人教版数学九年级下册第二十七章相似导学案.docx
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人教版数学九年级下册第二十七章相似导学案
27.1图形的相似
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.理解并掌握两个图形相似的概念;了解成比例线段的概念,会确定线段的比.
2.知道相似多边形的主要特征,即:
相似多边形的对应角相等,对应边的比相等;会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似,并会运用其性质进行相关的计算.
【重点难点】
1.相似图形的概念与成比例线段的概念;相似多边形的主要特征与识别.
2.成比例线段概念;运用相似多边形的特征进行相关的计算.
知识概览图
相似多边形的特征:
对应角相等,对应边的比相等
图形的相似
判断两个多边形相似:
对应角相等,对应边的比相等
比例线段:
有四条线段,其中两条线段的比与另两条线段的比相等,称这四条线段是比例线段
新课导引
【生活链接】如下图所示,有用同一张底片洗出的不同尺寸的照片,也有一辆汽车和它的模型,这些都给我们以形状相同的图形的形象.
【问题探究】这种形状相同的图形叫做相似图形,两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的.那么相似的图形具有哪些性质呢?
教材精华
知识点1相似图形
我们把形状相同的图形叫做相似图形.两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的.例如:
如图27-1所示的几组图形都是形状相同、大小不同的图形,因此这几组图形分别都是相似图形.
当两个图形的形状相同、大小也相同时,这两个图形也是相似图形,它们是特殊的相似图形:
全等形.例如:
如图27-2所示,△ABC与△A′B′C′的形状相同,并且大小也相同,因此这两个三角形相似,并且这两个三角形全等.
拓展所谓“形状相同”,就是与图形的大小、位置无关,与摆放角度、摆放方向也无关.有些图形之间虽然只有很小的差异,但也不能认为是“形状相同”.
知识点2比例线段
对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等,如(即ab=bc),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.
(1)式子也可以写成a:
b=c:
d,通常这里的a叫做第一比例项,b叫做第二比例项,c叫做第三比例项,d叫做第四比例项.
(2)有时在中,b=c,例如:
,这时我们把b叫做a,d的比例中项,此时b2=ad.
(3)在式子的两边同时乘以bd,得ad=cb,在与比例有关的计算中,我们常通过上述变形转化字母之间的关系.
拓展通常情况下,四条线段a,b,c,d的单位应该一致,但有时为了计算方便,a,b的单位一致,c,d的单位一致也可以.
知识点3相似多边形
对应边成比例,对应角相等的两个多边形叫做相似多边形.
拓展在多边形中,只有当“对应边成比例”、“对应角相等”这两个条件同时成立时,才能说明两个多边形是相似多边形.
知识点4相似多边形的性质
相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.
例如:
若△ABC与△A′B′C′相似,则∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,.
拓展如果两个多边形满足对应角相等,对应边的比相等,那么这两个多边形相似.
知识点5相似比
相似多边形对应边的比称为相似比.
拓展相似多边形面积的比等于相似比的平方.
规律方法小结
(1)相似的两个图形之间大小、方向、位置可以相同,也可以不同,但它们的形状必须相同.如:
两张大小不同的世界地图或中国地图;两面大小不同的中国国旗;同一底片、尺寸不同的两张照片.有些图形之间很相像,但不相似,如:
哈哈镜中人的形象与本人不相似;农历十五晚上的月亮与十六晚上的月亮虽然很相像,但并不相似.
(2)学习本节知识时要充分运用转化思想,即把求证的线段之间的关系转化为易证、易求的线段间的另一种关系,同时,对于给出两条线段的比而没有指明两条线段的大小关系时,要分类讨论.
探究交流当相似比为1时,相似的两个图形之间有什么关系?
点拨相似比为1的两个图形是全等形.
课堂检测
基本概念题
1、下列多边形中,一定相似的是()
A.两个矩形B.两个菱形
C.两个正方形D.两个平行四边形
2、下列命题中,正确的是()
A.相似多边形是全等多边形B.不全等的多边形不是相似多边形
C.全等多边形是相似多边形D.不相似的多边形可能是全等多边形
3、如果线段a是线段b、线段c的比例中项,b=3,c=12,那么线段a的长是多少?
基础知识应用题
4、如果两地的实际距离为750m,图上距离为5cm,那么这张图的比例尺是多少?
5、已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似,且AB:
BC:
CD:
DA=20:
15:
9:
8,四边形A′B′C′D′的周长为26,求四边形A′B′C′D,的各边长.
综合应用题
6、等腰梯形ABCD与等腰梯形A′B′C′D′,相似,AD=BC,∠A=65°,AB=8cm,A′B′=6cm,AD=5cm,求A′D′的长及梯形A′B′C′D′各内角的度数.
7、已知相同时刻的物高与影长成比例,如果高为1.5m的竹竿的影长为2.5m,那么影长为30m的旗杆的高度为()
A.20mB.16m
C.18mD.15m
探索与创新题
8、已知线段AB=8,C为线段AB的黄金分割点,求AC:
BC的值.
体验中考
在同一时刻,身高为1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米,一棵大树的影长为4.8米,则这棵树的高度为()
A.4.8米B.6.4米
C.9.6米D.10米
学后反思
附:
课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析根据相似多边形的定义,两个矩形只满足对应角相等,而对应边不一定成比例;两个菱形只满足对应边成比例,而对应角也不一定相等;两个正方形的对应边成比例,对应角都是90°,一定相似;两个平行四边形的对应边不一定成比例,对应角也不一定相等.故选C.
