第一讲《等差数列》教学设计.docx

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第一讲《等差数列》教学设计

《等差数列》教学设计

一．设计思想

数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创新能力的载体，新课程倡导：

强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能在让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验。

基于以上认识，在设计本节课时，教师所考虑的不是简单告诉学生等差数列的定义和通项公式，而是创造一些数学情境，让学生自己去发现、证明。

在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题解决问题的能力，培养了他们的创造力。

这正是新课程所倡导的数学理念。

本节课借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。

二．教材分析

本节课选自高中数学人教版必修五第二章第二节，第一课时的内容。

数列是高中数学重要内容之一，它不仅在生活中有着广泛的实际应用，而且在学生的学习过程中也起着承前启后的作用。

一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。

而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。

同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。

等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。

三．学情分析

教学内容针对的是高二的学生，经过高中一年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻，但也可能有一部分学生的基础较弱，所以在授课时要从具体的生活实例出发，使学生产生学习的兴趣，注重引导、启发学生的积极主动的去学习数学，从而促进思维能力的进一步提高。

四．教学目标

1、知识目标：

理解等差数列概念，掌握等差数列的通项公式，了解等差数列与一次函数的关系。

2、能力目标：

培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。

在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3、情感目标：

通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

让学生体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，提高学生数学猜想、归纳的能力。

五．教学重难点

教学重点：

等差数列的概念及通项公式的推导。

教学难点：

对等差数列概念的理解及学会通项公式的推导及应用。

六．教法分析与学法建构

数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动共同发展的过程，结合学生的实际情况，及本节内容的特点，我采用的是“问题教学法”，其主导思想是以探究式教学思想为主导，由教师提出一系列精心设计的问题，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识又发展智能的目的。

教学手段：

多媒体计算机和传统黑板相结合。

通过计算机模拟演示，引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件。

这样做，可以使学生有兴趣地学习，注意力也容易集中，符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。

而保留使用黑板则能让学生更好的经历整个教学过程。

七．课前准备

学生预习，教师做好课件并安装好。

八．教学过程

（一）创设情景，引入概念

上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——通项公式、递推公式、图象法等.这些方法从不同的角度反映数列的特点。

下面我们看这样一些例子。

情景活动：

1、发现规律

（1）我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：

0,5,10,15,20,25，…

（2）2008年北京奥运会，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：

kg）：

48，53，58，63

（3）水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。

如果一个水库的水位18m，自然放水每天水位下降2.5m，最低降至5m。

那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：

m）

18，15.5，13，10．5，8，5．5

（4）我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。

按照单利计算本利和的公式是：

本利和=本金

（1+利率

存期）

例如，按活期存入10000元，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末本利和分别是：

如下表（假设5年既不加存款也不取款，且不扣利息税）

各年末本利和（单位：

元）

时间

年初本金（元）

年末本利和（元）

第1年

10000

10072

第2年

10000

10144

第3年

10000

10216

第4年

10000

10288

第5年

10000

10360

师：

上面的三个数列又分别有什么规律呢？

生：

对于数列①：

，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5；

对于数列②：

…，从第2项起，每一项与前一项的差都等于__5___；

对于数列③：

，从第2项起，每一项与前一项的差都等于-2.5；

对于数列④：

，从第2项起，每一项与前一项的差都等于72；

师：

归纳上面数列的共同特征：

（d是常数），

，

，

师：

满足这种特征的数列很多，我们为这样的数列取一个什么名字呢？

生：

等差数列。

提出课题《等差数列》

设计意图：

通过上述具体实例，由学生观察数列特点，引出等差数列的概念，进而对问题进行总结，初步认识了等差数列的特征，为后面概念学习建立了基础，激发学生的求知欲。

又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。

2、总结提高

师：

给出等差数列文字叙述的定义（学生认真阅读课本相关概念，找出关键字，教师板书）：

一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d为公差，a1为数列的首项。

对定义进行分析，强调：

同一个常数；

从第二项起。

设计意图：

通过学生自己阅读课本，找出关键字，提高学生的阅读水平和思维概括能力，学会抓重点。

师：

这样的数列在生活中的例子，谁能再举几个？

（学生举例练习）

抢答：

判断以下数列是否为等差数列，是等差数列的找出公差。

（1）9，8，7，6，5，4，……；√d=-1　

（2）1，0，1，0，1，……×

（3）0.70，0.71，0.72，0.73，0.74……；√d=0.01

（4）0，0，0，0，0，0，…….;√d=0（5）1，2，3，2，3，4，……；×

其中第一个数列公差小于0,第二个数列公差大于0,第三个数列公差等于0

由此教师强调：

公差可以是正数、负数，也可以是0。

学生观察数列总结出公差为正时，数列是递增的，公差为负时，数列是递减的。

公差为0时，数列是常数列，如5，5，5，5，……

设计意图：

利用变式教学法进行教学，进一步加深了学生对等差数列概念的理解，使学生对公差有了新的理解，极大地提高了教学效率和学生的学习效果。

（二）推进概念，发现性质

师生活动：

师:

