八年级整式 复习教案.docx
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八年级整式复习教案
重庆市万州区丁阳中学八年级数学上册《第十五章整式》复习教案人教新课标版
课型:
复习
本章视点
一、课标要求与内容分析
1.本章的课标要求是:
(1)了解整式的概念,会进行简单的整式运算;
(2)会进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式相乘);(3)会推导来法公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2,(a+b)2=a2+2ab+b2,了解公式的几何背景,并能进行简单计算;(4)会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过两次)进行因式分解(指数是正整数).
2.经历探索事物之间的数量关系,建立初步的符号感,发展抽象思维,在具体情境中进一步理解用字母表示数的意义,能分析简单问题的数量关系并用代数式表示,理解代数式的含义,能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义,体会现实世界与数学的联系,理解整式的含义,掌握整式的加减运算的实质,即去括号、合并同类项,并会求代数式的值,掌握整式的乘法运算及其逆运算——因式分解;掌握整式的除法运算(单项式除法和多项式除以单项式).
3.本章的重点是代数式和整式的加、减、乘、除运算,以及因式
分解.难点是规律的探求及根据代数式推断代数式反映的规律.
二、学法指导
学习本章要注意从具体情境中探索数量关系和变化规律,培养和发展自己的符号感.要注重对运算法则的探索过程的理解.另外,不仅要注意观察和实验,还要注意归纳、类比、转化等思想方法的运用,因为整式的运算是解方程、解不等式的重要基础,这一知识在初中数学体系中起着承上启下的作用,所以,本章学习整式的运算等内容,会给我们研究数量及其关系带来极大的方便,应引起充分的重视.
章末总结
知识网络图示
基本知识提炼整理
一、基本概念
1.代数式
用基本的运算符号(指加、减、乘、除、乘方及今后要学的开方)把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.
2.单项式
数字与字母的积,这样的代数式叫做单项式.
(1)单独的一个数或一个字母也是单项式.
(2)单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.
(3)一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
3.多项式
几个单项式的和叫做多项式.
(1)在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中,不含字母的项叫做常数项.
(2)一般地,多项式里次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数.
4.整式
单项式和多项式统称整式.
5.同类项
所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项,几个常数项也是同类项.
6.合并同类项
把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.
7.整式乘法的平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2.
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
8.整式乘法的完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2=a2-2ab+b2.
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍.
二、基本运算法则
1.整式加减法法则
几个整式相加减,通常用括号把每一个整式括起来,再用加减号连接,然后去括号,合并同类项.
2.合并同类项法则
合并同类项时,把系数相加,字母和字母指数不变.
3.同底数幂的乘法法则
am·an=am+n(m,n是正整数).
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
4.幂的乘方法则
(am)n=amn(m,n是正整数).
幂的乘方,底数不变,指数相乘.
5.积的乘方的法则
(ab)m=ambm(m是正整数).
积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
6.多项式来法法则
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
7.单项式与多项式相来的乘法法则
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
8.添括号法则
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.
9.同底数幂的除法法则
am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数,并且m>n).
同底数幂相除,底数不变,指数相减.
10.单项式除法法则
单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.
11.多项式除以单项式的除法法则
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.
三、因式分解常见的方法
1.提公因式法.
2.公式法.
3.分组分解法.
4.式子x2+(p+q)x+pq的因式分解.
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
专题总结及应用
一、整式的加减
在整式的加减中,基本可以分为以下几种类型题.
1.不含括号的直接合并同类项
例1
(1)合并同类项3x2-4xy+4y2-5x2+2xy-2y2;
(2)化简5xy-
x3y2-
xy+
x3y2-
xy-x3y-5.
解:
(1)原式=(3-5)x3+(-4+2)xy+(4-2)y2
=-2x2-2xy+2y2.
(2)原式=(5-
)xy+(-
)x3y2-x3y-5
=-4x3y2-x3y-5.
2.有括号的情况
有括号的先去括号,然后再合并同类项,根据多重括号的去括号法则,可由里向外,也可由外向里逐层推进,在计算过程中要注意符号的变化.
例2化简.
(1)3x-[5x+(3x-2)];
(2)1-3(2ab+a)十[1-2(2a-3ab)].
