第二章关系与映射.docx
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第二章关系与映射
第二章关系与映射
1设集合A={1,2,3,4},A上的二元关系R={x,y|x,yA,且x_y},求R的关系图与关系矩阵
解R二{x,y|x,yA,且x_y}
珂1,1,2,1,3,1,4,1,2,2,3,2,4,2,3,3,4,3,4,4}
R的关系图如图2-1所示。
图2-1
~1
000
Mr
100
110
111一
22.在由n个元素组成的集合上,可以有多少种不同的二元关系?
若集合AB的元数分别
为|A|=m,|B|二n,试问从A到B有多少种不同的二元关系?
解因为一个由n个元素组成的集合A上,任何一个二元关系都是AA的子集,而
AA=A2中共有n个元素,取o个到n个元素可以组成2n子集,所以有2n个不同的关系。
而当|A|=m,|B|=n时,aB这个全关系中共有mn个元素,取0个到mn个元素组成的子集共有2mn个,因此从A到B共有2mn种不同的二元关系。
3.设集合A二{1,2,3,令,A上的二元关系分别为:
R珂1,1,1,2,2,4,31,3,3}
S二{1,3,2,2,3,2,4,4}
试用定义求R*S,S*R,R2,R4,S’,,并画出其关系图。
解R*S二{1,3,1,2,2,4,3,3,3,2}
S・R={1,1,1,3,2,4,3,4}
r2={1,1,1,2,1,4,3,1,32,3,3}
rJ1,1,1,3,2,1,3,3,4,2}
S4={2,2,2,3,3,1,4,4}
r」.SA={1,1,3,1,4,2,4,3}其关系图如图2-2所示。
图2-2
说明1.当用定义求复合关系时,先将左关系中每个序偶的第二元素作为中介元素,到右关系中每个序偶里找与其相同的第一元素,将这个元素去掉,用剩余两个元素组成新序偶成为复合关系中的元素
2.用定义求出的复合关系与逆关系,可以用关系矩阵来验证其正确性。
4.设集合A={x,y,z},集合B={a,b,c,d,e},r是集合a上的关系,S是A,B上的关系。
R={x,x,x,z,y,x,y,y,z,x,z,y,z,z}
S={x,a,x,d,y,a,y,c,y,e,z,b,z,d}
试验证
M(rs)
丄=Ms丄MR丄
-
1
0
11
-
'1
0
0
1
01
m
R=
1
1
0
Ms:
-
1
0
1
0
1
证
1
1
1一
i
-
0
1
0
1
0一
Mrs-MrMS
10110010
11010101
_11101010一
11010
10111
_J1111一
~111
101
011
T11
M(rs)==Mrs=o1
_111〕
101
011
M(RS)丄二Ms丄MR丄
。
5.图2-3所示的图形是集合
别写出对应的关系矩阵,并说明每种关系所具有的性质(自反性,对称性,反对称性,传递性)。
图2-3
100
010
解M§=.001_j
Ri具有自反性,对称性,反对称性与传递性。
100
011
Mr2=P11j
R2具有对称性与传递性。
010
001
Mr3=J00J
R3具有反对称性。
000
000皿艮八000」
R4具有对称性,反对称性与传递性。
说明本题判断关系所具有的性质,主要通过已知关系图与求出的关系矩阵进行,同时对于
比较难于判定的传递性,都可以一结合定义进行判定。
如果不破坏定义所要求的条件,可以认为满足定义要求,如对R4的判定。
5.5.下列关系是否具有如下性质:
自反性,对称性,反对称性,传递性?
