人教版八年级下册第十八章1822 菱形的定义性质重难点突破.docx
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人教版八年级下册第十八章1822菱形的定义性质重难点突破
《菱形的定义、性质》教学重难点突破
一、教学内容:
《菱形的定义、性质》是人教版八年级下册第十八章第18.2.2菱形
(1)的内容。
学生已学了平行四边形及矩形。
二、教学目标
1、理解菱形的定义,让学生在通过折叠活动,在操作、观察、分析的探究过程中得到菱形的性质,用轴对称性质证明菱形的特殊性质;
2、掌握菱形的性质,会根据菱形的性质进行相关的证明和计算。
三、课前准备
1、学生自己准备小剪刀,统一发放学生每人一张邻边不相等的平行四边形白纸,每人一张提前印刷好的课堂作业纸。
2、多媒体课件,三角板,圆规。
四、教学重难点
重点
菱形定义、特殊性质的探究及运用。
难点
菱形特殊性质的探究和灵活运用。
重难点突破过程与教学方法
1、利用折纸活动增强对菱形定义的理解。
如图,发给学生每人一张邻边不相等的平行四边形白纸。
类比矩形,把平行四边形的角特殊化得到矩形,把平行四边形边特殊化,构造“一组邻边相等”的特殊平行四边形,可以利用对折让两邻边AB与BC重合(A点落在C点,重合的边得到相等的线段),沿着CD裁去长出的一部分平行四边形CDEF,即可得到菱形ABCD。
2、利用折纸探究菱形的轴对称性;再用轴对称的方法证明菱形的特殊性质。
学生对平行四边形和矩形的性质和判定已经有所了解,在本节课中,重在经历探索菱形的特殊性质,用“问题:
2、把菱形纸片沿着另一条对角线AC对折,两边图形还重合吗?
3、菱形是轴对称图形吗?
4、菱形有几条对称轴?
”引出折纸探究菱形特殊性质的活动,帮助学生学会运用观察、分析、比较、归纳、概括等方法,得出解决问题的方法,使传授知识与培养能力融为一体,使学生不仅学到科学的探究方法,感受直观操作得出猜想的便捷性,进一步增进主动探究的意识。
用作业纸填空的方式降低证明特殊性质的难度,练习特殊性质的推理格式,体会说理的基本方法。
通过小组内交流,使学生认识到可以通过多种途径来验证,让学生在小组内完成从特殊到一般的研究过程。
然后再小组汇报研究结果以及存在问题。
数学教学是数学活动的教学,是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。
小组合作真正体现了学生是学习的主人,是学习的主体。
3、应用例题的选择,让学生体验数学活动来源于生活又服务于生活,体会菱形的图形美,提高学生的学习兴趣。
在教学过程中引导学生经过观察、思考、探索、交流获得知识,形成能力。
在教学过程中注意创设思维情境,借助多媒体进行演示,以增加课堂容量和教学的直观性,更好的理解菱形的性质,解决教学难点
五、教学过程
(一)导入:
前面我们学习了平行四边形,通过平行四边形角的特殊化(把一个角变成直角),变成了特殊的平行四边形——矩形。
那么把平行四边形的边特殊化——把它的邻边变成等长的,又是什么特殊的平行四边形呢?
演示课本55页图18.2—6由平行四边形变成菱形的的动画过程及生活中各种菱形的应用图片。
定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(板书课题及定义)
推理格式:
(1)判定格式
∵在
ABCD中,AB=BC
∴
ABCD是菱形(菱形定义)
(2)性质格式
∵在菱形ABCD中
∴四边形ABCD是平行四边形,AB=BC(菱形定义)(板书)
注:
板书画菱形的图案一定要用圆规作四边相等的四边形
(二)探究菱形的性质
1、菱形是特殊的平行四边形,具有平行四边形所有的性质。
(板书)
平行四边形性质列表:
(多媒体演示)
平行四边形
性质
边
对边平行且相等
周长
二倍两邻边长的和
角
对角相等,邻角互补
对角线
互相平分
面积
底×底边上的高
对称性
不一定是轴对称图形,矩形是轴对称图形
稳定性
不稳定性
2、利用轴对称探究菱形的特殊性质。
(板书):
菱形的特殊性质
问题:
1、如何把手上邻边不等的平行四边形纸片变成菱形呢?
