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相交线与平行线教案
第五章相交线与平行线
5.1相交线
5.1.1对顶角
【教学目标】
1、具体情境中了解邻补角、对顶角,能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角,理解对顶角相等,并能运用它解决一些问题
2、过动手观察、操作、推断、交流等数学活动,进一步发展空间观念,培养识图能力、推理能力和有条理表达能力.毛
【教学重点与难点】
教学重点:
重点:
邻补角、对顶角的概念,对顶角性质与应用.
教学难点:
理解对顶角相等的性质的探索
【教学方法】
通过创设情境,以问题为载体给学生提供探索的空间,引导学生积极探索。
教学环节的设计与展开,都以问题的解决为中心,使教学过程成为在教师指导下学生的一种自主探索的学习活动过程,在探索中形成自己的观点。
【教学过程】
一、创设情境引入新课
(设计说明:
在现实生活中发现并提出简单的问题,吸引学生的注意力,激发学生自主学习的兴趣和积极性。
从而自然引入新课。
)
问题:
在我们的生活的世界中,蕴涵着大量的相交线和平行线,大家对它们也不陌生,(播放图片)请找出图片中的相交线、平行线,你能再找出一些身边的相交线、平行线的实例吗?
比如:
教室种黑板面相邻的两条边、相对的两条边,操场上的双缸,方格纸上的横线和竖线等等,都给人以相交线、平行线的形象。
二、探索新知解决问题
1.观察剪刀剪布的过程,引入两条相交直线所成的角
学生观察、思考、回答问题
问题1:
张开地剪刀给人以什么形象?
(出示一把张开的剪刀)
张开的剪刀可看作两条相交直线。
(教师可以同时在黑板上画出几何图形)
在用剪刀剪布的过程中,用力握紧把手引发了剪刀张角的变化,表演剪布过程,让学生仔细观察,提出问题
问题2:
两个把手之间的的角发生了什么变化?
剪刀刀刃张开的口又怎么变化?
学生观察、思考、回答,得出:
握紧把手时,随着两个把手之间的角逐渐变小,剪刀刃之间的角边相应变小.如果改变用力方向,随着两个把手之间的角逐渐变大,剪刀刃之间的角也相应变大.
教师点评:
如果把剪刀的构造看作两条相交的直线,以上就关系到两条相交直线所成的角的问题,本节课就是探讨两条相交线所成的角及其特征.
2.认识邻补角和对顶角,探索它们性质
(1)角的位置关系探究
问题:
画直线AB、CD相交于点O,并说出图中4个角,两两相配共能组成几对角?
各对角的位置关系如何?
根据不同的位置怎么将它们分类?
(完成表格中的前三项)
两直线相交
所形成的角
分类
位置关系
数量关系
学生思考并在小组内交流,全班交流.
当学生直观地感知角有“相邻”、“对顶”关系时,教师引导学生用几何语言准确地表达,如:
∠AOC和∠BOC有一条公共边OC,它们的另一边互为反向延长线.
∠AOC和∠BOD有公共的顶点O,而是∠AOC的两边分别是∠BOD两边的反向延长线.
引导学生概括形成邻补角、对顶角概念.
有一条公共边,而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.
如果两个角有一个公共顶点,而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线,那么这两个角叫对顶角.
初步应用.
练习1:
下列说法正确吗?
如果错误,如何订正.
①邻补角的“邻”就是“相邻”,就是它们有一条“公共边”,“补”就是“互补”,就是这两角的另一条边共同一条直线上。
②邻补角可看成是平角被过它顶点的一条射线分成的两个角。
③邻补角是互补的两个角,互补的两个角也是邻补角。
④有公共顶点,没有公共边的角是对顶角。
(2)角的数量关系探究
问题1:
用量角器分别量一量各个角的度数,你发现各类角的度数有什么关系?
(完成表格的第四项内容)
学生得出互为邻补角的两角和为180º,互为对顶角的两角相等
教师再提问:
如果改变∠AOC的大小,会改变它与其它角的位置关系和数量关系吗?
