偏微分方程答案整理第五章.docx
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偏微分方程答案整理第五章
第三章椭圆形方程的有限差分法
3.2两点边值问题的差分格式
321
92页
L用积分插值法导出!
1近徴分方程(21)的差分方程.
Z—汕計煌2a
♦J
川/八C⑴,可遁接积分
在3和內任一小区间[XF⑺]上积分挣彳一兰5字)女+J
;udxdx"“
好理3
dxpG)
dx(中矩形公式)V
4ip(x)
w(X$W,吗丽必)
】勺坷+1
严如普其中s
乙
_2一J0(x)dxP
%+^+lr
3.2.3
p20D4*J
4.构造il近"
{pu)+i^u+ru=/于((3,b)
的中-!
>差分恪式.A
為"厂和"12••••••,K心豳恥
X1==(Xh+兀)j=l,2,……,N2访2
也_「咚吗+1-如旳-%-】紅1闵
切+1+鸟
%+1%
.ddL、.dd^u.
[群苕L厂乔L扌
JWV
饥1+闵
2
AA
-du.-duJp乔kF乔
3.3二阶椭圆型方程的差分格式
3.3.1100页
P210*'
1.用积分插值法构造逼近君程初
(3.31)一Nm=—[2(疋—)+2(上更)]=了时第一辺值问题的五点差
空卽卽
分格式,这里k=k(X'y)血刈4
解.
zTJ1•
1)正则内点心
j+1
\/
L4
L3
J-1
i・l
于Q上积分(3.21)式,4
-JJVy\dxdy=JJfdxdy^JG科
■p请(碟)+鲁a詈皿®=n'T
*r
由GmM第—公式得5♦■
・.综上有Sa
=叭小其中ydxQy□九广
力1力2ff
*T
1)非正则内点3
£用积分插值法构造11近方程(久21)冊第二边值间题的五点差分格式.
ft:
1)
3)
正刚內点,同第一题中1)*非正则內点,同第一题中2)0
在畀点q处于曲边三角形ABU上对C3.21)式积分,得:
-If
hASC
V(七Vw)
dT^dy=II/必妙4
hASC
-i
—kds=Jf/dxdy^
iiABC
CLI■"
+)—kdsJjfdxdya
A9冲Axic
上一AB^
h加f咛
L詈上£Q
(2)上心0拠jt尹。
也权二综上有;+'
—J(算昶血+绘土ffc+如C3)=J(fdxdy
禺坷SiAEC
3.4极值定理敛速估计
105页
设厶=g:
i=or…Nxq<心<<心hx是厶上的网函数。
又
M=~(气必-厂勺旳+®X+i)+gMJ=i2-「N-h
其中碣对q恒正,坏i非负,且陽+6兰鸟证明当劭兰0(切>0)时,”不能在内点取正的极大〔负的极小),除非等于常数,
342
在题1中,若设Hi=b.-a.-c.+0扌>0(?
=12….M-l),则差分方程A
切=='2…期-1,
]C的解晒足不等式>
氐=玲=0
maxIy-伍max'一.屮i」Nj
3.6三角网格(有限体积法)
补充题
7.P21b/2*^
构造逼近(3.21)-=-[—(—)+—(—)]=/ffi三®厕格式.
3兀Sv卽》
解:
卩
如图,设Po是内点,P1,…,久是和Po相邻的节点,务为三角形PoPiPd的外心』刃严
是PoPi的中点,q是由六边形今“….@6围成的对偶单兀$在子域Q积分得
由Green公式得:
A
f上竽ds=[[fiixdy,3込勿bf;
區吨丄牛
a)人[m@+i)-)]+川G)Rgq(h),
2
其中&即为k(3)在炖,中点的值皿(Q)是Q的面积,Rgq(饥)是截断误差卅
5
•••導点;?
0的差分方程为2
一暫%捫“护如临冰
丄•■
其中卩0=—:
777丨丨您妙Mi是k在莎;中点的值”加(Go)E;5
第五章抛物方程的差分法和有限元法
5.1最简差分格式
5.1.2130页
P24加
3.将向前差分格式和向后差分恪式作加枫平均’得至!
I下列格式:
3
(113)
加严+1^;:
)+(1-8)(监]-+町_1)],卩
其中。
込2计算其载断惡并证明当匕_时,载断误差
的阶最高(0(卢+血4))・4
解:
£;”=厶”內也)■[加]卜
班h心)T(®.点)Sc亠,、c,、一-沪[&@(勺+1"上+1)~加(勺/jfc+j
+讥&小纭I))+(1-刃(以号+1以)
血(x.,N)。
'”(才,氐)
-加(勺,fjt)+«(V1,4)]豆+a
*a
⑴以勺An)-以®,er
r
1dugQ?