解:
(1)原式=3x-(5x+3x-2)
=3x-8x+2
=2-5x.
(2)原式=1-6ab-3a+(1-4a+6ab)
=1-6ab-3a+1-4a+6ab
=2-7a.
3.先代入后化简
例3已知A=x2+xy+y2,B=-3xy-x2,求2A-3B.
解:
2A-3B
=2(x2+xy+y2)-3(-3xy-x2)
=2x2+2xy+2y2+9xy+3x2
=5x2+11xy+2y2.
二、求代数式的值
1.直接求值法
先把整式化简,然后代入求值.
例4先化简,再求值.
3-2xy+2yx2+6xy-4x2y,其中x=-1,y=-2.
解:
3-2xy+2yx2+6xy-4x2y=3+4xy-2x2y.
当x=-1,y=-2时,
原式=3+4×(-1)×(-2)-2×(-1)2·(-2)
=3+8+4
=15.
2.隐含条件求值法
先通过隐含条件将字母取值求出,然后化简求值.
例5若单项式-3a2-mb与bn+1a2是同类项,求代数式m2-(-3mn+3n2)+2n2的值.
(分析)先通过-3a2-mb与bn+2a2是同类项这一条件,将m,n的值求出,然后再化简求值.
解:
∵-3a2-mb与bn+1a2是同类项,
∴
∴
m2-(-3mn+3n2)+2n2
=m2+3mn-3n2+2n2
=m2+3mn-n2,
当m=0,n=0时,原式=02+3×0×0-02=0
例6已知
+(b+1)2=0,求5ab2-[2a2b-(4ab2-2a2
b)]的值.
(分析)利用
+(b+1)2=0,求出a,b的值,因为绝对值和平方都具有非负性,如果两个非负数之和等于0,那么它们每一个都是0.
解:
∵
+(b+1)2=0,且
≥0,(b+1)2≥0,
∴
∴
5ab2-[2a2b-(4ab2-2a2b)]
=5ab2-(2a2b-4ab2+2a2b)
=5ab2-2a2b+4ab2-2a2b
=9ab2-4a2b
当a=2,b=-1时,
原式=9×2×(-1)2-4×22×(-1)=18+16=34.
3.整体代入法
不求字母的值,将所求代数式变形成与已知条件有关的式于,如倍差关系、和差关系等等.
例7已知a=
x+19,b=
x+18,c=
x+17,求a2+b2+c2-ab-ac-bc的值.
解:
∵a=
x+19,b=
x+18,c=
x+17,
∴a-b=1,b-c=1,a-c=2.
而a2+b2+c2-ab-ac-bc
=
(2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc)
=
[(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)]
=
[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2].
当a-b=1,b-c=1,a-c=2时,
原式=
(12+12+22)=
×6=3.
例8已知x2+4x-1=0,求2x4+8x3-4x2-8x+1的值.
(分析)由x2+4x-1=0就目前知识水平求x的值是不可能的,但是,我们可以把x2+4x化成一个整体,再逐层代入原式即可.
解:
∵x2+4x-1=O,∴x2+4x=1.
∴2x4+8x3-4x2-8x+1
=2x2(x2+4x)-4(x2+4x)+8x+1
=2x2·1-4×1+8x+1
=2x2+8x-3
=2(x2+4x)-3
=2×1-3
=-1.
例9已知x2-x-1=0,求x2+
的值.
解:
∵x2-x-1=0,∴x≠0.
∴x-
=1,
∴x2+
=(x-
)2+2·x·
=12+2=3.
4.换元法
出现分式或某些整式的幂的形式时,常常需要换元.
例10已知
=6,求代数式
+
的值.
(分析)给定的代数式中含a,b两个字母,一般地,只有求出a,b的值,才能求出代数式的值,本题显然此方法行不通.
由于题中
与
互为倒数,故将
看成一个整体.
解:
设
=q,则
∴原式=2q+
.
又∵q=6,∴原式=2×6+
=12
.
三、探索规律
1.探索自然数间的某种规律
设n表示自然数,用关于n的等式表示出来.
