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高数习题集附答案
第一章函数与极限
§函数
必作习题
P16-184⑸⑹(8),6,8,9,11,16,17
必交习题
一、一列火车以初速度v0,等加速度a出站,当速度达到v1后,火车按等速运动前进;从
出站经过T时间后,又以等减速度2a进站,直至停止。
(1)写出火车速度v与时间t的函数关系式;
⑵作出函数vv(t)的图形。
x
证明函数y飞在(,)内是有界的。
x1
三、判断下列函数的奇偶性:
⑴f(x)
2.1xsin
x
(2)f(X)
2X1
厂;
⑶f(x)In(xx21)。
四、证明:
若f(x)为奇函数,且在x0有定义,则f(0)0。
§初等函数
必作习题
P31-331,8,9,10,16,17
必交习题
一、设f(x)的定义域是[0,1],求下列函数的定义域:
(1)f(ex);
⑵f(lnx);
(3)f(arcsinx);
⑷f(cosx)。
、
(1)设f(x)x2ln(1x),求f(ex);
2
⑵设f(x1)x3x2,求f(x);
⑶设f(x)-,求f[f(x)],f{-}。
(x0,x1)
1xf(x)
三、设f(x)是x的二次函数,且f(0)1,f(x1)
f(x)2x,求f(x)。
四、设f(x)
2x,
x2,
x0
x0,g(x)
x2,x0
x,x0,求f[g(x)]。
§3数列的极限
必作习题
P423⑶⑷,4,5,6
必交习题一、写出下列数列的前五项
1■3
⑴xnsinn;
、已知xn
用定义证明:
limxn0
3n
1
(2)x
1
1
(2)xn2
如21
•.n2
2
.n2n
1
1
(1)n
⑶X2n1—
X2n1
o
2
n
n
§4函数的极限
必作习题
P501⑵⑷,2
(2),3,4,7,9
必交习题
2x2
一、用极限的定义证明:
lim仝24。
x1x1
、用极限的定义证明:
lim
x
6x5
x
精品文档
、研究下列函数在x
0处的左、右极限,并指出是否有极限:
⑴f(x)
|x|
1x
x
0
⑵f(x)0
x
0
1x2
x
0
四、用极限的定义证明:
lim(x26x10)2
x2
P54-553,4,5;
一、举例说明(当X大量。
§5无穷大与无穷小§6极限运算法则
必作习题
P631,2,3
必交习题
0时):
(1)两个无穷小的商不一定是无穷小;
(2)无界量不一定为无穷
、求下列数列的极限:
(i)lim
)=
⑵lim
n
5n1
6n1
5n
6n
⑶lim(1
n
1丄
927
(1)n
3n1
1
-)=
⑴妁
•、x1
x1
三、求下列函数的极限:
(xh)3x3
⑶lim(x(xa)x)=
x
(1x
3
3)=
x
四、设lim
x
(1a)x4bx32
2,求a,b。
§极限存在准则,两个重要极限必作习题
§8无穷小的比较
P711,2,4;P74
1,2,3,4
必交习题
(1)lim
x
.3
xsin=
x
求下列极限:
.2.2
sinxsina
⑵lim
xaxa
sin4x
1x1
⑷lim
x
⑸lim
x0
、用极限存在准则求证下列极限:
,am};证明:
(1)设aj0(i1〜m),Mmax{a1,
lim
n
n
a2
n
am
⑵设x晶,Xni3(1Xn)(n12)。
证明此数列收敛,并求出它的极限。
3Xn
、确定k的值,使下列函数与xk,当x0时是同阶无穷小:
⑴七1X;
⑵:
3x24x3;
⑶1tgx、1sinx。
四、已知妁1士亍1,求*和b.
三、用极限定义证明:
⑴若Xna(n
),则对任一自然数k,也有
Xnka(n);
⑵若Xna(n
),则|XnI|a|(n),
并举例说明反之未必成立;
⑶若IXnI0(n
),则Xn0(n)。
四、设数列{Xn}有界,又
limyn0,证明limx.yn
0。
§9函数的连续性与间断点
必作习题
P801,2,3
必交习题
0连续:
一、当x0时下列函数f(x)无定义,试定义f(0)的值,使f(x)在x
⑵f(x)
sinxsin丄。
x
(1)f(x)
、指出下列函数的间断点并判定其类型:
(1)f(x)
⑵f(x)
|x|(x21)
1
⑶f(x)ex1
x0。
ln(1x)
1x0
、确定a和b,使函数f(x)
exb
(xa)(x1)
有无穷间断点
0;有可去间断点x
四、设函数f(x)在(
证明:
若f(x)在x
)上有定义,且对任何x1,x2有f(XiX2)f(Xi)f(X2),0连续,则f(x)在(,)上连续。
§0连续函数的运算与初等函数的连续性§1闭区间上连续函数的性质必作习题
P85-861,2,3;P911,2,3
必交习题
一、欲使
2.
ax,x1
f(x)1,x1
2
In(bxx),x1在x1处连续,求a,b。
(1)limo
x0
ln(xa)Ina
x
、求下列极限:
1
(2)lim0(xex)x=
sin(x--)
(3)lim—
x-12cosx
3
精品文档
1
.2
⑷lim(cosx)sinx=x0
、证明方程x53x1至少有一根介于1和2之间。
四、设函数f(x)在区间[0,2a]上连续,f(0)f(2a),证明在区间[0,a]上至少存在点X。
使得f(Xo)f(Xoa)。
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