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与圆的位置关系
与圆的位置关系
主讲:
童丽丹
一、知识要点概述
1、点与圆的三种位置关系
设圆的半径为r,点P到圆心的距离为d,则
2、直线与圆的三种位置关系
设圆的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则
3、切线的判定方法除定义(直线l与圆只有惟一的公共点)外,还有:
(1)和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;
(2)过半径外端且和这条半径垂直的直线是圆的切线.
4、切线的性质:
(1)切线和圆只有一个公共点;
(2)切线和圆心的距离等于半径;
(3)切线垂直于过切点的半径;
(4)过圆心且垂直于切线的直线必过切点;
(5)过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
5、从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
6、注意三角形“四心”的区别
外心——三边中垂线的交点,为三角形外接圆的圆心,它到三角形三个顶点的距离相等.
内心——三个内角平分线的交点,为三角形内切圆的圆心,它到三角形三边距离相等,其中直角三角形内切圆半径等于周长的一半与斜边的差.
重心——三条中线的交点.
垂心——三条高的交点.
7、圆与圆的位置关系
设两圆半径分别为R,r(R≥r>0),圆心距为d,则关于圆与圆的五种位置关系,应掌握下表内容.
位置关系
圆心距d与
半径的关系
交点数
内公切线数
外公切线数
连心线的特征
外离
d>R+r
0
2
2
外切
d=R+r
1
1
2
切点在连心线上
内切
d=R-r
1
0
1
切点在连心线上
相交
R-r 2 0 2 连心线垂直平分公共弦 内含 d 0 0 0 二、典型例题剖析 例1、已知两圆的半径为r1=1,r2=3,圆心距d和r1,r2恰好能构成一个三角形,则: (1)这两圆有_________公共点; (2)d的取值范围是_________;(3)这两圆的位置关系是_________. 分析: 由于圆心距d和r1,r2恰好能构成一个三角形,可知|r1-r2| 2 两圆相交 两圆有两个公共点. 解: (1)2; (2)2 (3)相交. 例2、如图,AB是⊙O的直径,D在AB的延长线上,BD=OB,C在圆上,∠CAB=30°.求证: DC是⊙O的切线. 分析: 因C在圆上,欲证DC是圆的切线,只需证明OC⊥CD即可,这一步可通过∠OCB+∠BCD=90°得到. 证明: 连结OC、BC. ∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°. 又OC=OB,∠CAB=30°, ∴△BCO为等边三角形,即OB=OC=BC. 又BD=OB,∴BD=BC,∴△BDC为等腰三角形, ∴∠BCD= ∠ABC=30°, ∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°, ∴DC是⊙O的切线. 例3、如图,AB是⊙O的直径,AD、BC、CD是⊙O的切线,切点分别是A、B、E,DO、AE相交于点F,CO、BE相交于点G.求证: (1)CO⊥DO; (2)四边形EFOG是矩形. 分析: (1)欲证OC⊥OD只需证∠ODC+∠OCD=90°. 根据切线长定理,得∠ODC+∠OCD= (∠ADC+∠BCD). 再由切线的性质不难得AD//BC,从而∠ADC+∠BCD=180°, (1)获证. (2)仍由切线长定理,可证AE⊥DO,BE⊥CO,而∠AEB=90°, (2)获证. 证明: (1)∵AB是⊙O的直径,AD、BC是⊙O的切线, ∴AD⊥AB,BC⊥AB, ∴AD//BC, ∴∠ADC+∠BCD=180°. 又∵DC是⊙O的切线, 由切线长定理,得∠ODC= ∠ADC,∠OCD= ∠BCD, ∴∠ODC+∠OCD= (∠ADC+∠BCD)=90°, 故∠DOC=90°,即OC⊥OD. (2)∵DA、DE分别切⊙O于点A、E, ∴DA=DE,∴AE⊥DO, ∴∠EFO=90°. 同理BE⊥CO,∠EGO=90°. 又AB是直径,∴∠FEG=90°, ∴四边形EFOG是矩形. 点评: 在有关圆的问题中,切线长定理与切线的性质定理的综合应用往往是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据. 例4、如图,在直角坐标系中,点O′的坐标为(2,0),⊙O′与x轴交于原点O和点A.又B、C、E三点的坐标分别为(-1,0),(0,3),(0,b),且0 (1)求点A的坐标和经过B、C两点的直线的解析式; (2)当点E在线段OC上移动时,直线BE与⊙O′有哪几种位置关系? 