π.则此球的表面积等于=4πR
故选:
C.
17.(2016?
宁城县一模)四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上,AB=2,BC=CD=1,∠BCD=60°,AB⊥平面BCD,则球O的表面积为()
A.8πB.C.D.
【解答】解:
如图,∵BC=CD=1,∠BCD=60°
∴底面△BCD为等边三角形
取CD中点为E,连接BE,
∴△BCD的外心G在BE上,设为G,取BC中点F,连接GF,
在Rt△BCE中,由CE=,∠CBE=30°,得BF==,
又在Rt△BFG中,得BG=,
过G作AB的平行线与AB的中垂线HO交于O,
则O为四面体ABCD的外接球的球心,即R=OB,
∵AB⊥平面BCD,∴OG⊥BG,
在Rt△BGO中,求得OB=,
∴球O的表面积为.
故选:
D.
18.(2016?
北海一模)已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O上,底面ABCD是矩形,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD为正三角形,AB=2AD=4,则球O的表面积为()
A.B.C.32πD.64π
【解答】解:
令△PAD所在圆的圆心为O,△PAD为正三角形,AD=2,则圆O的11半径r=,
因为平面PAD⊥底面ABCD,AB=4,
所以OO=AB=2,1所以球O的半径R==,
2=的表面积=4πR.所以球O
故选:
B.
19.(2016?
昆明三模)正三棱柱的底面边长为,侧棱长为2,且三棱柱的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()
A.4πB.8πC.12πD.16π
【解答】解:
设三棱柱ABC﹣A′B′C′的上、下底面的中心分别为O、O′,
根据图形的对称性,可得外接球的球心在线段OO′中点O,1∵OA=AB=1,OO=AA′=11∴OA=12=8π,可得该球的表面积为S=4πRR=因此,正三棱柱的外接球半径
故选:
B.
20.(2016?
陕西模拟)已知正四面体的棱长,则其外接球的表面积为()
A.8πB.12πC.πD.3π
【解答】解:
将正四面体补成一个正方体,则正方体的棱长为1,正方体的对角线长为,
∵正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长,
∴正四面体的外接球的半径为
2=4=3π.4πr∴外接球的表面积的值为
故选:
D.
21.(2016?
安康三模)一直三棱柱的每条棱长都是3,且每个顶点都在球O的表面上,则球O的半径为()
A.B.C.D.3
【解答】解:
正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心,球心与顶点的连线长就是半径,
所以,r==.
故选:
A.
22.(2016?
抚顺一模)已知SC是球O的直径,A,B是该球面上的两点,△ABC是边长为的正三角形,若三棱锥S﹣ABC的体积为,则球O的表面积为()
A.16πB.18πC.20πD.24π
【解答】解:
根据题意作出图形.
设球心为O,球的半径r.过ABC三点的小圆的圆心为O,则OO⊥平面ABC,11延长CO交球于点D,则SD⊥平面ABC.1∵CO==1,1∴OO=,1∴高SD=2OO=2,1∵△ABC是边长为的正三角形,
∴S=,ABC△∴V=××2=,ABC﹣三棱锥S∴r=.则球O的表面积为20π
故选:
C.
23.(2016?
冀州市校级模拟)已知三棱锥P﹣ABC,在底面△ABC中,∠A=60°,BC=,PA⊥面ABC,PA=2,则此三棱锥的外接球的表面积为()
A.πB.4πC.πD.16π
【解答】解:
根据题意得出图形如下;O为球心,N为底面△ABC截面圆的圆心,ON⊥面ABC
∵,在底面△ABC中,∠A=60°,BC=,
∴根据正弦定理得出:
=2r,
即r=1,
∵PA⊥面ABC,
∴PA∥ON,
∵PA=2,AN=1,ON=d,
∴OA=OP=R,
∴根据等腰三角形得出:
PAO中PA=2d=2,d=
22+()=4∵R,=1
2=164πRπ∴三棱锥的外接球的表面积为
故选:
D
24.(2016?
南昌校级二模)已知A,B,C在球O的球面上,AB=1,BC=2,∠ABC=60°,直线OA与截面ABC所成的角为30°,则球O的表面积为()
A.4πB.16πC.πD.π
【解答】解:
∵A,B,C在球O的球面上,AB=1,BC=2,∠ABC=60°,
∴BC为△ABC外接圆的直径,
又∵直线OA与平面ABC成30°角
则球的半径R==
2=π×π×()故球的表面积S=4
.故选:
D
的表O(2016?
白山四模)一直三棱柱的每条棱长都是.3,且每个顶点都在球25)的表面积为(面上,则球O
.36πC.24πA.21πB.28πD
【解答】解:
正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心,球心与顶点的连线长就是半径,
22=21πr==,球的表面积为:
4πr=4π()所以,
故选:
A.
26.(2016?
福建模拟)在三棱锥P﹣ABC中,PA=2,PC=2,AB=,BC=3,∠ABC=,则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为()
A.4πB.πC.πD.16π
【解答】解:
由题意,AC==4,
∵PA=2,PC=2,
222,PA∴=AC+PC
∴PA⊥PC.
取AC的中点,则OA=OB=OC=OP,即O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心,半径为2,
2=16π.4πR﹣ABC外接球的表面积为P∴三棱锥
故选:
D.
27.(2016?
南昌校级二模)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=60°,C为该球面上的动点,若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为,则球O的表面积为()
A.36πB.64πC.144πD.256π
【解答】解:
如图所示,当点C位于垂直于面AOB时,三棱锥O﹣ABC的体积最大,
设球O的半径为R,此时V=V==18,AOBC﹣O﹣ABC故R=6,
2=144π,4πRO则球的表面积为
故选:
C.
28.(2016?
安徽三模)已知三棱锥A﹣BCD的四个顶点A、B、C、D都在球O的表面上,AC⊥平面BCD,BC⊥CD,且AC=,BC=2,CD=,则球O的表面积为()
A.12πB.7πC.9πD.8π
【解答】解:
由题意,AC⊥平面BCD,BC?
平面BCD,
∴AC⊥BC,
∵BC⊥CD,AC∩CD=C,
∴BC⊥平面ACD,
∴三棱锥S﹣ABC可以扩充为以AC,BC,DC为棱的长方体,外接球的直径为体对角线,
2222=12+BC,∴4R=AC+CD
∴R=
2=12π,4πR∴球O的表面积为
故选:
A.
29.(2016?
永州二模)用一个与球心距离
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