∠AOC的大小不影响它与其它角的位置及数量关系。
在前面的活动中,学生已通过观察、测量得出了邻补角、对顶角间的数量关系,在此基础上可以引导学生思考:
问题2:
能不能用所学知识说明为什么邻补角和为180º,为什么对顶角相等?
在图1中,∠AOC的邻补角是∠BOC和∠AOD,所以∠AOC与∠BOC互补,∠AOC与∠AOD互补,根据“同角的补角相等”,可以得出∠AOD=∠BOC,类似地有∠AOC=∠BOD.
板书对顶角性质:
对顶角相等.
强调对顶角概念与对顶角性质不能混淆:
对顶角的概念是确定二角的位置关系,对顶角性质是确定为对顶角的两角的数量关系.并提醒学生今后只要看到对顶角就应想到它们相等。
初步应用:
1、可以让学生利用对顶角相等这条性质解释剪刀剪布现象。
2、你还能举出生活中应用对顶角相等的例子吗?
三、巩固训练熟练技能
(设计说明:
通过形式不同的练习加强学生对知识的理解,训练学生灵活应用知识解决问题的能力)
练习1:
判断下列图中∠1、∠2是否是对顶角.
练习2:
如图,直线a,b相交,
(1)当∠1=40°时,求∠2,∠3,∠4的度数.
(2)当∠1=90°时,求∠2,∠3,∠4的度数
四、反思总结情意发展
问题1:
本节课你学习了什么?
问题2:
本节课你还有哪些疑问?
问题3:
通过今天的学习,你想进一步探究的问题是什么?
五、课堂小结
1.本节主要学习邻补角、对顶角的概念、性质。
2.要学会在较复杂的图形中识别邻补角、对顶角。
3.不仅会用对顶角性质解决问题,还要知道新知识如何得出的,在解决问题的过程中注意训练说理能力
六、布置作业
1、课本162页练习第1、2、37题;
七、拓展练习
(设计说明:
在学习基础知识的基础上,拓展学生思维,提高学生的学习兴趣。
)
练习一、判断题:
1.如果两个角有公共顶点和一条公共边,而且这两角互为补角,那么它们互为邻补角.()
2.两条直线相交,如果它们所成的邻补角相等,那么一对对顶角就互补.()
二、填空题:
1.如图1,直线AB、CD、EF相交于点O,∠BOE的对顶角是_______,∠COF的邻补角是________.若∠AOC:
∠AOE=2:
3,∠EOD=130°,则∠BOC=_________.
(1)
(2)
2.如图2,直线AB、CD相交于点O,∠COE=90°,∠AOC=30°,∠FOB=90°,则∠EOF=________.
三、解答题:
1.如图,直线AB、CD相交于点O.
(1)若∠AOC+∠BOD=100°,求各角的度数.
(2)若∠BOC比∠AOC的2倍多33°,求各角的度数.毛
参考答案
一、1.×2.∨
二、1.∠AOF,∠EOC与∠DOF,160°,2.150°,
三、1.
(1)分别是50°,150°,50°,130°
(2)分别是49°,131°,49°,131°.毛
【评价与反思】
5.1.2垂线
知识技能目标
1.理解两条直线互相垂直的意义;
2.会经过一点画出和已知直线垂直的直线,会画出三角形的高;
3.了解点到直线的距离的意义.
过程性目标
1.在观察两条直线位置关系的变化过程中,体验图形的美;
2.学会自主探索图形之间的相互关系和变化规律.
教学过程
一.创设情境
师:
前面重点学习了“角”,也知道角的两边是两条射线,那么当角的大小发生变化时,两边所在直线位置是否也随之变化呢?
现在老师交给你们一个任务,两笔画出四个角是直角,你能解决吗?
请你说说画图的过程.
生:
画两条直线互相垂直.
师:
已知∠AOC=90º,可得两直线什么关系?
生:
AB⊥CD(CD⊥AB)(板书).