⑴R二{x,y|x,yl,xy};
⑵R2={x,x|x_0,且x为实数};
⑶A上的恒等关系R3={x,x|x・a};
⑷A={1,2,3「,0}上的空关系'o
解⑴Ri具有反对称性与传递性;
⑵R2具有反对称性;
⑶R3具有自反性,对称性,反对称性与传递性;
⑷A上的空关系具有对称性,反对称性与传递性。
说明本题中的前两个小题均为无限集合,第⑶小题也未给定集合A的元数,这样不能得
到完整的关系图与关系矩阵。
但是,可以在草纸上作出部分元素的关系图与关系矩阵进行判
断,同时要充分利用定义要求,便具有该种性质。
第⑷小题,与上题中⑷题类型一致,只是元数大一些,结果应与上题⑷相同。
7.设R和R2是集合A上的任意关系,试证明或用反例推翻下列论断:
⑴若R1和R2都是自反的,则R1R2也是自反的;
⑵若R1和R2都是对称的,则R1R2也是对称的;
⑶若R1和R2都是反对称的,则R1R2也是反对称的;
⑷若R1和R2都是传递的,则R1R2也是传递的。
证⑴论断正确。
对任意aA,若R和R2都是A上的自反关系,
(a,a护R,(a,a)^R?
所以a,aR2,即R1R2也是自反的。
⑵论断不正确。
例如,设A二{x,y,z},当R={a,b,b,a,c,c},R2={b,c,c,b},Ri与R?
都是对
称的,但是R1只2={a,c,c,b}已不是对称的,故原论断不正确。
⑶论断不正确。
Ri門a,a,b,a,b,c,c,a}
例如,设集合A二{a,b,c},当R2二{a,b,b,bb,c,c,c}R与R2都是反对称的,但
是,Ri只2={(a,b)(b,b)(b,c)(c,b}已不是反对称的,(因为(b,c)(c,b)wRR2),故
故原论断不正确。
⑷论断不正确。
例如,设集合A={a,b,c},当Ri門a,b,b,c,a,c},R^{b,c,c,ab,a},
RiR^{a,a,a,c,b,a}不是传递的,因为b,a•R只2,a,c•RR,而b,c'R1R2,故原论断不正确。
证毕。
8•设R的关系图如图2-4所示,试画出r(R),S(R)和t(R)的关系图。
r(R)
d
c
s(R)
c
t(R)
图2-5
说明⑴对于r(R)的关系图,因为r(R)二R-IA,只要在r的关系图上对没有自回路的结点都添加上自回路,使可以画成R的自反闭包r(R)的关系图。
⑵对于s(R)的关系图,因为s(R)二R-R*,只要将R的关系图中所有单向弧都画成双向弧,便可以画成R的对称闭包s(R)的关系图。
n
t(R)=R"在
⑶对于t(R)的关系图,当R是有限集合上的关系时,'‘©画图时,如果R关系图中从结点x到结点y有一连串带箭头的头尾相接的弧相连着,则在R的关系图上添加
一条直接从x到y的弧,便可以画出t(R)的关系图,如图2-5中t(R)关系图上的a与c,a与d,a与e,b与d之间都应画一条有向弧。
但是这里要特别注意Gd两个结点,原有
两条c到d与d到c的有向弧,这属于总结规律中的特殊情形,作为结点c看成是两个结点
的重合,所以结点c处要画一条自回路,表示从结点c到结点c。
同理,结点d也要画一条
自回路。
9.设集合A={1,2,3,4},a上的关系R={(1,2,2,3)(3,1,4,4}求t(R)和sr(R),并写出它们的关系矩阵
解因为R={1,2,2,3,3,1,4,4}
2
所以R二{1,3,2,1,3,2,4,4}
R3={1,1,2,2,3,3,4,4}
R4={1,2,2,3,3,1,4,4}
t(R)=RR2R3R4
={(1,1,1,2,(1,3,2,1]2,2,2,3,(3,1)(3,2,3,3,4,4}
r(R)=RIA
={1,1,1,2,2,2,2,3,3,1,3,3,4,4}
(r(R))」二{1,1,1,3,2,1,2,2,3,2,3,3,4,4}
sr(R)=r(R)(r(R))」
二{1,1,1,2,1,3,2,12,2,2,3,3,1,3,2,3,3,4,4}
此题t(R)二sr(R),故其关系矩阵为
1110
1110
1110
Mt(R)=Msr(R)=-0001_
说明此题t(R)二sr(R),这纯属偶然情况,一般地,t(R)=sr(R)。
10.设R是集合A上的二元关系,若R是传递的,则r(R)也是传递的,而s(R)不一定是传递的。
证由§2.4定理1知,R是传递的,当且仅当t(R)=R,故要证r(R)是传递的,只需证明t(r(R))=r(R)。
因为t(r(R))=t(R「Ia)=t(R「R0)=R0)"(I^r°)
i
(2R0)"=uRj
下面用归纳法证明j出
当i-1时,左端=RR0=右端
k
(2R0)k=2Rj
假设当i=k时,命题成立,即')u
k
.,’(RuR0)2=(RuR0)k(R.R0)=uRj(R.R0)当i=kT时,i=o
由§2.2,习题7的结论,可得
k
R__RjR0
k1
Rj
j=0
kk
厂占(RR0)
k;:
1
R
j丄
k1
R
jo
:
:
i.
