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7独立检验拔高难度讲义
独立性检验
知识讲解
1.分类变量的值就是指的一些具体实数吗?
提示:
这里的“变量”和“值”都应作为广义的变量和值来理解,只要不属于同种类别都是变量和值,并不一定是取具体的数值,如:
男、女;上、下;左、右等.
2.在判断两变量相关时,若
的观测值k=56.632,则P(
≥6.635)≈0.01和P(
)≥10.828)≈0.001,哪种说法是正确的?
提示:
两种说法均正确.
P(
)≥6.635)≈0.01的含义是在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为两变量相关;
而P(
)≥10.828)≈0.001的含义是在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为两变量相关.
3.利用数形结合的思想,借助等高条形图来判断两个分类变量是否相关是判断变量相关的常见方法之一.一般地,在等高条形图中,
与
相差越大,两个分类变量有关系的可能性就越大.在作等高条形图时可以用列联表来寻找相关数据,作图要精确,且易于观察,以便对结论的判断不出现偏差.
4.失误防范
(1)
≥6.635是指两个分类变量有关系这一结论成立的可信度为99%,不是指两个分类变量有关系的概率为99%.
(2)独立性检验首先假设该结论不成立,即假设结论“两个分类变量没有关系”成立.
5.分类变量的描述性说明:
对于宗教信仰来说,其取值为信宗教信仰与不信宗教信仰两种.像这样的变量的不同值表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量.例如性别变量其取值为男女两种,吸烟变量其取值为吸烟与不吸烟两种;
6.两个分类变量:
是否吸烟与患肺癌于否,性别男和女与是否喜欢数学课程等等,这是我们所要关心的;
7.
列联表:
列出的两个分类变量
和
,它们的取值分别为
和
的样本频数表称为
列联表1
分类
1
2
总计
1
2
总计
典例精讲
一.选择题(共10小题)
1.(2018春•临沂期中)某中学共有5000人,其中男生3500人,女生1500人,为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及该校学生每周平均体育锻炼时间是否与性别有关,现在用分层抽样的方法从中收集300位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据(单位:
小时),其频率分布直方图如图:
已知在样本数据中,有60位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,根据独立性检验原理,我们( )
附:
K2=
,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.01
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
A.没有理由认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
B.有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
C.有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
D.有99.5%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
2.(2018春•福州期中)甲、乙、丙、丁四位同学各自对x、y两变量的线性相关性做试验,并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如表:
甲
乙
丙
丁
r
0.80
0.85
0.69
0.78
m
105
102
123
112
则哪位同学的试验结果体现x、y两变量有更强的线性相关性( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
3.(2017秋•黄陵县校级月考)对于独立性检验,下列说法正确的是( )
A.2×2列联表中的4个数据可以是任意的
B.独立性检验的统计假设是各事件之间相互独立
C.独立性检验显示“患慢性气管炎和吸烟习惯有关”,这就是指“有吸烟习惯的人必定会患慢性气管炎”
D.χ2值可以是负值
4.(2017•玉州区校级模拟)假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表:
X
Y
y1
y2
总计
x1
a
10
a+40
x2
c
30
c+30
总计
60
40
100
注:
k2=
=n(
﹣
)(
﹣
)对同一样本,以下数据能说明X和Y有关系的可能性最大的一组为( )
A.a=45,c=15B.a=40,c=20C.a=35,c=25D.a=30,c=30
5.(2017春•德州期末)为大力提倡“厉行节约,反对浪费”,某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动,得到如下的2×2列联表:
做不到“光盘”
能做到“光盘”
男
45
10
女
30
15
表:
P(K2≥k)
0.10
0.05
0.025
k
2.706
3.841
5.024
经计算K2=
参照附表,得到的正确结论是( )
A.在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过2.5%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
C.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性別无关”
D.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
6.(2017春•雅安期末)通过随机询问72名不同性别的学生在购买食物时是否看营养说明,得到如下联表:
( )
女
男
总计
读营养说明
16
28
44
不读营养说明
20
8
28
总计
36
