二次函数专题测试题及详细答案超经典.docx
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二次函数专题测试题及详细答案超经典
复习二次函数
一、选择题:
1.
抛物线y
(x
2)2
3的对称轴是(
)
A.直线x
3
B.直线x
3
C.直线x
2
D.直线x2
2.
二次函数y
ax2
bxc的图象如右图,则点
y
M(b,c)在(
)
a
A.
第一象限
B.第二象限
O
x
C.第三象限
D.第四象限
3.
已知二次函数y
ax2
bx
c,且a
0
,ab
c
0,则一定有(
)
A.
b2
4ac
0
B.b2
4ac
0
C.
b2
4ac
0
D.b2
4ac≤0
4.
把抛物线y
x2
bx
c向右平移
3个单位,再向下平移
2个单位,所得图象的解析式
是y
x2
3x
5,则有(
)
A.
b3,c7
B.
b
9,c
15
C.
b3,c3
D.
b
9,c21
5.下面所示各图是在同一直角坐标系内,二次函数
yax2
(ac)xc与一次函数
yaxc的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是(
)
y
y
y
y
O
O
O
x
O
x
x
x
A
B
C
D
6.
抛物线yx2
2x3的对称轴是直线(
)
A.
x2
B.x
2
C.x
1
D.x
1
1
7.
二次函数y
(x
1)2
2的最小值是(
)
A.
2
B.2
C.
1
D.1
8.
二次函数yax
2
bxc的图象如图所示,若
y
M
4a
2b
cNa
bc,P4a
b,则(
)
-1O12x
A.
M
0
,N
0
,P
0
B.
M
0
,N
0,P
0
C.
M
0
,N
0
,P
0
D.
M
0
,N
0
,P
0
二、填空题:
9.将二次函数yx22x3配方成y(xh)2k的形式,则y=______________________.
10.
已知抛物线y
ax2
bx
c与x轴有两个交点,那么一元二次方程ax2
bx
c
0的根
的情况是______________________.
11.
已知抛物线y
ax2
x
c与x轴交点的横坐标为
1,则a
c=_________.
12.
请你写出函数y
(x
1)
2与yx2
1具有的一个共同性质:
_______________.
13.已知二次函数的图象开口向上,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:
_____________________.
14.如图,抛物线的对称轴是
x1,与x轴交于A、B两点,若B点坐标是(3,0),则A
y
1
A
B
O
1
x
点的坐标是________________.
16
题图
三、解答题:
1.已知函数yx2bx1的图象经过点(3,2).
(1)求这个函数的解析式;
(2)当x0时,求使y≥2的x的取值范围.
2
2、如右图,抛物线yx2
5x
n经过点A(1,0),与y轴交于点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)P是y轴正半轴上一点,且△
PAB是以AB为腰的等腰三角形,试求点
P的坐标.
y
OA
1x
-1
B
3.如图,抛物线y1=﹣x
2
+2向右平移
1个单位得到抛物线
y2,回答下列问题:
(1)抛物线y2的顶点坐标
;
(2)阴影部分的面积S=
;
(3)若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3,求抛物线y3的解析式.
4.(1999?
烟台)如图,已知抛物线
2
交x轴正半轴于A,B两点,交y轴于点C,
y=ax+bx+
且∠CBO=60°,∠CAO=45°,求抛物线的解析式和直线
BC的解析式.
2
5.如图,抛物线y=x+bx﹣c经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A,B,此抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D.
3
(1)求此抛物线的解析式;
(2)点P为抛物线上的一个动点,求使
S△APC:
S△ACD=5:
4的点P的坐标.
6.如图,抛物线y=a(x+1)
2的顶点为A,与y轴的负半轴交于点
B,且OB=OA.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点C(﹣3,b)在该抛物线上,求
S△ABC的值.
7.如图,抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l:
y=x﹣5上.
(1)求抛物线顶点A的坐标及c的值;
(2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧),试判断△ABD
的形状.
8、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到赢利的过
程,下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售
时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系).
(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的函数关系式;
(2)求截止到几月累积利润可达到30万元;
(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?
4
参考答案
一、选择题:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
D
D
A
A
D
D
D
B
D
二、填空题:
1.y(x1)2
2
2.有两个不相等的实数根
3.1
4.
(1)图象都是抛物线;
(2)开口向上;(3)都有最低点(或最小值)
5.
y
1x2
8x3或y
1x28x
3或y
1x2
8x1或y
1x2
8x1
5
5
5
5
7
7
7
7
6.
y
x2
2x1等(只须a
0,c
0)
7.