师:
已知AB⊥CD(CD⊥AB),可得∠AOC=∠COB=∠AOD=∠DOB=90º(板书).师:
你觉得那副图比较美观?
生:
当两条直线互相垂直时,我觉得比较美观.
师:
请你说说理由?
生:
觉得它们具有对称性.
师:
对,因为它们具有对称性,所以我们感觉这样的图案比较美观.
二.探索归纳
师:
现在已经学会了垂线的画法,那么在下面给出的这个问题中你能帮助小青蛙解决困难吗?
如图,在点A处有一只青蛙,要准备快速地跳到小河边BC,你能帮它确定一条线路吗(小组讨论,学生热情高涨)?
生:
过点A作BC的垂线,垂足为M.即沿AM线路跳越可快速跳到河边.
师:
由上面问题的解决过程中,需要作过A的垂线,那么老师问你是如何画出的(学生上黑板画出)?
师:
在问题中点A在直线BC外,那么如果出现点A在直线BC上,仍能画出直线BC的垂线吗?
生:
能.
师:
以上讨论实际研究了这么一个问题:
在同一平面内,经过一点画已知直线的垂线的问题(让学生通过小组讨论,归纳结论).
生:
在同一平面内,经过直线外或直线上一点,有且只有一条直线与已知直线垂直.
三.实践应用
例1如图,小海龟位于图中点A处,按下述口令移动:
向前前进3格;向右转90°,前进5格;向左转90°,前进3格;向左转90°,前进6格;向右转90°,后退6格;最后向右转90°,前进1格.用粗线将海龟经过的路线描出来,看一看是什么图形(学生在书上做).
例2如图,∠ABD=90°
(1)点B在直线_______上,点D在直线_______外;
(2)直线_____与直线________相交于点A,点D是直线________与直线________的交点,也是直线_________与直线___________的交点,又是直线_________与直线__________的交点;
(3)直线________⊥直线_________,垂足为点__________;
(4)过点D有且只有___________条直线AC垂直.
例3如图所示的各个三角形中,分别画出AB边上的高,并量出三角形顶点C到直线AB的距离.
例4如图所示的方格纸中,按下述要求画图并回答问题.
(1)过点C画线段AB的垂线,垂足为D;
(2)该垂线是否经过格点(格点指的是画方格时的纵向和横向线段的交点)?
如果经过格点,请在图中标出所有的格点;
(3)量出点C到线段AB所在的直线的距离(精确到1mm).
四.反思交流
师:
这节课上,我们为小青蛙找到了一条路程最短的线路,也从中获得了不少数学知识.我们要谢谢小青蛙呢.那么大家交流一下学到了哪些知识?
生A:
直角可推出直线互相垂直并学会画垂线.
生B:
直线互相垂直可推出四个角是直角.
生C:
量出点到直线的距离.
生D:
利用两直线互相垂直画的图案比较美.
师:
想一想在你的生活当中见到过要使用“点到直线距离”的例子吗?
生E:
测量同学的跳远成绩时要用到“点到直线距离”.
生F:
测量三角形的高时,也要用到“点到直线距离”.
师:
请各个小组在课后设计一个问题:
问题中要涉及“点到直线距离”.
五.检测反馈
1.如图,已知直线AB以及直线AB外一点P.按下述要求画图并填空:
(1)过点P画PC垂直AB,垂足为点C;
(2)P、C两点间的距离是线段______的长度;
(3)点P到直线AB的距离是线段___________的长度;
(4)点P到直线AB的距离为___________________(精确到1mm).
2.将如图所示方格中阴影部分的图形绕着点O逆时针旋转90°,画出旋转后的图形.
“垂线”过关练习
一.选择题
1.如图,△ABC中,不可能是三角形ABC的高是().
(A)BD
(B)CG
(C)AF
(D)BE
2.如图的“米”字图形中,直角一共有几个().
(A)6
(B)8
(C)10
(D)12
二.填空题
3.如图,直线AOB,OE、OF分别是∠AOC、∠BOC的角平分线,则∠EOF=
°.