36
72
参考公式:
K2=
p(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.897
10.828
则根据以上数据:
A.能够以99.5%的把握认为性别与读营养说明之间无关系
B.能够以99.9%的把握认为性别与读营养说明之间无关系
C.能够以99.5%的把握认为性别与读营养说明之间有关系
D.能够以99.9%的把握认为性别与读营养说明之有无关系
7.(2017春•卢龙县期末)有人发现,多玩手机使人变冷漠,下表是一个调查机构对此现象的调查结果:
冷漠
不冷漠
总计
多玩手机
68
42
110
少玩手机
20
38
58
总计
88
80
168
P(K2>k)
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
k
3.841
5.024
6.635
7.879
10.83
通过计算求得K2≈11.38,则认为多玩手机与人变冷漠有关系的把握大约为( )
A.99.9%B.97.5%C.95%D.90%
8.(2017春•阿拉善左旗校级期中)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下数据:
男生中爱好运动的有40人,不爱好运动的有20人;女生中爱好运动的有20人,不爱好运动的有30人.则正确的结论是( )
A.在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该运动与性别有关”
B.在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该运动与性别无关”
C.有99%以上的把握认为“爱好该运动与性别有关”
D.有99%以上的把握认为“爱好该运动与性别无关”
9.(2017春•临沭县校级期中)为了普及环保知识,增强环保意识,某大学从大学理工类专业的A班和文史专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试,统计得到成绩与专业的列联表:
优秀
非优秀
总计
A班
14
6
20
B班
7
13
20
总计
21
19
40
附:
参考公式及数据:
①K2统计量:
(其中n=a+b+c+d);
②独立性检验的临界值表:
P(K≥k0)
0.050
0.010
k0
3.841
6.635
( )
A.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关
B.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关
C.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关
D.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关
10.(2017春•定兴县校级期中)为了解高中生对电视台某节目的态度,在某中学随机调查了110名学生,得到如下列联表:
男
女
总计
喜欢
40
20
60
不喜欢
20
30
50
总计
60
50
110
由
算得
.
附表:
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表,得到的正确结论是( )
A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“喜欢该节目与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“喜欢该节目与性别无关”
C.有99%以上的把握认为“喜欢该节目与性别有关”
D.有99%以上的把握认为“喜欢该节目与性别无关”
二.填空题(共5小题)
11.(2017秋•天心区校级期末)有两个分类变量X和Y,其中一组观测值为如下的2×2列联表:
Y
X
y1
y2
总计
x1
a
15﹣a
15
x2
20﹣a
30+a
50
总计
20
45
65
其中a,15﹣a均为大于5的整数,则a= 时,在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“X和Y之间有关系”.
12.(2018春•兴庆区校级期中)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了100名电视观众,相关的数据如表所示:
文艺节目
新闻节目
总计
20岁至40岁
40
18
58
大于40岁
15
27
42
总计
55
45
100
由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关 (填“是”或“否”)
13.(2017秋•黄陵县校级月考)在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快,这已经成为全球性的威胁,为了考查某种埃博拉病毒疫苗的效果,现随机抽取100只小鼠进行试验,得到如下列联表:
感染
未感染
总计
服用
10
40
50
未服用
20
30
50
总计
30
70
100
附表:
P(K2≥k)
0.10
0.05
0.025
k
2.76
3.841
5.024
参照附表,在犯错误的概率不超过 (填百分比)的前提下,认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”.
14.(2017春•湖南期末)有人发现多看手机容易让人性格变冷漠,如表是一个调查机构对此现象的调查结果:
冷漠
不冷漠
总计
多看手机
40
20
60
少看手机
20
30
50
总计
60
50
110
K2=
,则大约有 的把握认为多看手机与人变冷漠有关系.
附表:
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
15.(2017春•辽宁期末)4月16日摩拜单车进驻大连市旅顺口区,绿色出行引领时尚,旅顺口区进行了“经常使用共享单车与年龄关系”的调查,得下列2×2列联表:
年轻人
非年轻人
合计
经常使用单车用户
100
20
120
不常使用单车用户
60
20
80
合计
160
40
200
则得到的X2= (小数点后保留一位).