几(勺如
=-[班亏•以)+17—-—+———+O(T)-W(XpZj]
=必(亏以)卜T九仗沁)十F
&2加
a?
⑵yy[”(X丹以)-2”(勺以)+“(亏小4)]2h
1敢勺以)X几(亏,4)尸护讥右以)
。
(泸)+心以)-血"沁)
方4昔tigtjh'九E认)
4!
丹5!
加
dx
X*心2+^―
2!
沪%(XjQ
I
3!
ra”(x广fj+—
4!
h'3纭(心以)rt
-务jJo(泸)-沁沁p
d^u(a,-,Zjl)护5*£z(x,,Zjl).
二-^+巨―k起我卄
⑶庐仪(©小如1)-加(勺,纭1)+讥©4如)2
—几(勺,心)严九(S加)+肿12贰
护”(x门Zjt)33%(x门ZjQ护9*w(z.,Zjt)
珂—^+诗(飞^)+。
的召冷尸+書舟严沪))+0(F)]+0@4)
&dx
4.在Richardson式(LID)中以m;=—(皿「1+巧")代入,便得DuForl2
Frankel式:
d
.K+l“41,i,ui,Jt-l丄“Jt
(1.14)
叫一勺/"I-吟"幻+咲】,=a*2r沪
试求其截断误差n仪
解SSjli=厶以(©・以)一[加]”
“(x门£如)一班®认J班勺小4)一讥勺,(如)-W(X//e)+"
2t
a
⑴"(兀八如1)-”(丐・/—几
1dugG?
d^u(x4k)3?
w(x・,4)
2r八少2!
加3!
a"“
+00))
dugtjF护“(S卢3%(勺血)
一(«(%,■,«)-T——+{——
Jdt2!
况23!
加2
+0(十))]
=警+沖+。
("
警5”
(2)庐如i)-“(xp仏i)+w(rjH)]4=土[m(勺小At)+"(勺・1,4)-班亏』盼1)一《(勺丄1)]卩=*[(心也)+浑;r)+岁%以),沪a%如+£九(?
4)+兰%(7以)+
4!
dx°5!
a?
)阳
.去(右,4)/?
九(号,G沪九(勺以)
-adT5,
dx2!
&23!
8』
讣3怙(心以)P少"(心4)«08%(儿
+——-——+03&)-(加(5+卢-J
4!
贰5!
去5八
r*少班心以),
+正r^+対恥
h珈挈』+兰*4+几(挈“+斗
9x212a?
X&2'护
沪“山山)X223如(心以),?
=^7^+(kJ^^+0(X)+0d
P24了屮
5.设肓B近热传导方程的带枫三层差分格式:
卩
(1.15)
〔1+0)幻=&肚勿;+以JT,d
rr沪
其中牡。
・试计算其截断误差,并证明当“尹式曲截断误差的
阶最高屮
9(F)+W)).4
解2E:
u=L谀(Xj.tJ-[Lu]^^
=(]+刃臥亏以+1)-臥亏•以)_0以(©•,◎-班勺,f—)
-寻0(勺+1,氐+1)-盼】)
+%“)]_[字_0弩筠”
(1)?
["(勺/屮)・”(6、氐)]仪
=扣“)+『字+£空泸+。
(亠心Q
4>
=警斗%+。
(》
(2)-[以6・以)-"(©、仏1)2
1du(X"tJF护"(x,X)2
#[心以)-(心也)";+才■^赵+0(0
二竺&_r兰竺凹+0(F"
4>
dt2&2
⑶由第3题知3
7^[心•+],◎)-2心畑)+心■]九I)]衣
n
严(x“),8如(巧,如)zv2r2、厂"4、
»[—应—+(—+
r)———+O{z)+0(Th)+03)
代入得•
劭=(1+屛警+*答岀+。
(內胡字
_彳答出+00”[警如+(害询半2
2otox12ox
+Q/)+QC%2)+a;?
)]一[驾4一/:
;門,
胡吨一护勺答岀+如)+。
(朋+。
宀
5.2稳定行与收敛性
136
521
P2514
1.求证差分恪式(L1耳当一<&<1时恒稳定,当0<总<一时稳定的充要
22
证明:
3
b=器•[见储-釘+晴)+(1・&)(屹】-加;+吃)]
(113”
喟T;二川&(唸;-亦"+唸;)+(1-&)砧+1-2w)+«)_!