(2
3,0)
8.
x3,1
x5,1,4
三、解答题:
1.解:
(1)∵函数yx2
bx
1的图象经过点(
3,2),∴9
3b12.解得b2.
∴函数解析式为
y
x2
2x1.
(2)当x3时,y
2
.
根据图象知当x≥3时,y≥2.
∴当x
0时,使y≥2的x的取值范围是x≥3.
2.解:
(1)由题意得
15n0.∴n4.∴抛物线的解析式为yx2
5x4.
(2)∵点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,4).
∴OA=1,OB=4.
在Rt△OAB中,ABOA2OB217,且点P在y轴正半轴上.
5
①当PB=PA时,PB
17.∴
OP
PB
OB
174
.
此时点P的坐标为(0,
17
4).
②当PA=AB时,OP=OB=4
此时点P的坐标为(0,4).
3.解:
(1)设s与t的函数关系式为
s
at2
bt
c,
a
1
ab
c
1.5,
a
bc
1.5,
2
1
t2
由题意得4a
2b
c
2,或
4a
2b
c2,
解得
b
2,∴s
2t.
25
a
5
c
2.5;
c
0.
c
0.
2
b
(2)把s=30代入s
1t2
2t,得30
1
t2
2t.解得t1
10,t2
6(舍去)
2
2
答:
截止到10
月末公司累积利润可达到
30万元.
(3)把t
7
代入,得s
1
72
2
7
10.5.
2
把t
8
代入,得s
1
82
2
8
16.
2
16
10.5
5.5.
答:
第8
个月获利润
5.5万元.
4.解:
(1)由于顶点在
y轴上,所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为
y
ax2
因为点A(
5
0)或B(
5
0)
在抛物线上,所以0
a·(
5
)2
9
,得a
2
2
2
10
因此所求函数解析式为
y
18
x2
9
(
5≤x≤5).
125
10
2
2
9
.
10
18
.
125
(2)因为点D、E的纵坐标为9
,所以9
18
9
,得x
20
20
125
10
所以点D的坐标为(
5
9
5
2,
9
2,
),点E的坐标为
(
20
4
20
4
所以DE
5
5
5
.
2(
2)
2
4
4
2
因此卢浦大桥拱内实际桥长为
5
1100
0.01
275
2
2
2
5
2.
4
).
385(米).
5.解:
(1)∵AB=3,x1x2,∴x2x13.由根与系数的关系有x1x21.
6
∴x1
1,x2
2.
∴OA=1,OB=2,
·
m
2.
x1x
2
a
∵tan
BAC
tan
ABC
1,∴OC
OC
1.
OA
OB
∴OC=2.∴m
2
a
1.
∴此二次函数的解析式为yx2x2.
(2)在第一象限,抛物线上存在一点P,使S△PAC=6.
解法一:
过点P作直线MN∥AC,交x轴于点M,交y轴于N,连结PA、PC、MC、NA.
∵MN∥AC,∴S△MAC=S△NAC=S△PAC=6.
y
N
由
(1)有OA=1,OC=2.
∴1AM21CN16.∴AM=6,CN=12.P
22
∴M(5,0),N(0,10).
AO
BMx
∴直线MN的解析式为y
2x
10.
C
y
2x10,
x1
3
x2
4,
由
得
4;y2
(舍去)
yx2
x2,
y1
18
∴在第一象限,抛物线上存在点
P(3,4),使S△PAC=6.
解法二:
设AP与y轴交于点D(0,m)(m>0)
∴直线AP的解析式为y
mx
m.
y
x2
x2,
y
mx
m.
∴x2
(m
1)xm20.
7
∴xA
xPm1,∴xP
m2.
又S△PAC=S△ADC+S△PDC=1CD·AO
1CD·xP=1CD(AOxP).
2
2
2
∴1(m2)(1m2)6,m2
5m60
2
∴m
6(舍去)或m1.
∴在第一象限,抛物线上存在点
P(3,4),使S△PAC=6.
提高题
1.解:
(1)∵抛物线yx2bxc与x轴只有一个交点,
∴方程x2
bx
c
0有两个相等的实数根,即b2
4c0.①
又点A的坐标为(
2,0),∴4
2b
c
0.
②
由①②得b
4,a
4.
(2)由
(1)得抛物线的解析式为
y
x2
4x
4.