-R°=t(R)一Ia=R-lA=r(R)
Rj
故t(r(R))十jMR
即t(r(R))二r(R),故r(R)是传递的。
s(R)不一定是传递的。
例如设集合A二{a,b,c}上的二元关系R,当R二{a,b,b,c,a,c},r是传递的,而s(R)=R一R」={a,b,a,c,b,a,b,c,c,a,c,b}时,s(R)已经不是传递的。
证毕。
11.设R是集合A上的二元关系,判断下列命题是否正确?
⑴rt(R)=tr(R);⑵ts(R)=st(R)。
解⑴命题正确。
由于tr(R)=t(RIa),rt(R)=t(R)Ia,并利用R」a=1aR,以及对于一切
n
自然数n,iA=Ia,用数学归纳法的可以证明(r-Ia)"a-^R),所以
tr(R)=t(r(R))=t(R_.Ia)
=(RlA)一(R-lA)?
一(^-Ia)3-
=IA-R-R?
-R3-
=Ia-t(R)=r(t(R))=rt(R)。
⑵命题不正确。
可以证明st(R)匚ts(R)。
首先证明,当Ri二R?
时,则s(Ri)=s(R2)且t(Ri)=t(R2)。
这是因为,s(Ri)是对称的且s(Ri)二R1,但是R1=R?
,故s(RJ二R?
。
由s(R2)的定
义,s(R?
)是包含R?
的最小对称关系,故s(R)二s(R?
)。
同理可证,t(RO二t(R2)。
由对称闭包定义,有S(R)二R,利用上面证过的结论:
ts(R)二t(R),sts(R)二st(R)
再由教材P58例5
(2)可知,s(R)是对称的,ts(R)也是对称的,又根据§2.4定理1中
(2),ts(R)是对称的,当且仅当sts(R)=ts(R),因此ts(R)二st(R),即st(R)三ts(R)。
st(R)二ts(R)不一定成立。
例如,集合AH{a,b,c}上关系,
R珂a,b,b,c},则R2珂a,c},R3二,R’珂b,a,c,b},
t(R)=R一R2一R3
={a,b,b,c,a,c}
(t(R))」={b,a,c,b,c,a}
s(t(R))"(R)一t(R),
={a,b,a,c,b,ab,c,c,a,c,b}
而s(R)二R一RJ={a,b,b,a,b,c,c,b}
s(R)2{a,a,a,c,b,b,c,a,c,c}
(s(R))3二{a,b,b,c,b,a,c,b}。
t(s(R))=s(R)一s(R)2一s(R)3
珂a,a,a,b,a,c,b,a,b,b,b,c,c,a,c,b,c,c}
故s(t(R))不包含t(s(R))
12.设R|和R2是集合A上的二兀关系,试判断下列命题是否正确?
