七年级数学下册52探索轴对称的性质教案新版北师大版.docx
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七年级数学下册52探索轴对称的性质教案新版北师大版
2019-2020年七年级数学下册5.2探索轴对称的性质教案新版北师大版
【教学目标】
1.知识与技能
(1)进一步复习生活中的轴对称现象,探索轴对称的性质;
(2)掌握轴对称的性质,会利用轴对称的性质解决问题。
2.过程与方法
在探索轴对称性质的过程中,能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
3.情感态度和价值观
学生在自主探索获得正确的学习方式和良好的情感体验。
【教学重点】
探索轴对称的性质。
【教学难点】
利用轴对称的性质解决问题。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习导入
【过渡】上节课,我们学习了轴对称现象,通过对生活中的轴对称现象的欣赏,我们了解了轴对称图形,以及两个图形成轴对称。
在我们的生活中,除了建筑、剪纸等艺术可以看到轴对称现象之外呢,我们的汉字也会有这样的轴对称现象。
现在,我们来看几个字的一部分,大家来猜一下是什么字。
【过渡】大家能猜到这是什么字吗?
一起来试一下吧。
(学生回答)
【过渡】这几个字呢,就是成轴对称的图形。
那么,轴对称到底有哪些性质呢?
今天我们就来探究一下。
二、新课教学
1.探索轴对称的性质
【过渡】现在,请大家拿出一张纸,然后按照课本P118页,将这张纸对折,然后用笔尖扎出14这个数字,将纸打开后铺平。
【过渡】结合你们刚刚的动手过程,我们来看一下下边几个问题吧。
(1)两个“14”有什么关系?
【过渡】大家可以再将手中的纸对折,这两个“14”能够完全重合吗?
(学生回答)
【过渡】结合上节课的学习,我们能够回答这个问题,这两个“14”成轴对称图形.。
(2)设折痕所在直线为l,连接点E和E′的线段和l有什么关系?
点F和F′呢?
【过渡】对折过后,我们能够发现,点E和E′重合,大家动手连接EE′,再对折一次,你们能发现什么呢?
【过渡】我们发现,线段EE′与对称轴l形成的两个角也是重合的,我们知道这两个角总共有180°,那么分别的两个角就是90°。
因此,我们知道,线段EE’与直线l垂直。
【过渡】同样地,线段FF’与直线l垂直。
【过渡】接下来,我们来看第三个问题。
(3)线段AB与A′B′,CD与C′D′有什么关系?
【过渡】很明显,对折过后,线段AB与A′B′,CD与C′D′都是重合的,因此,我们能够知道,AB=A′B′,CD=C′D′。
(4)∠1与∠2有什么关系?
∠3与∠4呢?
【过渡】我们动手将这几个角标出来,然后再一次结合对折。
谁能告诉我答案。
(学生回答)
【过渡】∠1=∠2,∠3=∠4。
【过渡】通过这个小实验,我们初步了解了轴对称的性质,那究竟是不是所有的轴对称都具有这的性质呢?
我们再来看一个例子。
【过渡】课本的图5-6所示的一个轴对称图形。
【过渡】接下来的几个问题,大家一块来解决一些吧。
(1)找出它的对称轴。
课件展示
【过渡】将对称轴画出之后,我们能够看到对称轴左右的两个部分是明显对称的。
(2)连接点A与点A1的线段与对称轴有什么关系?
连接点B与点B1的线段呢?
【过渡】在这里,我们结合刚刚的例子,我们知道,将其对折之后,A与A1重合,因此,我们就可以这样称点A关于对称轴的对应点是A1,同样的,B与B1重合,称点B关于对称轴的对应点是B1。
连接AA1,BB1,这两个线段分别与对称轴垂直。
(3)线段AD与线段A1D1有什么关系?
线段BC与B1C1呢?
为什么?
【过渡】沿对称轴对折,AD与A1D1重合,称线段AD关于对称轴的对应线段是A1D1,BC与B1C1重合,称线段BC关于对称轴的对应线段是B1C1。
由于重合,我们知道,AD=A1D1,BC=B1C1。
(4)∠1与∠2有什么关系?
∠3与∠4呢?
说说你的理由?
【过渡】对折,∠1与∠2,∠3与∠4分别重合,我们就称∠1关于对称轴的对应角是∠2,∠3关于对称轴的对应角是∠4。
而且结合重合的特点,我们知道,∠1=∠2,∠3=∠4。
【过渡】通过刚刚的分析,你能总结,你能得到什么结论?