课件及实物示范:
按定义“一组邻边相等”,如图可以利用对折让两邻边AB与BC重合(A点落在C点,重合的边得到相等的线段),沿着CD裁去长出的一部分平行四边形CDEF,即可得到菱形ABCD。
问题:
2、把菱形纸片沿着另一条对角线AC对折,两边图形还重合吗?
3、菱形是轴对称图形吗?
4、菱形有几条对称轴?
(板书):
(1)菱形是轴对称图形,有两条对称轴,在它的对角线(折痕)所在的直线上。
探究1:
在你的菱形纸上写出图中菱形ABCD内所有的全等三角形,与小组内的同学交流完成课堂作业纸中“探究部分”第1题证明的填写。
(课堂作业纸)探究部分
已知:
菱形ABCD中,AC、BD交于O点
求证:
,
,
。
证明:
∵菱形ABCD是轴对称图形,对角线AC,BD所在的是它的对称轴
∴△ABC≌(图中其他的全等三角形还有)
∴AB=AD,AB=BC(其它相等的线段)
∠1=∠2,∠5=∠,(其它相等的角)
∠9=∠10=∠11=∠12=
×
=
∴AB=BC=CD=AD,ACBD,AO=AC,BO=BD,
∴菱形ABCD的面积=4×
=4×
AO×BO=
.
学生合作探究,完成小组代表上台展示讨论结果。
归纳:
(板书)
(2)菱形四条边都相等。
(3)菱形两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。
(4)菱形的面积=底×底上的高=对角线乘积的一半。
探究2:
填写课堂作业纸“探究部分”第2、3、4题,展示正确答案。
(课堂作业纸)
2、上题图中等腰三角形有
直角三角形有全等三角形有对
3、由菱形的两条对角线的长,能计算它的面积吗?
计算方法与平行四边形面积的计算方法相比有什么异同?
4、填写下表:
菱形
性质
边
周长
角
对角线
面积
对称性
通过以上探究活动归纳出菱形的性质列表(多媒体演示)
菱形
性质
边
对边平行、四条边都相等
周长
四倍边长
角
对角相等,邻角互补
对角线
互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角
面积
底×高或者对角线乘积的一半
对称性
轴对称图形
探究3:
小组交流课堂作业纸“探究部分”第5题菱形性质的推理格式。
(课堂作业纸)5、菱形性质的推理格式填空
(1)∵在菱形ABCD中
∴AB=BC==(菱形的)
(2)∵在菱形ABCD中
∴四边形ABCD是平行四边形()
(3)∵在菱形ABCD中
∴AO=CO=AC,BO=,ACBD(菱形的)
(4)∵在菱形ABCD中
∴∠BAC=∠DAC=∠DAB,∠ABO=∠CBO
∠DAB=∠()
(5)如图,∵DE⊥AB于E
∴菱形ABCD的面积==
3、应用
(PPT展示生活中美丽实用的菱形图案,用这些来源于生活的美丽图片吸引学生的注意力,激发他们的好奇心,诱发学生对新知识的需求。
)
课本56页例3如图,菱形花坛ABCD的边长为20m,∠ABC=60°,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD,求两条小路的长(结果保留小数点后2位)
和花坛的面积(结果保留小数点后1位)。
(多媒体演示,强调推理格式)
解:
∵花坛ABCD的形状是菱形
∴AC⊥BD,∠ABO=
∠ABC=
×600=300
在Rt△OAB中,
AO=
AB=
×20=10(m)BO=
(m)
∴花坛的两条小路长
AC=2AO=20(m)
BD=2BO=20
≈34.64(m)
花坛的面积
=
AC·BD=
×20×20
=200
≈346.4(
)
归纳解题方法:
有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决
练习1:
课堂作业纸的“过关练习”,组长统计组员做题情况,展示点评,教师赋分。
小组合作,帮扶出错的同学,反思存在问题。
(课堂作业纸)过关练习
1、已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8
(1)OA的长为
(2)AB的长为
(3)菱形ABCD的周长为
(4)菱形ABCD的面积为
2、已知菱形的两个邻角的比是1:
5,高是8cm,则菱形的周长为__________。
3、菱形ABCD中,O是两条对角线的交点,且AB=5,BO=4,则对角线AC的长为____,BD的长为_____。
(三)总结提升
1、怎样从平行四边形得到菱形的?
