初中数学三角函数综合练习题集.docx

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初中数学三角函数综合练习题集

三角函数综合练习题　

一．选择题（共10小题）

1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（　　）

A．2B．C．D．

2．如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（　　）

A．B．C．D．

3．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（　　）

A．msin35°B．mcos35°C．D．

4．如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（　　）

A．B．C．D．

5．如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（　　）

A．5sin36°米B．5cos36°米C．5tan36°米D．10tan36°米

6．一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（　　）

A．米2B．米2C．（4+）米2D．（4+4tanθ）米2

7．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（　　）

A．160mB．120mC．300mD．160m

8．如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于（　　）

A．8（）mB．8（）mC．16（）mD．16（）m

9．某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：

2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：

sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（　　）

A．8.1米B．17.2米C．19.7米D．25.5米

10．如图是一个3×2的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，△ABC的顶点都是网格中的格点，则cos∠ABC的值是（　　）

A．B．C．D．

二．解答题（共13小题）

11．计算：

（﹣）0+（）﹣1﹣|tan45°﹣|

12．计算：

．

13．计算：

sin45°+cos230°﹣+2sin60°．

14．计算：

cos245°﹣+cot230°．

15．计算：

sin45°+sin60°﹣2tan45°．

16．计算：

cos245°+tan60°•cos30°﹣3cot260°．

17．如图，某办公楼AB的后面有筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．

（1）求办公楼AB的高度；

（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．

（参考数据：

sin22°≈，cos22°，tan22）

18．某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：

sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）

19．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．

（1）求AB段山坡的高度EF；

（2）求山峰的高度CF．（1.414，CF结果精确到米）

20．如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得C的仰角为45°，已知OA=200米，山坡坡度为（即tan∠PAB=），且O，A，B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及此人所在的位置点P的垂直高度．（侧倾器的高度忽略不计，结果保留根号）

21．如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：

的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：

sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．

22．如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：

≈1.414，≈1.732）

23．某型号飞机的机翼形状如图，根据图示尺寸计算AC和AB的长度（精确到0.1米，≈1.41，≈1.73）．

2016年12月23日三角函数综合练习题初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．（2016•）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（　　）

A．2B．C．D．

【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．

【解答】解：

如图：

，

由勾股定理，得

AC=，AB=2，BC=，

∴△ABC为直角三角形，

∴tan∠B==，

故选：

D．

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．

2．（2016•）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（　　）

A．B．C．D．

【分析】连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可．

【解答】解：

∵D（0，3），C（4，0），

∴OD=3，OC=4，

∵∠COD=90°，

∴CD==5，

连接CD，如图所示：

∵∠OBD=∠OCD，

∴sin∠OBD=sin∠OCD==．

故选：

D．

【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．

3．（2016•）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（　　）

A．msin35°B．mcos35°C．D．

【分析】根据正弦定义：

把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．

【解答】解：

sin∠A=，

∵AB=m，∠A=35°，

∴BC=msin35°，

故选：

A．

【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义．

4．（2016•）如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（　　）

A．B．C．D．

【分析】先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形角和定理得出∠EBC=36°，∠BEC=72°，AE=BE=BC．再证明△BCE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式=，求出AE，然后在△ADE中利用余弦函数定义求出cosA的值．

【解答】解：

∵△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，

∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°，

∵D是AB中点，DE⊥AB，

∴AE=BE，

∴∠ABE=∠A=36°，

∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°，

∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠C=72°，

∴∠BEC=∠C=72°，

∴BE=BC，

∴AE=BE=BC．

设AE=x，则BE=BC=x，EC=4﹣x．

在△BCE与△ABC中，

，

∴△BCE∽△ABC，

∴=，即=，

解得x=﹣2±2（负值舍去），

∴AE=﹣2+2．

在△ADE中，∵∠ADE=90°，

∴cosA===．

故选C．

【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形角和定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中．证明△BCE∽△ABC是解题的关键．

5．（2016•）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（　　）

A．5sin36°米B．5cos36°米C．5tan36°米D．10tan36°米

【分析】根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米，在Rt△ABD中，利用∠B的正切进行计算即可得到AD的长度．

