高考数学理科热点题型 30 空间点线面的位置关系.docx
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高考数学理科热点题型30空间点线面的位置关系
专题30空间点、线、面的位置关系
1.给出下列说法:
①梯形的四个顶点共面;②三条平行直线共面;③有三个公共点的两个平面重合;④三条直线两两相交,可以确定3个平面。
其中正确的序号是()
A.①B.①④
C.②③D.③④
【答案】A
【解析】因为梯形有两边平行,所以梯形确定一个平面,所以①是正确的;三条平行直线不一定共面,如直三棱柱的三条平行的棱,所以②不正确;有三个公共点的两个平面不一定重合,如两个平面相交,三个公共点都在交线上,所以③不正确;三条直线两两相交,可以确定的平面个数是1或3,所以④不正确,故选A。
2.如图所示的是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的是()
A
B
C
D
【答案】D
【解析】A中PS∥QR,故共面;B中PS与QR相交,故共面;C中四边形PQRS是平行四边形,所以共面,故选D。
3.已知空间中有三条线段AB,BC和CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是()
A.AB∥CD
B.AB与CD异面
C.AB与CD相交
D.AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
【答案】D
4.如图,α∩β=l,A、B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过()
A.点AB.点B
C.点C但不过点MD.点C和点M
【答案】D
5.已知α、β为平面,A、B、M、N为点,a为直线,下列推理错误的是()
A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂β
B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α
∩β=MN
C.A∈α,A∈β⇒α∩β=A
D.A、B、M∈α,A、B、M∈β,且A、B、M不共线⇒α、β重合
【答案】C
【解析】∵A∈α,A∈β,∴A∈α∩β。
由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A。
故α∩β=A的写法错误。
6.如图,正四棱柱ABCD—A1B1C1D1(底面为正方形,侧棱与底面垂直)中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()
A.15B.25
C
.35D.45
【答案】D
【解析】连接BC1,A1C1,则A1B与BC1所成角即为所求。
在△A1BC1中,
设AB=a,
则A1B=BC1=a,A1C1=a,
∴cos∠A1BC1
=1=45。
7.下列命题中,真命题的个数为()
①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点,那么这两个平面重合;
②两条直线可以确定一个平面;
③空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内;
④若M∈α,M∈β,α∩β=l,则M∈l.
A.1B.2
C.3D.4
【答案】B
8.已知A,B,C,D是空间四点,命题甲:
A,B,C,D四
点不共面,命题乙:
直线AC和BD不相交,则甲是乙成立的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若A,B,C,D四点不共面,则直线AC和BD不共面,所以AC和BD不相交;若直线AC和BD不相交,若直线AC和B
D平行时,A,B,C,D四点共面,所以甲是乙成立的充分不必要条件.
9.若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是()
A.l与l1,l2都不相交
B.l与l1,l2都相交
C.l至多与l1,l2中的一条相交
D.l至少与l1,l2中的一条相交
【答案】D
【解析】由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交.
10.已知长方体ABCDA1B1C1D1中,AA1=AB=,AD=1,则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()
A.64B.63
C.26D.36
【答案】A
【解析】连接AC,AB1(图略),由长方体性质可知AB1∥
DC1,所以∠AB1C就是异面直线B1C和C1D所成的角.由题知AC==2,AB1==,C
B1==2,所以由余弦定理得cos∠AB1C=-AC22AB1·CB1=64
,故选A.
11.平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()
A.32B.22
C.33D.13
【答案】A
12.已知P是△A
BC所在平面外的一点,M,N分别是AB,PC的中点.若MN=BC=4,PA=4,则异面直线PA与MN所成角的大小是()
A.30°B.45°
C.60°D.90°
【答案】A
【解析】取AC中点为O,连接OM,ON,则易证OM═∥12BC,ON═∥12PA,所以∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角.由MN=BC=4,PA=4,得OM=12BC=2,ON=12AP=2,则cos∠ONM=ON2+MN2-OM22×ON×MN=32,
所以∠ONM=30°,
即异面直线PA与MN所成角的大小是30°,故选A.