(附:
X2=
)
三.解答题(共4小题)
16.(2018春•武昌区期末)对某班50名学生的数学成绩和对数学的兴趣进行了调查,统计数据如表所示:
对数学感兴趣
对数学不感兴趣
合计
数学成绩好
17
8
25
数学成绩一般
5
20
25
合计
22
28
50
(1)试运用独立性检验的思想方法分析:
学生学习数学的兴趣与数学成绩是否有关系,并说明理由;
(2)从数学成绩好的同学中抽取4人继续调查,设对数学感兴趣的人数为x,求x的分布列和数学期望.
附:
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
K2=
17.(2018•晋城一模)环境问题是当今世界共同关注的问题,我国环保总局根据空气污染指数PM2.5浓度,制定了空气质量标准:
空气污染指数
[0,50]
(50,100]
(100,150]
(150,200]
(200,300]
(300,+∞)
空气质量等级
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
某市政府为了打造美丽城市,节能减排,从2010年开始考察了连续六年11月份的空气污染指数,绘制了频率分布直方图,经过分析研究,决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行,即车牌尾号为单号的车辆单号出行,车牌尾号为双号的车辆双号出行(尾号是字母的,前13个视为单号,后13个视为双号),王先生有一辆车,若11月份被限行的概率为0.05.
(1)求频率分布直方图中m的值(写出推理过程,直接写出答案不得分);
(2)若按分层抽样的方法,从空气质量良好与中度污染的天气中抽取6天,再从这6天中随机抽取2天,求至少有一天空气质量中度污染的概率;
(3)该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响,对限行两年来的11月份共60天的空气质量进行统计,其结果如表:
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
天数
11
27
11
7
3
1
根据限行前6年180天与限行后60天的数据,计算并填写以下2×2列联表,并回答是否有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.
空气质量优良
空气质量污染
合计
限行前
限行后
合计
参考数据:
P(k2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.072
2.7.6
3.841
5.024
6.635
7.879
,其中n=a+b+c+d
18.(2018春•湖北期中)随着我国经济的高速发展,很多城市空气污染较为严重,应当注重环境的治理,现随机抽取某市一年(365天)内100天的空气质量指数(AQI)的监测数据,统计结果如表:
AQI指数
[0,50]
(50,100]
(100,150]
(150,200]
(200,300]
(300,+∞)
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
天数
5
15
18
22
15
25
若本次抽取的样本数据有40天是在供暖季,这40天中有15天为严重污染.
(1)完成下面的2×2列联表:
非严重污染
严重污染
合计
供暖季
非供暖季
合计
(2)判断是否有97.5%以上的把握认为该市本年度空气严重污染与供暖有关.
附:
,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k0)
0.250
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19.(2018•潍坊二模)“微信运动”是手机APP推出的多款健康运动软件中的一款,杨老师的微信朋友圈内有600位好友参与了“微信运动”.他随机选取了40位微信好友(女20人,男20人),统计其在某一天的走路步数.其中,女性好友的走路步数数据记录如下:
58608520732667987325843032167453117549860
87536450729048501022397637988917664215980
男性好友走路的步数情况可分为五个类别:
A(0﹣2000步)(说明:
“0﹣2000”表示大于等于0,小于等于2000.下同),B(2000﹣5000步),C(5001﹣000步),D(8001﹣10000步),E(10001步及以E),且B,D,E三种类别人数比例为1:
3:
4,将统计结果绘制如图所示的柱形图.
若某人一天的走路步数超过8000步被系统认定为“卫健型“,否则被系统认定为“进步型”.
(1)若以杨老师抽取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布,请估计杨老师的微信好友圈里参与“微信运动”的600名好友中,每天走路步数在5001﹣10000步的人数;
(2)请根据选取的样本数据完成下面的2×2列联表,并据此判断能否有95%以上的把握认定“认定类型”与“性别”有关?
卫健型
进步型
总计
男
20
女
20
总计
40
(3)若从杨老师当天选取的步数大于10000的好友中按男女比例分层选取5人进行身体状况调查,然后再从这5位好友中选取2人进行访谈,求至少有一位女性好友的概率
附:
K2=
,
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
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