)]
一尸Q;;+(1+2同”;d-尸血炸=尸(1--(1-2r(l-砌
+尸(1■0)";“
A护1=BU^即严=CUJ
虫=(1+2尸0)Z-r空
B=[}-2r(l—&)]!
+r(l一&)S"
C=[(1+2尸&)Z-r笑]"[(1一2尸(1一&))Z+尸(1一&)S卜
禺=[(1+2尸[l・2r(l-&)+Nl-&)禺卜
1-2尸(1-&)+2尸(1一&)(:
0$丿加=2
1+2尸8-2尸&cosjTh
l—4r(l—&)sin20
=:
——-—卩
2
(1)当丄<&<1时,恒有1一4尸(l-&)sm2型<1+4尸Bsin?
匹
222及•
4Nl—&)sin2匹—I 22 若(1・13)稳定时<1+M~ l-4r(l-&)sin2匹 J- l+4r^sin^— 2 右不等式恒成立“ -l-d^sin2¥-M£(1+4“sin2今)<1一4尸(1-0)sin2字2 4r(l-20)sin? 理<2+Mt(1+4"sm? 昼) 5.2.2 P25W 2.证明如下格式恒稳定,4 1J,J,1」 (221〕 1X^j+]-Uj+i,叫―气1Wj_i一Mj—i 11.p 12r6r12t =细严+巧性: 吃】7犷+眄、+ 2护 证明: +(喑-碳1)*时1-M;"*仅;〔—口L)d=2(唸;-加严+段貰+肚二1_2诡+屹1)P 中 存訓: ;+(討咛+(卜丼;=(卜肌r+◎如+(护討 +(&_厂)八 C=[(|+r)/+(A-5疔【C-川十(加卜 01226122 1[谆+『)+(「护严[(|“+(占+护;]” ^)+(-^+^)2coV? * 三—i—r卩 (7+厂)+(—--)28$_/加 0122 51n■aj金 —--cos/TK-2rsin =Q 2+1cosJ朮+2尸sin, 662 TW>0有卩 -+—cosjTih-2rsin<—4--cos;^+2nn及 662662 2尸sin2-(―+—cos7曲)密(―+—cosj加)+2尸sin" 2\6J\6」,2 ..格式(2,21)11稳定.4 5.3Fourier方法147页 P265V 1•用Fourier方法证明差分格式(LI3)稳定的充要条件是.r<£(1-2&)・1 ((113) 叫=寻盹爲-加严+屹;)+(1-&)(晴】-2#+ )]> 0•寸.9 a J-W+1W一(巴蓋汀一岳罚隹回-ZW(冑—匚駅;{寸 ae 鼻心崔凹 a S-V电V宀训-—(冷丄)十钏-^ Twnwo汕-.-eQQ鼻訓2总亠寸十「w韻肯3®丄mW訓口目逹寸—7劄为PE+I: 少宥®丄¥丄 r* r*-wiw-E蓋理O般陋介二) 苟焉? i dKN(匕蓋)D 剧冷总丄二寸丄 少雹扌 €aH34 罚-丄)寺丄 JQQI宅sox^Iga+亍常工(II卞§)d岛—一一 JR-I竜s£(p丄)命+3aQI窗s£n鸟U2—3A 上(mt+alm◎岂富ID+(它「直+4—卞飞)一鱼击="鼻|一£住 3F工耳+第飞e—浅寻甩七总11)+ 4QH■監+曇—刍+/>飞)2佥: 旻¥J監无 祥甘+背’-仝也(电丄)+(呼十H肓—写邑」"曹 bT=/A芳+吃+b临一吃+M>0)T沪X八 稳定性的充要条件是网融—咖右” 证明’旷L-时=吃h-2叭+巧7)+手(屹]-屹J5卜 2« 0咕锻-¥咕唱A二e气严MM_2尹匸+評宀甥 +兰丿(評_/町叩)戒 "Z+L,1n-jtfsfi\也」”£」afi」皿\I_十、E, V-V=rv@-2+段)+——V住-S)+<7卯A 2k V魚-yk=2rv^(cos皿-1)+—3dn皿+ctpU2h V屏1=[1+2r(cos朋-1)+—涉,血曲+ 書]卩5 h Tcfe =[1-4rsin(0^/2)+—sin皿+: 刃卩。 h C? (护,£)二1一4nnX(曲/2)+—sin曲+d h C+—迪破1*荷足Lipsi^htiz连续dk 则G#—致有界等价于Gf(5=l-4rsiflC曲/幼一致有界4
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