4.如图,直线AB、CD相交于O,OE⊥CD于O,∠AOC=36°,则∠EOB=
5.在下图中,线段
的长表示点M到直线a的距离.
5.1.3同位角内错角同旁内角
一、教学目标
(一)知识教学点
1.理解同位角、内错角、同旁内角的概念.
2.结合图形识别同位角、内错角、同旁内角.
(二)能力训练点
1.通过变式图形的识图训练,培养学生的识图能力.
2.通过例题口答“为什么”,培养学生的推理能力.
(三)德育渗透点思想;从图形变化过程中,培养学生辩证唯物主义观点.
(四)美育渗透点
通过“三线八角”基本图形,使学生认识几何图形的位置美.
二、学法引导
1.教师教法:
尝试指导,讨论评价、变式练习、回授.
2.学生学法:
主动思考,相互研讨,自我归纳.
三、重点、难点及解决办法
重点:
同位角、内错角、同旁内角的概念.
难点:
在较复杂的图形中辨认同位角、内错角、同旁内角.
解决办法:
引导学生讨论归纳三类角的特征,并以练习加以巩固.
四、课时安排
1课时.
五、教具学具准备
多媒体、三角板.
六、师生互动活动设计
1.通过一组练习创设情境,复习基础知识,引入新课.
2.通过学生阅读学案,教师设问引导,练习巩固讲授新课.
3.通过师生互答完成课堂小结.
七、教学过程
创设情境,复习导入
回答下列问题:
1.如图,∠1与∠3,∠2与∠4是什么角?
它们有什么关系?
2.如图,∠1与∠2,∠l与∠4是什么角?
它们有什么关系?
在(1、2题的)图上添加一条直线CD,使CD与EF相交于某一点(如图),直线AB、CD都与EF相交或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截,这样图中就构成八个角,在这八个角中,有公共顶点的两个角的关系前面已经学过,今天,我们来研究没有公共顶点的两个角的关系.
尝试指导,学习新知
1.学生自己尝试学习,阅读学案的内容.
2.设计以下问题,帮助学生正确理解概念.
(1)如上图所示,直线AB和直线CD被第三条直线EF所截,构成的∠1与∠5在两条被截线(AB、CD)的,在截线EF的.这样位置的角称为.构成的∠3与∠5在两条被截线(AB、CD)的,在截线EF的.这样位置的角称为.构成的∠3与∠6在两条被截线(AB、CD)的,在截线EF的.这样位置的角称为.
(2)观察∠1和∠5两个角,图形结构像哪一个字母?
∠1和∠5这对角有什么特点?
图中的同位角除了∠1和∠5外,还有哪几对?
(3)观察∠3和∠5两个角,图形结构像哪一个字母?
∠3和∠5这对角有什么特点?
图中的内错角除了∠3和∠5外,还有哪几对?
(4)观察∠3和∠6两个角,图形结构像哪一个字母?
∠3和∠6这对角有什么特点?
图中的同旁内角除∠3和∠6外,还有哪几对?
3.对上述问题以小组为单位展开讨论,然后学生间互相评议.
4.教师对学生讨论过程中所发表的意见进行评判,归纳总结.
5.学生通过手势法尝试学习三种角.
请同学们分别用双手的大拇指和食指各组成一个角,两根手指相连成一条线,保持在同一平面内,分别进行尝试,如何构成同位角、内错角和同旁内角?
同位角“F”内错角“Z”同旁内角“U”
6.巩固新知
(1)如图,直线DE,BC被直线AB所截,∠1与∠2是___角,∠1与∠3是___角,∠1与∠4是___角。
(2)如图,∠1和∠2是角;∠3和∠4是角;∠5和∠6是角.
7.变式训练
根据图形按要求填空:
(1)∠1与∠2是直线和被直线所截而得的.
(2)∠1与∠3是直线和被直线所截而得的.
(3)∠3与∠4是直线____和_________被直线________所截而得的________.
(4)∠2与∠4是直线________和被直线所截而得的_________.
