北师大版本二年级上册 小学数学解题思路大全.docx
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北师大版本二年级上册小学数学解题思路大全
1.想数码
例如,1989年“从小爱数学”邀请赛试题6:
两个四位数相加,第一个四位数的每一个数码都不小于5,第二个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置。
某同学的答数是16246。
试问该同学的答数正确吗?
(如果正确,请你写出这个四位数;如果不正确,请说明理由)。
思路一:
易知两个四位数的四个数码之和相等,奇数+奇数=偶数,偶数+偶数=偶数,这两个四位数相加的和必为偶数。
相应位数两数码之和,个、十、百、千位分别是17、13、11、15。
所以该同学的加法做错了。
正确答案是
思路二:
每个数码都不小于5,百位上两数码之和的11只有一种拆法5+6,另一个5只可能与8组成13,6只可能与9组成15。
这样个位上的两个数码,8+9=16是不可能的。
不要把“数码调换了位置”误解为“数码顺序颠倒了位置。
”
2.尾数法
例1 比较1222×1222和1221×1223的大小。
由两式的尾数2×2=4,1×3=3,且4>3。
知1222×1222>1221×1223
例2 二数和是382,甲数的末位数是8,若将8去掉,两数相同。
求这两个数。
由题意知两数的尾数和是12,乙数的末位和甲数的十位数字都是4。
由两数十位数字之和是8-1=7,知乙数的十位和甲数的百位数字都是3。
甲数是348,乙数是34。
例3 请将下式中的字母换成适当的数字,使算式成立。
由3和a5乘积的尾数是1,知a5只能是7;
由3和a4乘积的尾数是7-2=5,知a4是5;……不难推出原式为
142857×3=428571。
3.从较大数想起
例如,从1~10的十个数中,每次取两个数,要使其和大于10,有多少种取法?
思路一:
较大数不可能取5或比5小的数。
取6有6+5;
取7有7+4,7+5,7+6;
…………………………………………
取10有九种10+1,10+2,……10+9。
共为1+3+5+7+9=25(种)。
思路二:
两数不能相同。
较小数为1的只有一种取法1+10;为2的有2+9,2+10;……较小数为9的有9+10。
共有取法1+2+3+4+5+4+3+2+1=25(种)
这是从较小数想起,当然也可从9或8、7、……开始。
思路三:
两数和最大的是19。
两数和大于10的是11、12、…、19。
和是11的有五种1+10,2+9,3+8,4+7,5+6;和是11~19的取法 5+4+4+3+3+2+2+1+1=25(种)。
4.想大小数之积
用最大与最小数之积作内项(或外项)的积,剩的相乘为外项(或内项)的积,由比例基本性质知
交换所得比例式各项的位置,可很快列出全部的八个比例式。
5.由得数想
例如,思考题:
在五个0.5中间加上怎样的运算符号和括号,等式就成立?
其结果是
0,0.5,1,1.5,2。
从得数出发,想:
两个相同数的差,等于0;
一个数加上或减去0,仍等于这个数;
一个因数是0,积就等于0;
0除以一个数(不是0),商等于0;
两个相同数的商为1;
1除以0.5,商等于2;……
解法很多,只举几种:
(0.5-0.5)×0.5×0.5×0.5=0
0.5-0.5-(0.5-0.5)×0.5=0
(0.5+0.5+0.5)×(0.5-0.5)=0\
(0.5+0.5-0.5-0.5)×0.5=0
(0.5-0.5)×0.5×0.5+0.5=0.5
0.5+0.5+0.5-0.5-0.5=0.5
(0.5+0.5)×(0.5+0.5—0.5)=0.5
(0.5+0.5)×0.5+0.5-0.5=0.5
(0.5-0.5)×0.5+0.5+0.5=1
0.5÷0.5+(0.5-0.5)×0.5=1
(0.5-0.5)÷0.5+0.5+0.5=1
(0.5+0.5)÷0.5-(0.5+0.5)=1
0.5-0.5+0.5+0.5÷0.5=1.5
(0.5+0.5)×0.5+0.5+0.5=1.5
0.5+0.5+0.5+0.5-0.5=1.5
0.5÷0.5+0.5÷0.5-0.5=1.5
0.5÷0.5÷0.5+0.5-0.5=2
(0.5+0.5)÷0.5+0.5-0.5=2
(0.5+0.5+0.5-0.5)÷0.5=2
[(0.5+0.5)×0.5+0.5]÷0.5=2
.想平均数
思路一:
由“任意三个连续自然数的平均数是中间的数”。
设第一个数为“1”,则中间数占
知这三个数是14、15、16。
二、一个数分别为
16-1=15,
15-1=14或16-2=14。
若先求第一个数,则
思路三:
设第三个数为“1”,则第二、三个数,
知是15、16。
思路四:
第一、三个数的比是7∶8,第一个数是2÷(8-7)×7=14。
若先求第三个数,则
2÷(8-7)×8=16。
7.想奇偶数
例1 思考题:
在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中,不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号,使所得的结果都等于100。
例如
1+23-4+5+6+78-9=100123+45-67+8-9=100
你还能想出不同的添法吗?
