单级移动倒立摆建模及串联PID控制器设.docx
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单级移动倒立摆建模及串联PID控制器设
题目:
单级移动倒立摆建模及串联PID控制器设计
图示为一个倒立摆装置,该装置包含一个小车和一个安装在小车上的倒立摆杆。
由于小车在水平方向可适当移动,因此,控制小车的移动可使摆杆维持直立不倒。
初始条件:
要求完成的主要任务:
(包括课程设计工作量及其技术要求,以及说明书撰写等具体要求)
(1)研究该装置的非线性数学模型,并提出合理的线性化方法,建立该装置的线性数学模型-传递函数(以u为输入,
为输出);
(2)要求系统输出动态性能满足
试设计串联PID校正装置。
(3)用Matlab对校正后的系统进行仿真分析,比较校正装置加在线性化前的模型上和线性化后的模型上的时域响应有何区别,并说明原因。
(4)对上述任务写出完整的课程设计说明书,说明书中必须进行原理分析,写清楚分析计算的过程及其比较分析的结果,并包含Matlab源程序或Simulink仿真模型,说明书的格式按照教务处标准书写。
时间安排:
任务
时间(天)
指导老师下达任务书,审题、查阅相关资料
2
分析、计算
2
编写程序
1
撰写报告
2
论文答辩
1
指导教师签名:
年月日
系主任(或责任教师)签名:
年月日
摘要
倒立摆系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统,是进行控制理论数学及开展各种控制实验的理想实验平台。
在稳定性控制问题上,倒立摆既具有普遍性又具有典型性。
倒立摆系统作为一个控制装置,结构简单、价格低廉,便于模拟和数字实现多种不同的控制方法,作为一个被控对象,它是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的快速系统,只有采用行之有效的控制策略,才能使其稳定。
倒立摆系统可以用多种理论和方法来实现其稳定控制,如PID、自适应、状态反馈、智能控制、模糊控制及人工神经元网络等多种理论和方法,都能在倒立摆系统控制上得到实现,而且当一种新的控制理论和方法提出以后,在不能用理论加以严格证明时,可以考虑通过倒立摆装置来验证其正确性和实用性。
本次课程设计通过对给定的物理模型进行分析和求解,进而使用自动控制中相关理论,设计串联校正装置,时系统相应符合题目给定的要求。
在设计过程中,利用牛顿运动定律建模,基于PID控制的思想,运用试探法整定PID参数,设计PID控制器控制倒立摆系统的稳定,最后,通过MATLAB软件进行仿真验证设计的控制器是否合理。
关键词:
倒立摆PID控制MATLAB仿真
1单级移动倒立摆系统建模
1.1倒立摆系统建模
根据设计任务书要求分析,对单级移动倒立摆系统建模如下。
如图1.1,对于一长度为l,质量为m的单倒立摆,用铰链安装在质量为M的小车上,小车受电机操纵,在水平方向施加控制力u,相对参考坐标系产生位移x。
要求建立该系统的线性数学模型——传递函数(以u为输入,θ为输出)。
图1-1倒立摆模型
设小车瞬时位置为
,摆心瞬时位置为
。
在水平方向,由牛顿第二定律:
(1-1)
即:
(1-2)
在垂直方向惯性力矩与重力矩平衡:
(1-3)
即:
(1-4)
考虑到摆角θ很小,且在操作点θ0=0附近作微小变化,可以近似等效为:
θ很小时,忽略项,故可得系统运动方程式简化为:
(1-5)
(1-6)
1.2倒立摆系统的传递函数
假设初始条件为0,对式(1-5)与式(1-6)进行拉普拉斯变换联立求解得传递函数为:
(1-7)
其可等效为图1-2。
图1-2传递函数框图
将
代入式(1-7)得到线性化后系统的传递函数为:
(1-8)
2系统校正前性能分析
2.1未校正移动倒立摆系统时域响应
对于未校正的移动倒立摆系统,经过上述分析计算得到传递函数,在matlab中用simulink画出其结构图,如图2-1。
图2-1未校正系统的simulink结构图
2.2绘制bode图
伯德(Bode)图也称为对数频率特性曲线,是用对数幅频特性和对数相频特性表示频率特性的曲线,横坐标为ω,按常用对数lgω分度。
对数幅频特性曲线的纵坐标为L(ω)=20lgA(ω),单位是分贝(dB),对数相频特性的纵坐标为φ(ω),单位为度(°)。
图2-2系统校正前的伯德图
应用MATLAB绘制系统的bode图,编程如下:
num=[-1];
den=[0.5,0,-12];
bode(num,den)
得到系统的伯德图如图2-2所示。
2.3绘制根轨迹图