当x0时,y
4.∴点B的坐标为(0,4).
在Rt△OAB中,OA=2,OB=4,得AB
OA2
OB2
2
5.
∴△OAB的周长为1
4
25
6
2
5
.
2.解:
(1)S10(
x2
7
7
(4
3)
x
x
2
6x
7.
10
10
x
)
10
当x
6
3时,S最大
4
(
1)
7
62
16.
(1)
4
(
1)
2
∴当广告费是3万元时,公司获得的最大年利润是
16万元.
(2)用于投资的资金是16313
万元.
经分析,有两种投资方式符合要求,
一种是取A、B、E各一股,投入资金为526
13(万
元),收益为0.55+0.4+0.9=1.85(万元)>1.6(万元);
另一种是取B、D、E各一股,投入资金为2+4+6=12(万元)<13(万元),收益为0.4+0.5+0.9=1.8
(万元)>1.6(万元).
3.解:
(1)设抛物线的解析式为
y
ax2
,桥拱最高点到水面
CD的距离为h米,则D(5,
h),B(10,
h3).
8
25a
h,
a
1
∴
h3.
解得
25
100a
h
1.
∴抛物线的解析式为
y
1
x2.
25
(2)水位由CD处涨到点O的时间为1÷0.25=4(小时),货车按原来速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280,
∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.
设货车的速度提高到x千米/时,
当4x
40
1
280时,x60
.
∴要使货车安全通过此桥,货车的速度应超过
60千米/时.
4.解:
(1)未出租的设备为
x
270套,所有未出租设备的支出为
(2x540)元.
10
(2)y(40
x
270
)x
(2x540)
1
x265x
540.
10
10
∴y
1
x2
65x
540.(说明:
此处不要写出x的取值范围)
10
(3)当月租金为
300元时,租赁公司的月收益为
11040元,此时出租的设备为
37套;当月租金为
350元时,租赁公司的月收益为
11040元,此时出租的设备为32套.
因为出租
37套和32套设备获得同样的收益,如果考虑减少设备的磨损,应选择出租
32套;
如果考虑市场占有率,应选择出租
37套.
(4)y
1
x2
65x
540
1(x
325)211102.5.
10
10
∴当x
325时,y有最大值11102.5.
但是,当月租金为325元时,租出设备套数为
34.5,而
34.5不是整数,故租出设备应为
34套或35套.即当月租金为为330元(租出34套)或月租
金为320元(租出
35套)时,租赁公司的月收益最大,最大月收益均为
11100元.
16.如图,抛物线
2
1个单位得到抛物线
y2,回答下列问题:
y1=﹣x+2向右平移
(1)抛物线y2的顶点坐标
(1,2)
;
(2)阴影部分的面积
S=
2
;
(3)若再将抛物线
y2绕原点
O旋转180°得到抛物线y3,求抛物线y3的解析式.
9
考点:
二次函数图象与几何变换.
分析:
直接应用二次函数的知识解决问题.
解答:
解:
(1)读图找到最高点的坐标即可.故抛物线
y2的顶点坐标为(1,2);(2分)
(2)把阴影部分进行平移,可得到阴影部分的面积即为图中两个方格的面积
=1×2=2;
(6分)
(3)由题意可得:
抛物线
y3的顶点与抛物线
y2的顶点关于原点O成中心对称.
所以抛物线y3的顶点坐标为(﹣1,﹣2),于是可设抛物线y3的解析式为:
y=a(x+1)
2﹣2.由对称性得a=1,
所以y3=(x+1)2﹣2.(10
分)
2
交x轴正半轴于A,B两点,交y轴于点C,
20.(1999?
烟台)如图,已知抛物线y=ax+bx+
且∠CBO=60°,∠CAO=45°,求抛物线的解析式和直线
BC的解析式.
考点:
待定系数法求二次函数解析式;待定系数法求一次函数解析式.
分析:
根据抛物线的解析式,易求得C点的坐标,即可得到OC的长;可分别在Rt△OBC和Rt△OAC中,通过解直角三角形求出OB、OA的长,即可得到A、B的坐标,进而可运用待定系数法求得抛物线和直线的解析式.
解答:
解:
由题意得C(0,)
在Rt△COB中,∵∠CBO=60°,∴OB=OC?
cot60°=1
10
∴B点的坐标是(1,0);(1分)在Rt△COA中,∵∠CAO=45°,
∴OA=OC=
∴A点坐标(
,0)
由抛物线
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