【解答】解：

∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米，

∴DC=BD=5米，

在Rt△ADC中，∠B=36°，

∴tan36°=，即AD=BD•tan36°=5tan36°（米）．

故选：

C．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．

6．（2016•）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（　　）

A．米2B．米2C．（4+）米2D．（4+4tanθ）米2

【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．

【解答】解：

在Rt△ABC中，BC=AC•tanθ=4tanθ（米），

∴AC+BC=4+4tanθ（米），

∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+4tanθ（米2）；

故选：

D．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问题的关键．

7．（2016•）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（　　）

A．160mB．120mC．300mD．160m

【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，然后利用三角函数求解即可求得答案．

【解答】解：

过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，

在Rt△ABD中，BD=AD•tan30°=120×=40（m），

在Rt△ACD中，CD=AD•tan60°=120×=120（m），

∴BC=BD+CD=160（m）．

故选A．

【点评】此题考查了仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键．

8．（2016•）如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于（　　）

A．8（）mB．8（）mC．16（）mD．16（）m

【分析】设MN=xm，由题意可知△BMN是等腰直角三角形，所以BN=MN=x，则AN=16+x，在Rt△AMN中，利用30°角的正切列式求出x的值．

【解答】解：

设MN=xm，

在Rt△BMN中，∵∠MBN=45°，

∴BN=MN=x，

在Rt△AMN中，tan∠MAN=，

∴tan30°==，

解得：

x=8（+1），

则建筑物MN的高度等于8（+1）m；

故选A．

【点评】本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角或俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角；并与三角函数相结合求边的长．

9．（2016•）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：

2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：

sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（　　）

A．8.1米B．17.2米C．19.7米D．25.5米

【分析】作BF⊥AE于F，则FE=BD=6米，DE=BF，设BF=x米，则AF=2.4米，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF=5米，AF=12米，得出AE的长度，在Rt△ACE中，由三角函数求出CE，即可得出结果．

【解答】解：

作BF⊥AE于F，如图所示：

则FE=BD=6米，DE=BF，

∵斜面AB的坡度i=1：

2.4，

∴AF=2.4BF，

设BF=x米，则AF=2.4x米，

在Rt△ABF中，由勾股定理得：

x2+（2.4x）2=132，

解得：

x=5，

∴DE=BF=5米，AF=12米，

∴AE=AF+FE=18米，

在Rt△ACE中，CE=AE•tan36°=18×0.73=13.14米，

∴CD=CE﹣DE=13.14米﹣5米≈8.1米；

故选：

A．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键．

10．（2016•模拟）如图是一个3×2的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，△ABC的顶点都是网格中的格点，则cos∠ABC的值是（　　）

A．B．C．D．

【分析】根据题意可得∠D=90°，AD=3×1=3，BD=2×2=4，然后由勾股定理求得AB的长，又由余弦的定义，即可求得答案．

【解答】解：

如图，∵由6块长为2、宽为1的长方形，

∴∠D=90°，AD=3×1=3，BD=2×2=4，

∴在Rt△ABD中，AB==5，

∴cos∠ABC==．

故选D．

【点评】此题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．

二．解答题（共13小题）

11．（2016•模拟）计算：

（﹣）0+（）﹣1﹣|tan45°﹣|

【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【解答】解：

原式=1+3×﹣︳1﹣︳

=1+2﹣+1

=．

【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．

12．（2016•顺义区二模）计算：

．

【分析】要根据负指数，绝对值的性质和三角函数值进行计算．注意：

（）﹣1=3，|1﹣|=﹣1，cos45°=．

【解答】解：

原式===2．

【点评】本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．注意：

负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．

13．（2016•天门模拟）计算：

sin45°+cos230°﹣+2sin60°．

【分析】先把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．

【解答】解：

原式=•+（）2﹣+2×

=+﹣+

=1+．

【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．

14．（2016•黄浦区一模）计算：

cos245°﹣+cot230°．

【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．

【解答】解：

原式=（）2﹣+（）2

=﹣+3

=．

【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．

15．（2016•校级模拟）计算：

sin45°+sin60°﹣2tan45°．

【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算．

【解答】解：

原式=×+2×﹣2×1

=+3﹣2

=．

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值．特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．