⑴r(R一R2)寸侃)rR);
⑵s(RR2)=s(Ri)s(R2);
⑶t(R-R2)-t(Rlt(R2)。
解⑴命题正确。
因为r(Ri".JR2)=RiR2ja=Ri".JIa'1」R2-•Ia=r(Ri)r(R2)。
⑵命题正确。
首先证明
任取a,b-(Ri_•R2),当且仅当b,a•R&,当且仅当b,a•R或b,a•&,当且仅当a,b・,或a,b・R2J,当且仅当a,b・R’R21,故证得
—.i丄_.i
(Ri_R2)=Ri■R2
而S(R-R2)~(Ri-R2)-(R-R2)
——i—.i
=Ri_R2_Ri-R2
—•i——•i
=(R-^_Ri)-(R2-)
二s(R)一sR)
⑶命题不正确,可以证明t(Ri-R2)=t(Ri)t(R2)。
因为Ri-R2-Ri,利用前一例题中⑵证明中证过的结论:
当Ri二R2时,则
t(Ri)二t(R2),有t(Ri-R2)二t(Ri)
同理,Ri-R^R2,有t(R-R2)JR)
故t(Ri一R2)=t(Ri)_•t(R2)
t(Ri)一t(R2)=t(Ri一R2)不一定成立。
例如,设集合A二{a,b,c},a上的二元关系Ri和R2分别为
R={a,b,b,c}R2={a,c,c,b}则
Ri2={a,c}Ri3二
R;珂a,b}R;二
t(RJ二尺一Ri2-Ri;={a,b,a,c,b,c}
t(R2)讥-R;-R;二{a,b,a,c,c,b}t(Ri)t(R2)-{a,b,a,c,b,c,c,b}
而Ri_R2={a,b,a,c,b,c,c,b}
(RiR2)={a,c,a,b,b,b,c,c}
(Ri一R2)3={a,b,a,c,b,c,c,b}
————2——3
t(RiR2)=(R"iR2)-(R"i-R2)-(Ri-R2)
显然,
={a,b,a,c,b,b,b,c,c,b,c,c}t(R1)_.t(R2)不包含t(R1R2)
13.设集合A二{a,b,c,d,e},a上的关系关于等价关系R的等价类为:
Mi={a,b,c},M2={d,e},试求:
⑴等价关系R:
⑵写出关系矩阵Mr;
⑶画出关系图。
解⑴因为等价关系R具有自反性,所以
Ia={a,a,b,b,c,c,d,d,e,e}。
IaR
又因为a,b,c在同一个等价类中,所以{(a,b),(b,a),(a,c),(c,a)(b,c),(c,b)}5R
再因为d,e在同一个等价类中,所以{(d,e),(e,d)}乂R
因此R=1A-{(a,b),(b,a),(a,c),(c,a),(b,c),(c,b),(d,e),(e,d)}。
图2-6
14.设Ri和R2是非空集合A上的等价关系,下列各式哪些是A上的等价关系?
哪些不
是A上的等价关系?
举例说明:
⑴AA-Ri;⑵Ri-R2;
2
⑶R;⑷r(R1-R2);
⑸RlR2
解⑴AA-Ri不是A上的等价关系。
例如,设集合A二{a,b},A上的关系R^{a,a,b,b}
AA={a,a,a,b,b,a,b,b}
AA-R二{a,b,b,a}不具AA-Ri
不是A上的等价关系。
⑵R1-R2不是A上的等价关系。
例如,设集合A二{a,b,C},
R={a,a,a,b,b,a,b,b,b,c,c,b,c,c}
R2-{a,a,b,b,c,c}
R-R2={a,b,b,a,b,c,c,b}不具有自反性和传递性,因此Ri-r2不是A上的等价关系。
⑶r2是集合A上的等价关系。
2因为R是集合A上的等价关系,任取A,有a,a•A,而且有a,a•Ri只1二Ri,所以R2在集合A上是自反的。
任取a,b・A,若a,b•R2,则存在A,使得a,c•R且c,b•R,因为Ri是
22对称的,有c,a•尺且b,c•尺,于是b,a•Ri,所以Ri是对称的。
任取a,b,c・A,若a,b•R2且b,c•R;,贝y存在d,e・A,分别使得
a,dRi,且d,bR
b,eR,且e,cRi
由于Ri是传递的,元素a与b之间以d为中介元素,b与c之间以e为中介元素,有
a,bRi,b,c•R,再根据关系的复合,有a,c•RRi=Ri2所以Ri2是可传递的,
2
故R是集合A上的等价关系
⑷r(R1-R2)不是集合A上的等价关系。
由⑵题所举例子,R1-R2二{a,b,b,a,b,c,c,b}
有r(R1iR2)=(RliR2)-IA
巩a,a,a,b,b,a,b,b,b,c,c,b,c,c}
r(Ri-R2)不具有传递性,所以r(Ri-R2)不是集合A上的等价关系。
⑸RiR2是集合A上的等价关系。
对于任意a・A,有a,a•R且a,aR2,故a,aRiR2,因此RiR2是自反的
任取a,bA,若(a,b)•Ri,Ri是对称的,必有(b,a),Ri,而R2是自反的,对于
a,bA,有(a,a)R2,(b,b)R2,由(a,b)Ri与(b,b)R2,得(a,b)RiR2,由
(b,a)・R|与(a,a),R2,得(b,a),RiR2,因此RiR2是对称的。
任取a,b,c・A,若(a,b)・Ri,(b,c)•Ri,Ri是传递的,必有(a,c)・Ri。
由于
R2是自反的,由
(a,b)R与(b,b)FR,得(a,b)RR?