如果在

与

中间插入一个数A，使

，A，

成等差数列数列，那么A应满足什么条件？

学生思考后回答，因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：

A-a=b-A所以就有

教师引出等差中项的概念，并板书：

设三个数

成等差数列，则A叫a与b的等差中项。

同时有A-a=b-A,

教师强调：

（1）上面式子可用来求等差中项。

（2）等差数列中的任意连续三项都构成等差数列

。

例如：

数列1，3，5，7，9，11，13…

5是3和7的等差中项，1和9的等差中项：

9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。

可以看出，

从而可得出，在一等差数列中，若m+n=p+q则

设计意图：

通过问题式教学，让学生参与到知识的形成过程中，并且引领学生进行更深入的探究，提高了学生的学习水平，从而获得数学学习的成就感。

（三）探究通项公式

师生活动：

师：

对于一个数列，我们最关心的是每一项，而这就要求我们能知道它的通项公式。

下面一起来研究等差数列的通项公式。

师：

若一个数列

是等差数列，它的公差是d，那么数列

的通项公式是什么？

启发学生：

（归纳、猜想）可用首项与公差表示数列中任意一项。

学生：

即：

即：

即：

…

由此可得：

师：

从第几项开始归纳的？

生：

第二项，所以n≥2。

师：

那么n=1时呢？

生：

当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式

师：

很好!

我们把这种方法称为归纳法。

还有没有其他的推导方法？

学生：

还可用下面的方法

当

时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式

师：

我们把这种方法称为迭代法。

还有其他的推导方法吗？

启发：

看方下面的式子

……

有何规律？

学生：

可以用累加的方法，左边累加后得

，右边累加的

共

个即

故

师：

这种方法叫累加法。

总结等差数列通项公式的推导方法：

递推归纳法；迭代归纳法；累加法。

补充：

通项公式中含有

四个量，其中

为基本量，当

确定后，通

项公式就确定了。

设计意图：

首先通过师生合作交流，总结出一般等差数列的通项公式，让学生体会到从特殊到一般的数学思想方法。

然后引导学生进行理性分析与推导，从而得出公式，让学生参与到课堂中，最后教师点评，提高了学生对关键问题的认知水平。

这种教学方法不仅加深了学生对等差数列通项公式的理解，而且在无形之中培养了学生善于观察，努力思考的习惯。

（四）通项公式的应用

例1：

（1）求等差数列8，5，2…的第20项？

（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？

如果是，是第几项？

分析：

（1）中求第20项，需要知道什么呢？

——首项和公差

（2）中怎样判断-401是不是数列中的项呢？

——先求通项公式，再判断是否存在正整数n，使得-401=

成立。

答案：

（1）

；

（2）-401是这个数列的第100项；

（2）

。

例2、已知数列的通项公式为

，其中

是常数，且

，那么这种数列是否一定是等差数列？

如果是，其首项与公差是什么？

师:

如何分析题意？

生:

由等差数列定义，要判定

是不是等差数列，只要看

是不是一个与n无关的常数就行了。

（学生叙述，教师板书）

解：

取数列

中的任意相邻两项

与

∴

，

它是一个与n无关的常数，所以

是等差数列，且公差为

。

在通项公式中，令

得

，

所以这个等差数列的首项是

，公差是

。

师:

数列的通项公式给出的是

与

之间的一种关系，一个

都对应着一个

，这与我们以前学过的什么内容类似？

由本例得到什么结论？

（引发学生联想、归纳，学生很自然会想到一次函数）

生:

与一次函数内容类似，即an与n之间的关系是一次函数的关系；由本例的结论可知，如果an是关于n的一次函数，那么数列{an}是等差数列。

师：

本例题的逆命题，是否也成立？

请同学们课下自己完成证明。

由上面例题实际上可以得出证明数列{an}是等差数列的一种方法。

设计意图：

通过具体问题，分析等差数列通项公式中的四个量，已知什么？

求什么？

怎么求？

提高学生分析问题，解决问题的能力。

此外，在教师的启发式教学下，学生很自然的建立了等差数列通项公式和一次函数之间的联系。

（五）通项公式的图象

在直角坐标系中作通项公式为

的数列的图像，并观察图像：

生：

该数列的图象是一群孤立的点。

且都落在直线

的图象上。

师：

由图归纳出等差数列通项公式的图象的特点。

生：

公差不为零的等差数列的图象是直线上的均匀排开的一群孤立的点。

注：

当

时，

，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行x轴的均

匀公布的一群孤立点。

设计意图：

多媒体教学在课堂上的应用，激发了学生的数学探究热情，通过学生动手作图，并加以对比，让学生体会数列与函数的内在关系。

（六）课时小结

提出问题：

这节课你学到了什么？

教师鼓励学生积极回答，答不完整的没有关系，其它同学补充。

以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。

并用多媒体把学生的归纳用一张表展示出来。

①等差数列定义和通项公式:

（n∈

）

②等差中项：

A叫a与b的等差中项

④等差数列

的图象是直线

上的均匀排开的一群孤立的点。

设计意图：

通过学生自己小结，使学生对自己所学知识有更深刻的认识。

九、板书设计

等差数列

一．概念

1．等差数列

2．等差中项

二．通项公式与性质

3．

4．

公式推导过程

三．等差数列与一次函数的关系

四．例题

五．小结

十、作业设计

（一）阅读作业：

通读教材，复习巩固，等差数列的通项公式的求法。

（二）书面作业：

课本45页习题2.2组A1，2，3，4题。

（三）弹性作业：

模仿等差数列的定义，思考有没有“等和数列”.如果有，请探究它的定义、通项公式和相关的性质。

设计意图：

作业是课堂的延续，除了检验学生对本节课知识的理解程度，还在于引导学生对本课知识的进一步探究思考。

作业形式多样性体现了新课程“不同的人在数学上得到不同的发展”的教育理念。