13.(已知正六棱锥SABCDEF的底面边长和高均为1,则异面直线SC与DE所成角的大小为________.
【答案】π4
14.若平面α,β相交,在α,β内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定________个平面.
【答案】1或4
【解析】如果这四
点在同一平面内,那么确定一个平面;如果这四点不共面,则任意三点可确定一个平面,所以可确定四个平面.
15.在图737中,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号).
①②③④
图737
【答案】②④
【解析】图①中,直线GH∥MN;图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;图③中,连接MG(图略),GM∥HN,因此GH与MN共面;图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面,所以在图②④中,GH与MN异面.
16.设a,b,c是空间的三条直线,下面给出四个命题:
①设a⊥b,b⊥c,则a∥c;
②若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c也是异面直线;
③若a和b相交,b和c相交,则a和c也相
交;
④若a和b共面,b和c共面,则a和c也共面。
其中真命题的个数是________。
【答案】0
【解析】因为a⊥b,b⊥c,所以a与c可能相交、平行或异面,所以①错;因为a,b异面,b,c异面,则a,c可能异面、相交或平行,所以②错;由a,b相交,b,c相交,则a,c可以异面、相交或平行,所以③错;同理④错,所以真命题的个数为0。
17.若两条异面直线所成的角为60°,则称这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连接正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有________对。
【答案】24
18.如图,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________。
【答案】
【解析】取圆柱下底面弧AB的另一中点
D,连接C1D,AD,
则因为C是圆柱下底面弧AB的中点,
所以AD∥BC,
所以直线AC1与AD所在角等于异面直线AC1与BC所成角,因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,
所以C1D⊥圆柱下底面,所以C1D⊥AD,
因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,
所以C1D=AD,
所以直线AC1与AD所成角的正切值为,
所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为。
19.在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60°。
(1)求四棱锥的体积。
(2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值。
(2)取AB的中点F,连接EF,DF,
因为E为PB中点,
所以EF∥PA。
所以∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或补角)。
在Rt△AOB中,
AO=AB·cos30°==OP,
所
以在Rt△POA中,PA=,
所以EF=62。
20.如图所示,已知二面角α-MN-β的大小为60°,菱形ABCD在平面β内,A,B两点在棱MN上,∠BAD=60°,E是AB的中点,DO⊥面α,垂足为O。
(1)证明:
AB⊥平面ODE;
(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值。
【解析】
(1)如图,因为DO⊥α,AB⊂α,所以DO⊥AB。
连接BD,由题设知,△ABD是正三角形,又E是AB的中点,所以DE⊥AB。
又DO∩DE=D,故AB⊥平面ODE。
(2)因为BC∥AD,所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角,即∠ADO是BC与OD所成的角(或其补角)。
由
(1)知,AB⊥平面ODE,所以AB⊥OE。
又DE⊥AB,于是∠DEO是二面角α-MN-β的平面角,从而∠DEO=60°。
不妨设AB=2,则AD=2,易知DE=。
在Rt△DOE中,DO=DE·sin60°=32。
连接AO,在Rt△AOD中,cos∠ADO=DOAD=2=34。
故异面直线BC与OD所成角的余弦值为34。
21.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点。
(1)求证:
AE与PB是异面直线;
(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值;
(3)求三棱锥A-EBC的体积。
所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为14。
(3)因为E是PC的中点,所以点E到平面ABC的距离为12PA=1,
VA-EBC=VE-ABC=13×3×1=33。
22.如图738所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问:
图738
(1)AM和CN是否是异面直线?
说明理由;
(2)D1B和CC1是否是异面直线?
说明理由.
23.如图739所示,在三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,D是PC
的中点.已知∠BAC=π2,AB=2,AC=2,PA=2.求:
图739
(1)三棱锥PABC的体积;
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.
【解析】
(1)S△ABC=12×2×2=2,
三棱锥PABC的体积为
V=13S△ABC·PA=13×2×2=43.
24.如图7311,在四棱锥OABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.
图7311
(1)求四棱
锥OABCD的体积;
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值.
【解析】
(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S=4,
所以四棱锥OABCD的体积V=13×4×2=83.
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