(5)∠4与∠5是直线________和__________被直线________所截而得的__________.
8.教师强调如何在三线八角中找出三种角
在截线的同旁找同位角和同旁内角,在截线的两侧找内错角,因此在“三线八角”的图形中的主线是截线,抓住了截线,再利用图形结构特征(F、Z、U)判断问题就迎刃而解.
9.能力提升
辩一辩
(1)如图,∠1与∠2是同位角吗?
(2)如图,∠1与∠2是内错角吗?
(3)如图,∠1与∠2是同旁内角吗?
(四)小结
主要内容:
两条直线被第三条直线所截而产生的三种角同位角、内错角、同旁内角.
注意:
1、在截线的同旁找同位角和同旁内角,在截线的两侧找内错角.
2、在“三线八角”的图形中应先找到“截线”,再找另外两直线,然后根据角的位置决定是哪一种角.
八、布置作业
5.2平行线
5.2.1平行线
知识技能目标
1.了解平行线的意义,知道过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行;
2.会经过直线外一点,画已知直线的平行线.
过程性目标
1.通过观察和画平行线,感受平行线的实际意义,体验平行线的特征;
2.探索“经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行”的结论,体会研究几何图形性质的方法.
教学过程
一.创设情境
师:
当我们去操场进行跳高训练时,你们有没有发现横杆在阳光的照射下,在地面上留下了它的影子,这影子和横杆有交点吗?
生:
影子和横杆没有交点.
师:
在我们的生活中,你还能找到类似的例子,在同一平面内两条直线没有交点吗(小组交流)?
生:
像黑板的上,下两条边,铺设的铁轨等.
师:
在同一平面内请学生画两条直线,看一看有几种情形(让学生自主探索获得结论)?
生:
在同一个平面内所画的两条直线只有两种情形:
两条直线相交;两条直线不相交.
师:
我们把在同一个平面内不相交的两直线叫做平行线(parallellines).
如图,直线a与直线b互相平行,记作“a∥b”.
二.探索归纳
师:
大家刚才已经画了没有交点的两条直线,那你能肯定将两直线向两方延长后永远没有交点吗?
请同伴帮你检测一下(学生合作完成).
师:
你是用什么方法确定同学所画的两直线肯定是平行的呢(学生交流平行线的画法)?
师:
下面请大家观看一种画平行线的方法:
按照图示方法,画一条直线b与已知直线a平行.
师:
如果在直线a外有一个已知点P,那么经过点P可以画多少条直线与已知直线a平行?
请动手画一画(学生之间相互交流、讨论后确定具体的画法).
生:
动手操作的结果表明,经过点P画一条直线与已知直线a平行.
师:
你能把这一现象总结出来吗?
生A:
经过直线a外点P只能画一条直线与已知直线a平行.
生B:
可以总结为:
经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.
三.实践应用
1.观察如图所示的长方体后填空:
(1)用符号表示下列两棱的位置关系:
A1B1______AB,AA1______AB,A1D1_________C1D1,AD______BC;
(2)A1B1与BC所在的直线是两条不相交的直线,他们_____平行线(填“是”或
“不是”),由此可知,只有在__________内,两条不相交的直线叫做平行线.
2.根据下列语句,画出图形:
(1)过△ABC的顶点C,画MN∥AB;
(2)过△ABC的边AB的中点D,画平行于AC的直线,交BC于点E.
(3)模仿
(1)、
(2)两题,你也能提出一个问题让同桌试一试吗?
四.交流反思
师:
通过我们一起探索,获得了有关平行线的知识,你能给我们讲讲对平行线的认识吗?
.
生:
在同一平面内,两条不同直线的位置关系只有两种:
相交或平行.
师:
请举出一些与平行线相关的实例.
生:
如图所示,不少国家、团体或公司的标志是由平行线、垂线构成的(同学间可以交流).
师:
希望大家在课后能够利用平行线、垂线设计图案.
师:
希望大家在课后能够利用平行线、垂线等设计出一些漂亮的图案来.