并求出每种位置关系中b的取值范围. 分析: 本例是数形结合类的结论探索型问题.其中第 (1)问不难求解;第 (2)问应先设点E在OC上移动至某处时,恰使直线BE切⊙O′于点M.下面的目标是探求OE之长,即知 .再由0 解: (1)由题设条件可得A(4,0). 设经过B、C两点的直线的解析式为y=kx+b,将B(-1,0),C(0,3)代入,易求得直线的解析式为y=3x+3. (2)当点E在线段OC上移动时,直线BE与⊙O′有三种位置关系: 相离、相切、相交. 设当点E在OC上移动至某处时,恰使直线BE切⊙O′于点M,连结O′M. ∵BM切⊙O′于点M, ∴O′M⊥BM且O′M=2. 在Rt△BMO′中,∵BO′=3,O′M=2, 又∵OE⊥OB,O′M⊥BM,∠EBO=∠O′BM, ∴Rt△BEO∽Rt△BO′M 点评: 结论探索型问题是近几年中考的热点题型.解题时,一般充分利用已知条件或图形特征进行猜想和分析,发现规律、获取结论. 例5、如图,⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙O2的切线CF交⊙O1于点C,直线CB交⊙O2于点D,直线DA交⊙O1于E,连结CE.求证: (1)△CAE是等腰三角形; (2)DA·DE=CD2-CE2. 证明: (1)连结AB. ∵CA切⊙O2于点A, ∴∠FAD=∠ABD. 又∵四边形ABCE为⊙O1的内接四边形, ∴∠ABD=∠E,∴∠FAD=∠E. 又∵∠FAD=∠EAC, ∴∠E=∠EAC, ∴CE=CA,即△ACE为等腰三角形. (2)∵CA切⊙O2于点A, ∴∠CAB=∠D. 又∵∠ACB=∠DCA, ∴△CAB∽△CDA, ∴ ,即CA2=CB·CD.① 又∠ABD=∠E( (1)已证),∠ADB=∠CDE, ∴△ABD∽△CED, ∴ ,即DA·DE=DB·DC,② ①+②得: CA2+DA·DE=CB·CD+BD·CD=CD2, ∴DA·DE=CD2-CA2=CD2-CE2. 点评: 一条公共弦的连结,使弦切角与圆周角、圆内接四边形的外角与内角之间得以沟通,可见“两圆相交、连公共弦”是多么重要.而更多的时候要用到“连心线垂直平分公共弦”这条重要性质的传递作用. 例6、⊙O1与⊙O2外切于点P,一条公切线为AB,A、B为切点.设两圆的半径为r1、r2.求证: AB2=4r1r2. 证法一: 如图 (1),过两圆的切点P作内公切线PC交AB于点C,连结O1C、O2C及O1P、O2P. ∵AB、CP均为两圆的切线, ∴CA=CP=CB,O1C平分∠ACP,O2C平分∠BCP, ∴∠O1CO2=90°. 又P在两圆连心线O1O2上, ∴O1O2为Rt△O1CO2的斜边,且CP⊥O1O2. 由Rt△O1PC∽Rt△CPO2得CP2=O1P·O2P, 即 , ∴AB2=4r1r2. 证法二: 如图 (2),连结O1A、O2B及O1O2,过O1作O1D⊥O2B于D. ∵AB为两圆的公切线, ∴O1A⊥AB,O2B⊥AB, ∴四边形ABDO1为矩形,∴BD=AO1,O1D=AB. 设⊙O1,⊙O2的半径分别为r1、r2(r2>r1),则 O1O2=r1+r2,O2D=r2-r1. 在Rt△O1DO2中,O1D2=O1O22-O2D2=(r1+r2)2-(r2-r1)2=4r1r2, 即AB2=4r1r2. 点评: 证法 (一)作两圆的内公切线,充分发挥了切线长定理的两个作用(切线长相等、点C与圆心的连线平分两条切线的夹角);证法 (二)是通过平移切线AB,化归为解直角三角形问题来解决,显得简洁、直观,这些都是常用的方法. 例7、已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,且O2点在⊙O1上. (1)如图 (1),AD是⊙O2的直径,连结DB,并延长交⊙O1于点C.求证: O2C⊥AD; (2)如图 (2),如果AD是⊙O2的一条弦,连结DB并延长交⊙O1于C,那么CO2所在直线是否与AD垂直? 证明你的结论. 证明: (1)连结AB,则有∠AO2C=∠ABC=180°-∠ABD=90°, ∴CO2⊥AD. (2)CO2所在直线与AD垂直,理由: 作直径AD1交⊙O2于D1,连结D1B并延长交⊙O1于C1,连结AB. 由第 (1)问可知∠AO2C1=90°, ∴∠AD1B+∠BC1O2=90°. 在⊙O2中,∠AD1B=∠ADB,在⊙O1中,∠BC1O2=∠BCO2, ∴∠ADB+∠BCO2=90°,∴∠DEC=90°,∴CE⊥AD. 点评: 解决此类问题,关键是要找出一般与特殊的关系.在图形变换中,要找出不变量.
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