【解题策略】判断两个多边形是否相似,必须同时具备对应角相等、对应边的比相等,这两个条件缺一不可.
2、分析全等多边形是特殊的相似多边形.故选C.
【解题策略】如果两个多边形全等,则一定相似,但是如果两个多边形相似,则不一定全等.
3、分析四条线段a,b,c,d是成比例线段,若第二比例项和第三比例项是两条相同的线段,即a:
b=b:
c,则把b叫做a和c的比例中项.将a:
b=c:
d变形,可得到bc=ad,当a:
b=b:
c时,有b2=ac.
解:
∵a是b,c的比例中项,且b=3,c=12,
∴a2=bc=3×12=36,∴a=±6.
∵a是线段,∴线段a的长是6.
【解题策略】如果线段a是线段b,c的比例中项,那么a2=bc.(其中a,b,c均为正数)
4、分析图的比例尺是一种比例关系,是图上距离与实际距离的比,通常写成1:
x的形式,也就是说,图上的1cm相当于实际的xcm,如某图的比例尺为1:
40000,就是说图上的1cm相当于实际的40000cm,即400m.
解:
∵750m=75000cm,∴5:
75000=1:
15000,
即这张图的比例尺是1:
15000.
【解题策略】不论是将图形放大还是缩小,比例尺都是图上距离与实际距离的比.
5、分析根据四边形ABCD各边的比为20:
15:
9:
8可得四边形A′B′C′D′各边的比也为20:
15:
9:
8,再根据四边形A′B′C′D′的周长为26,可求出各条边的长.
解:
∵四边形ABD与四边形A′B′C′D′相似,且AB:
BC:
CD:
DA=20:
15:
9:
8,
∴A′B′:
B′C′:
C′D′:
D′A′=20:
15:
9:
8.
又∵四边形A′B′C′D′的周长为26,
∴A′B′=26×=10,B′C′=26×=7.5,
C′D′=26×=4.5,D′A′=26×=4,
即四边形A′B′C′D′的各边长分别为A′B′=10,B′C′=7.5,C′D′=4.5,D′A′=4.
【解题策略】相似多边形的相似比等于对应边的比.
6、分析充分利用相似多边形的对应角相等、对应边成比例的性质和等腰梯形的性质来解题.
解:
∵等腰梯形ABCD与等腰梯形A′B′C′D′相似,
∴∠A=∠A′=65°,,
即,∴A′D′=(cm),
∴B′C′=cm,∠A′=∠B′=65°,
∴∠C′=∠D′=180°-65°=115°.
【解题策略】本题是一道综合性题目,在运用相似多边形性质的同时也运用了等腰梯形的性质.
7、分析本题考查比例线段的基本性质.因为同一时刻物高与影长成比例,所以,∴旗杆的高度==18(m).故选C.
【解题策略】解决此类问题时,也可以根据比例式列出方程,通过解方程求出旗杆的高度.
8、分析黄金分割点指的是线段上的某一点,它将线段所分成的两条线段中,较长的一条线段是较短的一条线段和整条线段的比例中项,其中较长的一条线段与整条线段的比值叫做黄金比,黄金比的近似值约为0.618,准确值是.
解:
当AC>BC时,AC=AB=4(-1),
∴BC=AB-AC=8-4(-1)=12-4=4(3-),
∴AC:
BC=4(-1):
4(3-)=.
当AC<BC时,BC=AB=4(-1),
∴AC=AB-BC=4(3-),
∴AC:
BC=4(3-):
4(-1)=.
【解题策略】对于给出两条线段的比,而没有指明两条线段的大小关系时,要分类讨论.
体验中考
分析设这棵树的高度为x米,则1.6:
0.8=x:
4.8,解得x=9.6.故选C.
【解题策略】相同时刻的物高与影长成比例.
27.2相似三角形应用举例
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.进一步巩固相似三角形的知识.
2.能够运用三角形相似的知识,解决不能直接测量物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题)等的一些实际问题.
3.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型,进一步了解数学建模的思想,培养分析问题、解决问题的能力.
【重点难点】
1.运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度.
2.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题(如何把实际问题抽象为数学问题).
知识概览图
相似三角形的应用:
灵活把握题意,把实际问题转化为数学问题,运用数学建模思想和数形结合思想灵活地解决问题.
新课导引
【生活链接】王芳同学跳起来把一个排球打在离她2m远的地上,然后球反弹碰到墙上,如果王芳跳起击排球时的高度是1.8m,排球落地点离墙的水平距离是6m,假设排球一直沿直线运动,那么排球能碰到墙上离地多高的地方?
【问题探究】由题意可得到如右图所示的图形.已知AB=1.8m,AP=2m,PC=6m,PQ⊥AC,那么如何求DC的长呢?
由已知可证Rt△APB∽Rt△CPD,由相似三角形的性质可知,即,所以DC=5.4(m).利用相似三角形的知识还能解决许多实际问题.
教材精华
知识点应用相似三角形的知识解决实际问题
相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用,这一应用是建立在数学建模思想和数形结合思想的基础上,把实际问题转化为数学问题,通过求解数学问题达到解决实际问题的目的.
拓展求线段的长度时,可根据已知条件并利用相似建立未知线段的比例关系式,从而求出所求线段的长.运用数学建模思想把生活中的实际问题抽象为数学问题,通过求解数学问题达到解决实际问题的目的.
课堂检测
基础知识应用题
1、如图27—38所示,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标P,在近岸取点Q和S,使点P,Q,S共线且直线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点
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- 人教版 数学 九年级 下册 第二 十七 相似 导学案
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