五.检测反馈
1.在同一平面内,与已知直线a平行的直线有_______条,而经过直线a外一点P,与已知直线a平行的直线有且只有______条.
2.用平移三角尺的方法可以检验出图中共有平行线______对.
3.利用平行线画一些图案,比一比谁画的美观.
4.如图是一本书封面的图的框架,请临摹这个图案,并涂上适当的颜色.
“平行线”过关练习
填空题
1.学校操场上,跳高横杆与地面上的影子的关系属于
.
2.如图,长方体中,与棱AA1平行的棱有
条,与棱AA1相交并垂直的棱有
条.
3.如图,经过直线l外一点P的四条直线中与直线l平行的直线是
.
5.2.2平行线的判定
知识技能目标
1.理解和掌握平行线的识别方法;
2.能根据平行线的识别进行简单的说理.
过程性目标
通过图形变换,以及由“同位角相等,两直线平行”探索平行线的其他识别方法,初步感受推理的表达方式.
教学过程
一.创设情境
师:
老师通过屏幕展示出来的不相交两直线,你认为此两直线是平行线吗(学生展开讨论)?
生A:
是两条平行线.
生B:
我不同意他的讲法,认为不是两条平行线.
师:
两类意见,老师认为都正确,因为借我们的双眼来观察所得是不够准确的,有时会有个人色彩,有时眼见的不一定为真,有时眼见的当然不一定不真,那我们怎么解决这类问题呢(学生讨论)?
生C:
我认为可用已经确认的两平行线去比较验证.
生D:
我认为应该去找到一种具体的识别方法.
师:
那我们到哪里去找呢?
找什么识别方法呢(学生思考并出示课题)?
二.探索归纳
师:
我们想一想能不能用学过的知识去找出解决的方法?
老师请一位同学上黑板,用直尺和三角板画过已知直线a外一点P的直线a的平行线b.
生E:
在黑板上画图(其他学生仔细观察).
师:
你从中看到了什么?
生F:
通过两角相等,画出了平行线.
师:
利用怎样的两个角相等?
生F:
利用同位角相等,获得平行线.
师:
由刚才的演示发现:
我们画平行线是借助了与a、b都相交的第三直线,在画平行线的过程中,实际上是保证了相同位置的两个角都是60°,因此,可得出什么“猜想”?
生:
可以得出:
如果同位角相等,那么两直线会平行.
师:
老师准备用课件演示运动变化过程,再次验证上面得出的结论(展示动画).
大家思考这样这个问题:
会不会有某一特定时刻,即使同位角不相等,两直线也平行呢?
(以引出运动、变化的实验.在观察实验之前,首先让学生认清,∠α和∠β(如图),而后开始实验.让学生充分观察,并得出结论)
生:
当∠β≠∠α时,a不平行于b;而不论α取何值,只要∠β=∠α,a、b就平行.
师:
请同学们用一句话概括这一结论.
生:
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单地说,就是:
同位角相等,两直线平行.
例1如图,∠1=150°,∠2=150°,a∥b吗?
说出你的想法?
生:
因为∠1=∠2,所以a∥b(板书).
师:
如果图中只有∠2=∠3这个条件,那么直线a、b还会平行吗?
生:
因为∠1=∠3,∠2=∠3,所以∠1=∠2,所以直线a、b平行.
所以我们也可以写成:
因为∠2=∠3,所以a∥b(板书).
师:
通过以上的推导,你有什么想法?
生:
如果内错角相等,那么两直线会平行.
师:
请同学试用一句话概括我们发现的结论.
生:
内错角相等,两直线平行(板书).
师:
如果图中只有∠2+∠4=180°这个条件,请同学们交流讨论,能不能推出直线a、b平行?
用“因为……,所以……”的语句口答.
生:
因为∠2+∠4=180°,所以a∥b(板书).
师:
说明了怎样一个事实.
生:
同旁内角互补,两直线平行(板书).
三
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- 相交 平行线 教案