例11从2开始连续的偶数相加,它们和的情况如下表:
加数的个数n
和s
1
2=1×2
2
2+4=6=2×3
3
2+4+6=12=3×4
4
2+4+6+8=20=4×5
…
…
(1)s与n之间有什么关系?
能否用一个关系式来表示?
(2)计算2+4+6+8+…+2004.
(分
析)观察上表,当n=1时,s=1×2,即第一个数字是1,第二个数字是2;当n=2时,s=2+4=2×3,第一个数字是2,第二个数字是3,依此类推,发现第一个数字是n,第二个数字比n大1.
解:
(1)s与n的关系式为s=n(n+1).
(2)当n=
=1002时,
s=1002×(1002+1)=1005006.
即2+4+6+8+…+2004=1005006.
小结观察是解题的前提条件,当已知数据有很多组时,需要仔细观察,反复比较,才能发现其中的规律.
2.探索图形拼接的规律
例12一张正方形的桌子可坐4人,按照如图15-20所示的方式将桌子拼在一起,试回答下列问题.
(1)两张桌子拼在一起可以坐几人?
三张桌子拼在一起可以坐几人?
n张桌子拼在一起可以坐几人?
(2)一家酒楼有60张这样的正方形桌子,按上图方式每4张拼成一个大桌子,则60张桌子可以拼成15张大桌子,共可坐多少人?
(3)在
(2)中若每4张桌子拼成一个大的正方形,共可坐多少人?
(4)对于这家酒楼,哪种拼桌子的方式可以坐的人更多?
解:
(1)两张桌子拼在一起可坐2+2+2=6(人);
三张桌子拼在一起可坐2+2+2+2=8(人);
n张桌子拼在一起可坐
=2(n+1)=2n+2(人).
(2)按上图方式每4张桌子拼成一个大桌子,那么一张大桌子可坐2×4+2=10(人).
所以,15张大桌子可坐10×15=150(人).
(3)在
(2)中,若每4张桌子拼成一个大的正方形桌子,则一张大正方形桌子可坐8人,15张大正方形桌子可坐8×15=120(人).
(4)由
(2)(3)比较可知,该酒楼采用第一种拼摆方式可以坐的人更多.
小结寻找和探索规律是人类认识世界的重要环节,找到规律并利用规律不仅在数学上,而且在人类社会的发展过程中都具有非常重要的意义.
3.探索数据所反映的规律
收集数据,观察数据所反映的规律,并作出推测.
例13填表并回答下列问题.
x
0.01
0.1
1
10
100
1000
1-
(1)观察上表,描述所求得的这一列数的变化规律;
(2)当x非常大时,
的值接近什么数?
解:
(1)表格里从左到右依次填-39999,-399,-3,0.96,0.9996,0.999996.随着x值变大,代数式的值变得越来越大.
(2)当x非常大时,
的值接近于零.
四、因式分解
1.直接因式分解
例14把下列各式分解因式.
(1)x2y2-9;
(2)4x2-12xy+9y2;
(3)x2-5x-6;(4)m2-m-20.
解:
(1)x2y2-9=(xy+3)(xy-3).
(2)4x2-12xy+9y2=(2x-3y)2.
(3)x2-5x-6=(x-6)(x+1).
(4)m2-m-20=(m-5)(m+4).
2.先提公因式.然后再利用公式法分解因式
例15把下列各式分解因式.
(1)x3-4x2y+4xy2;
(2)x3-x;
(3)m3-3m2-4m.
解:
(1)x3-4x2y+4xy2=x(x2-4xy+4y2)=x(x-2y)2.
(2)x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1).
(3)m3-3m2-4m=m(m2-3m-4)=m(m-4)(m+1).
3.分组分解法分解因式
实质上,分组分解法分解因式是对因式分解方法的一种综合运用.
例16把下列各式分解因式.
(1)x2-4(x-1);
(2)(am+bn)2+(an-bm)2;
(3)a2-2ab+b2-c2;(4)x2-2xy+y2-x+y-2.
解:
(1)x2-4(x-1)=x2-4x+4=(x-2)2.