(b,c)R1与(c,c)R?
,得(b,c)RiR2(a,c)乏Ri与(c,c)eR2,得(a,c)eRR
故RiR2是集合A上的等价关系。
15.设集合A={1,2,3,4},A上的四个半序关系分别为:
R={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(3,3),(4,4)}
R2二{(1,1),(1,2),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}
R3二{(1,1),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(4,4)}
哪个具有良序关系?
2-7所示。
R={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)}试分别画出它们的哈斯图,并判断起其中哪个具有序关系?
解集合上的半序关系的哈斯图如图
图2-7
其中关系图R2与所有元素都排在链上,即任意两个元素之间都有关系存在,所以R2和
&都是序关系。
由于R2和R4中每一非空子集都有最小元,所以也都是良序关系。
说明此题中的阿拉伯数字已经失去了它们在实数集中的大小关系,应该把它们看成四个
不同符号。
16.设集合A珂2,3,4,6,8,12,24},R为A上的整除关系。
⑴画出半序集(A,R)的哈斯图;
⑵写出集合A中的最大元,最小元,极大元,极小元;
⑶写出A的子集B二{2,3,6,12}的上界,下界,最小上界,最大下界。
解⑴半序集(A,R)的哈斯图如图2-8所示。
图2-8
⑵集合A中的最大兀是24,无最小兀,极大兀也是24,极小兀是2和3。
⑶集合B的上界是12与24,无下界,最小上界是12,无最大下界
说明最大元与极大元的区别在于,最大元是一个集合中的最大”者,若有则是唯一的;而
极大元则是集合中的元素没有比它“大”的,可能不唯一。
对于最小元与极小元具有同样情
况。
这里把“大”字用弓I号引起来,因为实际上不一定在研究数与数之间的大小关系,而是在研究某种半序关系。
17.设R是集合A上的半序关系,且BA,试证明R'Rr(BB)是b上的半序关系。
证对于B任意,因为BA,故A,而R是A上的半序关系,贝UR在A上具有自反性,于是(a,a)・R,且(a,a)・BB,这样可得
(a,a)R一(BB)二R
即R•在B上是自反的。
任取a,b•B,且a=b,若(a,b)•R•,可得(a,b)•R且(a,b)・BB,因为r具有反对称性,必有(b,ab'R,故(b,aVR,即R在B上具有反对称性。
对于任意a,b,c・B,因为BA,故a,b,c・A,若(a,b)•R且(b,c)•R而R=R-(BB),故(a,b)R一(BB),(b,c)R一(BB),由(a,b)R一(BB),可得(a,b)•R且(a,b)・BB,即当(a,b)・R同时R且bR。
同理,当(b,c)•R-(BB),也有(b,c)•R同时bR且c•R。
因为R在A上具有传递性,由(a,b)•R且(b,c)•R,得(a,c),R。
又a,b,c,B,故(a,c)・BB,因此(a,c)・R-(BB)二R:
r,满足传递性,所以R是B上的半序关系。
18设集合A二{0,1,2,3,4,5},B二{%,
映射二定义为二(2n)=0,;「(2n1)=1,(n=0,1,2),C={2,3}
解因为二:
A>B,A二{O,1,2,3,4,5},B二{0,1},当aA时
"▽(2n)=0当门=
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