轴对称的性质:
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中,对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对应线段相等,对应角相等。
【过渡】利用轴对称的性质,我们就可以解决问题,首先,我们来看一下课本做一做的内容。
如图是一个图案的一半,其中的虚线是这个图案的对称轴,画出这个图案的另一半。
【过渡】根据轴对称的性质,确定不在对称轴上的两点的对应点的位置。
课件展示解题过程。
【过渡】在探索了轴对称的相关性质之后,我们来看几个例题吧。
例:
例:
请在直线l上找一个点C,使CA+CB最小。
【过渡】对于这个问题,我们需要知道,两点之间,线段最短。
因此,提供给我们的思路就是寻找一条直线,再根据轴对称的性质,我们就能很轻易的找到这个点。
课件展示解题过程。
【过渡】在直线L上的同侧有两个点A、B,在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在,可以通过轴对称来确定,即作出其中一点关于直线L的对称点,对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点。
【过渡】接下来,我们看另外一个例题。
例:
如图所示,AD为△ABC的高,∠B=2∠C,借助于轴对称的性质想一想,CD与AB+BD相等吗?
请说明你的理由。
【过渡】对这个问题进行分析。
首先,我们知道要求使用轴对称的性质。
但是观察这个图形,并没有轴对称的存在。
这就需要我们添加辅助线。
结合图形及轴对称的性质,我们发现,AD⊥BC,这就给我们启示,是否可以将AD作为对称轴?
那么我们就需要结合轴对称的性质,找到其平分的线段,辅助线的做法也就清楚了。
课件展示解题过程。
【学以致用】1、如图,由四个小正方形组成的田字格中,△ABC的顶点都是小正方形的顶点.在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形,且顶点都是小正方形的顶点,则这样的三角形(不包含△ABC本身)共有( C )
A.1个B.2个C.3个D.4个
2、作△ABC关于直线l对称的△A′B′C′,点A,B,C的对称点分别是A′,B′,C′,则下列说法中正确的是( B )
A.AA′垂直平分对称轴
B.△ABC和△A′B′C′的周长相等
C.线段AB′被对称轴平分
D.△ABC的面积被对称轴平分
3、如图,∠A=30°,∠C′=60°,△ABC与△A′B′C′关于直线l对称,则∠B=90°。
4、如图,P为∠AOB内的一点,分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2,连结P1、P2,交OA于M,交OB于N,若P1P2=13cm,求△MNP的周长?
解:
∵点P关于OA、OB的对称点P1、P2,
∴PM=P1M,PN=P2N,
∴△MNP的周长等于P1P2=13cm。
5、如图,∠A=90°,E为BC上一点,A点和E点关于BD对称,B点、C点关于DE对称,求∠ABC和∠C的度数.
解:
∵A点和E点关于BD对称,
∴∠ABD=∠EBD,即∠ABC=2∠ABD=2∠EBD.
又B点、C点关于DE对称,
∴∠DBE=∠C,∠ABC=2∠C.
∵∠A=90°,
∴∠ABC+∠C=2∠C+∠C=3∠C=90°。
∴∠C=30°
∴∠ABC=2∠C=60°。
【板书设计】
1、轴对称的性质:
对应点所连的线段被对称轴垂直平分
对应线段相等
对应角相等
【教学反思】
通过大量的动手操作,力图让学生用自己的思维方式自由开放地去探索、去发现、去创造,使学生通过大量的感性经验形成表象,进一步体会轴对称的含义。
通过动手探索,掌握轴对称图形的性质,感受对称图形的内在美。
2019-2020年七年级数学下册5.2探索轴对称的性质练习新版北师大版
一、选择——基础知识运用
1.如图是经过轴对称变换后所得的图形,与原图形相比( )
A.形状没有改变,大小没有改变
B.形状没有改变,大小有改变
C.形状有改变,大小没有改变
D.形状有改变,大小有改变
2.如图,正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A′B′C′D′E′F′,下列判断错误的是( )
A.AB=A′B′B.BC∥B′C′C.直线l⊥BB′D.∠A′=120°
3.下列语句中,正确的个数有( )
①两个关于某直线对称的图形是全等的
②两个图形关于某直线对称,对称点一定在该直线的两旁
③两个成轴对称的图形的对应点连线的垂直平分线,就是它们的对称轴
④平面内两个全等的图形一定关于某直线对称.
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.如图,△ABC和△A′B′C′关于直线对称,下列结论中:
①△ABC≌△A′B′C′;
②∠BAC′=∠B′AC;
③l垂直平分CC′;
④直线BC和B′C′的交点不一定在l上,
正确的有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
5.已知△ABC关于直线MN对称,则下列说法错误的是( )
A.△ABC中必有一个顶点在直线MN上
B.△ABC中必有两个角相等
C.△ABC中,必有两条边相等
D.△ABC中必有有一个角等于60°
二、解答——知识提高运用
6.如图,△ABC和△A′B′C′关于直线l对称,求证:
△ABC≌△A′B′C′.若△ABC≌△A′B′C′,那么△ABC和△A′B′C′一定关于某条直线l对称吗?
若一定请给出证明,若不一定请画出反例图。
7.如图,△ABC和△A′B′C′关于直线m对称。
(1)结合图形指出对称点.