(2)(am+bn)2+(an-bm)2
=a2m2+2abmn+b2n2+a2n2-2abmn+b2m2
=a2m2+b2n2+a2n2+b2m2
=(a2m2+a2n2)+(b2n2+b2m2)
=a2(m2+n2)+b2(m2+n2)
=(a2+b2)(m2+n2).
(3)a2-2ab+b2-c2=(a2-2ab+b2)-c2
=(a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c).
(4)x2-2xy+y2-x+y-2=(x2-2xy+y2)-(x-y)-2
=(x-y)2-(x-y)-2=(x-y-2
)(x-y+1).
4.用换元法分解因式
例17把多项式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120分解因式.
解:
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120
=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]-120
=(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120
设x2+5x=y,则
原式=(y+4)(y+6)-120
=y2+10y+24-120
=y2+10y-96
=(y+16)(y-6)
=(x2+5x+16)(x+6)(x-1).
【说明】
(1)在分解这个多项式时,(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)化简时注意两两相乘时合理组合,创设出以(x2+5x)为主的多项式,进而整理.
(2)采用把x2+5x作为一个整体(即换元法)的方法进一步因式分解.
(3)要注意到x2+5x+16不能再分解,而(x2+5x-6)则可以继续分解.
本章综合评价
(一)
一、训练平台
1.若3a2bn-1与-
am+1b2是同类项,则()
A.m=3,n=2B.m=2,n=3C.m=3,n=-
D.m=1,n=3
2.a,b,c都是有理数,那么a-b+c的相反数是()
A.b-a-cB.b+a-cC.-b-a+cD.b-a+c
3.下列去括号正确的是()
A.2y2-(3x-y+3z)=2y2-3x-y+3zB.9x2-[y-(5z+4)]=9x2-y+5z+4
C.4x+[-6y+(5z-1)]=4x-6y-5z+1D.-(9x+2y)+(z+4)=-9x-2y-z-4
4.若am=3,an=2,则am+n等于()
A.5B.6C.8D.9
5.一个两位数,十位上的数字是a,个位上的数字是b,用代数式表示这个两位数是.
6.图15-21中阴影部分的面积为.
7.计算:
(-0.5)2003·22004=.
8.计算:
(-ab)3·(ab2)2=.
9.计算:
(m+2n)(m-2n)=,(7x-3y)()=9y2-49x2,(x-2)(x+4)=,(3x+2y)2
=(3x-2y)2+.
10.化简.
(1
)-(m-2n)+5(m+4n)-2(-4m-2n);
(2)3(2x+1)(2x-1)-4(3x+2)(3x-2).
11.分解因式.
(1)m2n(m-n)2-4mn(n-m);
(2)(x+y)2+64-16(x+y).
12.已知a,b是有理数,试说明a2+b2-2a-4b+8的值是正数.
二、探究平台
1.从左到右的变形,是因式分解的为()
A.ma+mb-c=m(a+b)-c
B.(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3
C.a2-4ab+4b2-1=a(a-4b)+(2b+1)(2b-1)
D.4x2-25y2=(2x+5y)(2x-5y)
2.下列各式中,能用平方差公式分解因式的是()
A.-a2+b2B.-a2-b2C.a2+b2D.a3-b3
3.如果(x-2)(x-3)=x2+px+q,那么p,q的值是()
A.p=-5,q=6B.p=1,q=-6
C.p=1,q=6D.p=5,q=-6
4.(-a+b+c)(a+b-c)=[b-()][b+()].
5.若x-y=2,x2-y2=10,则x+y=.
6.若x+y=10,xy=24,则(x-y)2=.
7.若m2+2(k-1)m+9是完全平方式,则k=.
8.已知(x2+mx+n)(x2-3x+2)的展开式中不含x2项和x项,则m=,n=.
9.若(x-2)0=1,则x应满足的条件是.
10.化简.
(1)20002-1999×2001;
(2)(2x+7)(3x-4)+(3x+5)(3-2x).
11.分解因式.
(1)(a-2b)2-16a2;
(2)x3-x2-4x+4.
12.若3x3-x=1,则9x4+12x3-3x2-7x+2004的值等于多少?
三、交流平台
1.
(1)计算.