sin30°=；cos30°=；tan30°=；

sin45°=；cos45°=；tan45°=1；

sin60°=；cos60°=；tan60°=．

16．（2016•虹口区一模）计算：

cos245°+tan60°•cos30°﹣3cot260°．

【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．

【解答】解：

原式=（）2+×﹣3×（）2

=1．

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．

17．（2016•）如图，某办公楼AB的后面有筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．

（1）求办公楼AB的高度；

（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．

（参考数据：

sin22°≈，cos22°，tan22）

【分析】

（1）首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°=，求出即可；

（2）利用Rt△AME中，cos22°=，求出AE即可

【解答】解：

（1）如图，

过点E作EM⊥AB，垂足为M．

设AB为x．

Rt△ABF中，∠AFB=45°，

∴BF=AB=x，

∴BC=BF+FC=x+25，

在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，

tan22°=，

则=，

解得：

x=20．

即教学楼的高20m．

（2）由

（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45．

在Rt△AME中，cos22°=．

∴AE=，

即A、E之间的距离约为48m

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tan22°=是解题关键

18．（2016•）某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：

sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）

【分析】过C点作AB的垂线交AB的延长线于点D，通过解Rt△ADC得到AD=2CD=2x，在Rt△BDC中利用锐角三角函数的定义即可求出CD的值．

【解答】解：

作CD⊥AB交AB延长线于D，

设CD=x米．

在Rt△ADC中，∠DAC=25°，

所以tan25°==0.5，

所以AD==2x．

Rt△BDC中，∠DBC=60°，

由tan60°==，

解得：

x≈3．

即生命迹象所在位置C的深度约为3米．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

19．（2016•）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．

（1）求AB段山坡的高度EF；

（2）求山峰的高度CF．（1.414，CF结果精确到米）

【分析】

（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF的长；

（2）先在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可．

【解答】解：

（1）作BH⊥AF于H，如图，

在Rt△ABF中，∵sin∠BAH=，

∴BH=800•sin30°=400，

∴EF=BH=400m；

（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=，

∴CE=200•sin45°=100≈141.4，

∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．

答：

AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度与坡角问题：

坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：

m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：

i═tanα．

20．（2016•）如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得C的仰角为45°，已知OA=200米，山坡坡度为（即tan∠PAB=），且O，A，B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及此人所在的位置点P的垂直高度．（侧倾器的高度忽略不计，结果保留根号）

【分析】在直角△AOC中，利用三角函数即可求解；在图中共有三个直角三角形，即RT△AOC、RT△PCF、RT△PAE，利用60°、45°以及坡度比，分别求出CO、CF、PE，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决．

【解答】解：

作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，

在Rt△AOC中，AO=200米，∠CAO=60°，

∴CO=AO•tan60°=200（米）

（2）设PE=x米，

∵tan∠PAB==，

∴AE=3x．

在Rt△PCF中，

∠CPF=45°，CF=200﹣x，PF=OA+AE=200+3x，

∵PF=CF，

∴200+3x=200﹣x，

解得x=50（﹣1）米．

答：

电视塔OC的高度是200米，所在位置点P的铅直高度是50（﹣1）米．

【点评】考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题以及坡度坡角问题，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．

21．（2016•）如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：

的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：

sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．

【分析】如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M，先在RT△BDN中求出线段BN，在RT△ABM中求出AM，再证明四边形CMBN是矩形，得CM=BN即可解决问题．

【解答】解：

如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M．

在RT△BDN中，BD=30，BN：

ND=1：

，

∴BN=15，DN=15，

∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，

∴四边形CMBN是矩形，

∴CM=BM=15，BM=CN=60﹣15=45，

在RT△ABM中，tan∠ABM==，

∴AM=60，

∴AC=AM+CM=15+60．

【点评】本题考查解直角三角形、仰角、坡度等概念，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，记住坡度的定义，属于中考常考题型．

22．（2016•）如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：

≈1.414，≈1.732）

【分析】如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．通过解直角△AF