(2)连接A、A′,直线m与线段AA′有什么关系?
(3)延长线段AC与A′C′,它们的交点与直线m有怎样的关系?
其它对应线段(或其延长线)的交点呢?
你发现了什么规律,请叙述出来与同伴交流。
8.如图所示,已知O是∠APB内的一点,点M、N分别是O点关于PA、PB的对称点,MN与PA、PB分别相交于点E、F,已知MN=5cm,求△OEF的周长。
9.如图,已知A,B两点在直线1的同侧,点A′与A关于直线l对称,连接A′B交l于点P.若A′B=a。
(1)求AP+PB。
(2)若点M是直线l上异于点P的任意一点,求证:
AM+MB>AP+PB。
10.如图,l是线段AB的对称轴,l′是线段BC的对称轴,l和l′相交于点O.OA与OC相等吗?
为什么?
11.设直线l1和直线l2平行,且l1和l2间的距离为a.如果线段AB在l1的右侧,并设AB关于l1的对称图形是A′B′,而A′B′关于l2的对称图形是A″B″(如图),那么,线段AB和A″B″有什么关系?
参考答案
一、选择——基础知识运用
1.【答案】A
【解析】∵轴对称变换不改变图形的形状与大小,
∴与原图形相比,形状没有改变,大小没有改变。
故选A。
2.【答案】B
【解析】由图形可知:
A、点A和B对称点是点A′和B′,所以AB=A′B′.故A是正确的;
B、点B、C、D、E对称点是点B′、C′、D′和E′,所以BC∥D′E′,DE∥B′C′.故B是错误的;
C、点B、E对称点分别是点B′、E′,所以BB’⊥直线l.故C是正确的;
D、正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A′B′C′D′E′F′,所以六边形A′B′C′D′E′F′也是正六边形,则∠A′=120°.故D是正确的;
故选B。
3.【答案】B
【解析】①两个关于某直线对称的图形是全等的,此选项正确;
②两个图形关于某直线对称,对称点一定在该直线的两旁也有可能在直线上,此选项错误;
③两个成轴对称的图形的对应点连线的垂直平分线,就是它们的对称轴,此选项正确;
④平面内两个全等的图形不一定关于某直线对称,故此选项错误。
故选B。
4.【答案】B
【解析】∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称,
∴①△ABC≌△A′B′C′,正确;
②∠BAC=∠B′AC′,
∴∠BAC+∠CAC′=∠B′AC′+∠CAC′,
即∠BAC′=∠B′AC,正确;
③l垂直平分CC′,正确;
④应为:
直线BC和B′C′的交点一定在l上,故本小题错误。
综上所述,结论正确的是①②③共3个。
故选B。
5.【答案】D
【解析】∵△ABC关于直线MN对称,
∴△ABC为等腰三角形,其对角线为底边上的高所在的直线.
A、△ABC中必有一个顶点在直线MN上,故本选项正确;
B、△ABC中必有两个角相等,故本选项正确;
C、△ABC中,必有两条边相等,故本选项正确;
D、当该等腰三角形是等边三角形时,△ABC中有一个角等于60°,故本选项错误。
故选D。
二、解答——知识提高运用
6.【答案】∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称,
∴△ABC和△A′B′C′能够完全重合,
∴△ABC≌△A′B′C′。
若△ABC≌△A′B′C′,△ABC和△A′B′C′不一定一定关于某条直线l对称,如图所示.
7.【答案】
(1)对称点有A和A′,B和B′,C和C′。
(2)连接A、A′,直线m是线段AA′的垂直平分线.
(3)延长线段AC与A′C′,它们的交点在直线m上,其它对应线段(或其延长线)的交点也在直线m上,即若两线段关于直线m对称,且不平行,则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴上。
8.【答案】根据轴对称的性质得:
OE=EM,OF=FN
△OEF的=OE+OF+EF=ME+EF+FN=MN=5cm
∴△OEF的周长为5cm。
9.【答案】
(1)∵点A′与A关于直线l对称,
∴PA=PA′
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=a;
(2)∵点A′与A关于直线l对称,
∴MA=MA′
∴AM+BM=MA′+MB
由
(1)可知:
AP+PB=A′B
由两点之间线段最短可知:
MA′+MB>A′B,即AM+MB>AP+PB。
10.【答案】∵l是线段AB的对称轴,
∴OA=OB,
∵l′是线段BC的对称轴,
∴OB=OC,
∴OA=OC。
11.【答案】因为l1平行于l2,并且AA′A″垂直于l1,当然也垂直于l2,同理BB′B″也垂直于l1和l2。
又在平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行,
所以AA′A″∥BB′B″①
另一方面,因为AP=PA′,A′P′=P′A″,
所以AA′A″=2PP′=2a,
同理BB′B″=2a,
所以AA′A″=BB′B″②
由①②可知,ABB″A'″为平行四边形,所以A''B''平行且等于AB。
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