①(a-1)(a+1);②(a-1)(a2+a+1);
③(a-1)(a3+a2+a+1);④(a-1)(a4+a3+a2+a+1).
(2)根据
(1)中的计算,你发现了什么规律?
用字母表示出来;
(3)根据
(2)中的结论,直接写出下题的结果.
①(a-1)(a9+a8+a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1)=;
②若(a-1)·M=a15-1,求M;
③(a-b)(a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5)=;
④(2x-1)(16x4+8x3+4x2+2x+1)=.
2.如图15-22所示,有一个形如四边形的点阵,第1层每边有两个点,第2层每边
有三个点,第3层每边有四个点,依此类推.
(1)填写下表;
层数
1
2
3
4
5
6
各层对应的点数
所有层的总点数
(2)写出第n层对应的点数;
(3)写出n层的四边形点阵的总点数;
(4)如果某一层共有96个点,你知道它是第几层吗?
(5)有没有一层点数为100?
(二)
一、训练平台
1.下列各式中,计算正确的是()
A.27×27=28B.25×22=210C.26+26=27D.26+26=212
2.当x=
时,3(x+5)(x-3)-5(x-2)(x+3)的值等于()
A.-
B.-18C.18D.
3.已知x-y=3,x-z=
,则(y-z)2+5(y-z)+
的值等于()
A.
B.
C.-
D.0
4.设n为正整数,若a2n=5,则2a6n-4的值为()
A.26B.246C.242D.不能确定
5.(a+b)(a-2b)=.
6.(2a+0.5b)2=.
7.(a+4b)(m+n)=.
8.计算.
(1)(2a-b2)(b2+2a);
(2)(5a-b)(-5a+b).
9.分解因式.
(1)1-4m+4m2;
(2)7x3-7x.
10.先化简,再求值.
[(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x,其中x=3,y=-1.5.
二、探究平
台
1.分解因式(a-b)(a2-ab+b2)-ab(b-a)为()
A.(a-b)(a2+b2)B.(a
-b)2(a+b)C.(a-b)3D.-(a-b)3
2.下列计算正确的是()
A.a8÷a2=a4(a≠0)B.a3÷a4=a(a≠0)
C.a9÷a6=a3(a≠0)D.(a2b)3=a6b
3.下列各题是在有理数范围内分解因式,结果正确的是()
A.x4-0.1=(x2+0.1)(x2-0.1)B.-x2-16=(-x+4)(-x-4)
C.2xn+x3n=xn(2+x3)D.
-x2=
(1+2x)(1-2x)
4.分解因式:
-a2+4ab-4b2=.
5.如果x2+2(m-3)x+25能用公式法分解因式,那么m的值是.
6.(3x3+3x)÷(x2+1)=.
7.1.22222×9-1.33332×4=.
8.计算.
(1)
;
(2)
.
9.分解因式.
(1)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m);
(2)x4-81x2y2.
10.
+x(1+
),其中x=
-1.
三、交流平台
1.一条水渠其横断面为梯形,如图15-23所示,根据图中的长度求出横断面面积的代数式,并计算当a=2,b=0.8时的面积.
2.已知多项式x3+kx+6有一个因式x+3,当k为何值时,能分解成三个一次因式的积?
并将它分解.
3.如果x+y=0,试求x3+x2y+xy2+y3的值.
4.试说明无论m,n为任何有理数,多项式4m2+12m+25+9n2-24n的值为非负数.
参考答案
一、1.D2.A3.B4.B5.10a+b6.
ab7.-28.-a5b7
9.m2-4n2-3y-7xx2+2x-824xy
10.
(1)原式=26n+12m;
(2)原式=13-24x2.
11.解:
(1)原式=m2n(m-n)2+4mn(m-n)=mn(m-n)[m(m-n)+4]
=mn(m-n)(m2-mn+4).
(2)原式=(x+y-8)2.
12解:
a2+b2-2a-4b+8
=(a2-2a+1)+(b2-4b+4)+3
=(a-1)2+(b-2)2+3.
∵(a-1)2≥0,(b-2)2≥0,
∴(a-1)2+(b-2)2+3>0,
∴原式>0,
即a2+b2-2a-4b+8的正
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