菱形的性质。
2、菱形的性质中哪些是一般平行四边形没有的。
3、请用图表示平行四边形、矩形、菱形之间的从属关系。
4、有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决。
练习2:
做课堂作业纸的“提升练习”
(课堂作业纸)提升练习
1、如图1,菱形ABCD中,∠BAD=60°,M是AB的中点,P是对角线AC上的一动点,若PM+PB的最小值是3,则AB的长是___________。
2、如图2,已知菱形ABCD的周长是52cm,对角线AC,BD交于点O,且AC=10,试求菱形的边长、面积、AB边上的高DE。
(此题点评可以再引伸到BC边上的高的计算,两高相等,比对邻边不等的平行四边形的两条高,加深对对称性的理解)
(四)课后作业
课本60页习题第5题,61页第11题
选做:
用其他方法证明菱形的四边相等,对角线互相垂直且每一条对角线平
分一组对角(提示:
用菱形定义及平行四边形性质)。
(五)板书设计
18.2.2菱形的定义与性质
(1)
1、定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
推理格式:
(1)判定格式
∵在
ABCD中,AB=BC
∴
ABCD是菱形(菱形定义)
(2)性质格式
∵在菱形ABCD中
∴四边形ABCD是平行四边形,AB=BC(菱形定义)
二、菱形的性质:
1、菱形是特殊的平行四边形,具有平行四边形所有的性质。
2、菱形的特殊性质:
(1)菱形是轴对称图形,有两条对称轴,在它的对角线(折痕)所在的直线上。
(对称性)
(2)菱形的四条边都相等(边)
(3)菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。
(对角线)
(4)菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半。
(面积)
三、练习
六、反思
教学活动探索过程中,小组活动展示对于时间的安排上没有把握太好,容易导致后部分内容处理起来,在时间上有点紧。
附:
课堂作业纸
探究部分
1、写出图中菱形ABCD内所有的全等三角形,与小组内的同学交流并填写证明菱形特殊性质的过程。
已知:
菱形ABCD,AC、BD交于O点
求证:
,
,
。
证明:
∵菱形ABCD是轴对称图形,对角线AC,BD所在的是它的对称轴
∴△ABC≌(图中其他的全等三角形还有)
∴AB=AD,AB=BC(其它相等的线段)
∠1=∠2,∠5=∠,(其它相等的角)
∠9=∠10=∠11=∠12=
×
=
∴AB=BC=CD=AD,ACBD,AO=AC,BO=BD,
∴菱形ABCD的面积=4×
=4×
AO×BO=
.
2、上题图中等腰三角形有
直角三角形有
全等三角形有对
3、由菱形的两条对角线的长,能计算它的面积吗?
计算方法与平行四边形面积的计算方法相比有什么异同?
4、填写下表:
菱形
性质
边
周长
角
对角线
面积
对称性
5、菱形性质的推理格式填空
(1)∵在菱形ABCD中
∴AB=BC==(菱形的)
(2)∵在菱形ABCD中
∴四边形ABCD是平行四边形()
(3)∵在菱形ABCD中
∴AO=CO=AC,BO=,ACBD(菱形的)
(4)∵在菱形ABCD中
∴∠BAC=∠DAC=∠DAB,∠ABO=∠CBO
∠DAB=∠()
(5)如图,∵DE⊥AB于E
∴菱形ABCD的面积==
过关练习
1、已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8
(1)OA的长为
(2)AB的长为
(3)菱形ABCD的周长为
(4)菱形ABCD的面积为
2、已知菱形的两个邻角的比是1:
5,高是8cm,则菱形的周长为__________。
3、菱形ABCD中,O是两条对角线的交点,且AB=5,BO=4,则对角线AC的长为____,BD的长为_____。
提升练习
1、如图1,菱形ABCD中,∠BAD=60°,M是AB的中点,P是对角线AC上的一动点,若PM+PB的最小值是3,则AB的长是___________。
2、如图2,已知菱形ABCD的周长是52cm,对角线AC,BD交于点O,且AC=10,试求菱形的边长、面积、AB边上的高DE。
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