根轨迹法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法,使用十分简便,特别在进行多回路系统分析时,应用根轨迹法比用其他方法更为方便,因此在工程实践中获得了广泛应用。
应用MATLAB绘制系统根轨迹图编程如下:
num=[-1];
den=[0.5,0,-12];
rlocus(num,den);
grid
系统的根轨迹图如图2-3所示。
图2-3系统校正前的根轨迹图
2.4系统校正前的阶跃响应及性能分析
应用MATLAB绘制未校正系统的单位阶跃响应编程如下:
num=[-1];
den=[0.5,0,-12];
g0=tf(num,den);
t=0:
0.02:
5;
gb=feedback(g0,1);
step(gb,t);
grid
系统校正前的阶跃响应如图2-4所示。
图2-4未校正系统的阶跃响应
由上述分析,通过根轨迹图和单位阶跃响应可以看出单级移动倒立摆系统校正前是一个不稳定的系统,若想要对其进行进一步的研究及应用,可以对其进行校正系统分析,得到实际生产需要的系统模型。
3PID控制器设计
根据设计任务书要求,系统校正后输出动态性能指标要满足
3.1PID控制器参数选择
从所得倒立摆线性化后的传递函数模型可看出,该系统因为含有不稳定的零极点,所以是一个自不稳定的非最小相位系统。
该方法的思想是根据给定值r与系统的实际输出值c构成控制偏差e,然后将偏差的比例(P)积分(I)微分(D)三项通过线性组合构成控制量,对被控制对象进行控制,故称为PID控制,则PID控制用于倒立摆系统的原理如图3-1所示:
图3-1PID控制器原理图
PID控制器各环节的特点:
比例环节放大时,系统动作灵敏、速度快、稳态误差小,但是比例太大时系统振荡环节次数会增多,调节时间增加甚至会不稳定。
积分控制可消除系统稳态误差,但会使系统滞后增加稳定性变差,响应速度慢。
微分控制可提高系统动态性能特性(减少超调量和响应时间),使系统稳态误差减小。
设PID控制系统的传递函数为:
(3-1)
而倒立摆系统的传递函数为:
(3-2)
所以校正后系统的开环传递函数为:
(3-3)
应用MATLAB对该系统进行仿真确定PID控制器的参数Kd、Kp、Ks,编程如下:
num=[Kd,Kp,Ki];
den=[-0.5,0,12,0];
sys=tf(num,den);
sysc=sys/(1+sys);
t=0:
0.05:
5;
step(sysc,t)
其中Kd、Kp、Ki为待定的PID控制器参数。
由倒立摆系统的传递函数可知系统为自不稳定的非最小相位系统,故Kd、Kp、Ki均为负值。
首先,Ki、Kd分别置零,Kp从小调到大直到仿真图上出现稳态振荡,即波形在实轴上下作等幅振荡,这时得到Kp=-1000。
其次,由于系统存在较大的惯性环节,先调节Ki没有效果,这时可先调节Kd,消除稳态振荡,直到示波器上超调量和调节时间在给定范围内,这时Kd也有一个范围。
然后,在对应Kd范围内调Ki,在超调量和调节时间在给定范围内的前提下减小稳态误差,得到一个Ki范围。
最后,初步定下Kp、Ki、Kd参数为-1000、-800、-100,对应的单位阶跃响应曲线如图3-2所示:
图3-2校正后系统单位阶跃响应
根据图3-2可以得出系统校正后:
超调量
调节时间
满足设计要求
经过验证,PID控制器参数整定正确,符合课程设计的要求。
3.2校正后系统性能指标
应用MATLAB绘制校正后系统bode图编程如下:
num=[-100,-1000,-800];
den=[-0.5,0,12,0];
bode(num,den)
校正后系统bode图如图3-3.
图3-3校正后系统的bode图
应用MATLAB绘制校正后系统根轨迹图编程如下:
num=[-100,-1000,-800];
den=[-0.5,0,12,0];
rlocus(num,den)
校正后系统根轨迹如图3-4.
图3-4校正后系统根轨迹图
3.3系统校正前后性能比较
校正前,系统发散不稳定,加入串联PID校正环节后,比例环节放大时,系统动作灵敏、速度快、稳态误差小,但比例太大时系统震荡次数会增加,调节时间变长;积分控制可以消除系统稳态误差,但会使系统反应速度变慢;微分环节可提高系统动态性能,减少超调量和调节时间。
经过适当的PID参数整定,可以使得校正后的系统动态性能满足设计要求指标:
从图3-2和3-4可看出经过校正后系统的动态特性得到了明显的改善,系统是稳定的。
4小结
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- 关 键 词:
- 移动 倒立 建模 串联 PID 控制器