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。
若去掉7和8间的“+”,式左为1+2+3+4+5+6+78+9,比原式和增大了78-(7+8)=63,即
1+2+3+4+5+6+78+9
=45+63=108。
为使其和等于100,式左必须减去8。
加4改为减4,即可1+2+3-4+5+6+78+9=100。
“减去4”可变为“减1、减3”,即-1+2-3+4+5+6+78+9=100二年级小学生没学过负“-1”,不能介绍。
如果式左变为
12+3+4+5+6+7+89。
[12-(1+2)]+[89-(8+9)]=81。
即12+3+4+5+6+7+89=45+81=100+26。
要将“+”变为“-”的数和为13,在3、4、5、6、7中有6+7,3+4+6,因而有
12+3+4+5-6-7+89=100,
12-3-4+5-6+7+89=100,
同理得
12+3-4+5+67+8+9=100,
1+23-4+56+7+8+9=100,
1+2+34-5+67-8+9=100,
123-4-5-6-7+8-9=100,
123+4-5+67-89=100,
123-45-67+89=100。
为了减少计算。
应注意:
(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号),结果为100呢?
1、23、5、7、89的和或差是奇数,4、6的和或差是偶数,奇数±偶数=奇数,结果不会是100。
(2)有一个是四位数,结果也不可能为100。
因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789,再减去余下的56,差大于100。
例2求59~199的奇数和。
由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方
1+3+5+7+……+(2n-1)=n2
奇数比它对应的序数2倍少1。
用n表示任意一个自然数,它对应的奇数为2n-1。
例如,32对应奇数2×32-1=63。
奇数199,从1起的连续奇数中排列在100(2n-1=199,n=100)的位置上。
知1~199的奇数和是1002=10000。
此和包括59,2n-1=57、n=29、1~57的奇数和为292=841。
所求为10000-841=9159。
或者59=30×2-1,302=900,
10000-900+59=9159。
例1思考题:
在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中,不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号,使所得的结果都等于100。
例如
1+23-4+5+6+78-9=100123+45-67+8-9=100
你还能想出不同的添法吗?
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。
若去掉7和8间的“+”,式左为1+2+3+4+5+6+78+9,比原式和增大了78-(7+8)=63,即
1+2+3+4+5+6+78+9
=45+63=108。
为使其和等于100,式左必须减去8。
加4改为减4,即可1+2+3-4+5+6+78+9=100。
“减去4”可变为“减1、减3”,即-1+2-3+4+5+6+78+9=100二年级小学生没学过负数“-1”,不能介绍。
如果式左变为
12+3+4+5+6+7+89。
[12-(1+2)]+[89-(8+9)]=81。
即12+3+4+5+6+7+89=45+81=100+26。
要将“+”变为“-”的数和为13,在3、4、5、6、7中有6+7,3+4+6,因而有
12+3+4+5-6-7+89=100,
12-3-4+5-6+7+89=100,
同理得
12+3-4+5+67+8+9=100,
1+23-4+56+7+8+9=100,
1+2+34-5+67-8+9=100,
123-4-5-6-7+8-9=100,
123+4-5+67-89=100,
123-45-67+89=100。
为了减少计算。
应注意:
(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号),结果为100呢?
1、23、5、7、89的和或差是奇数,4、6的和或差是偶数,奇数±偶数=奇数,结果不会是100。
(2)有一个是四位数,结果也不可能为100。
因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789,再减去余下的56,差大于100。
例2求59~199的奇数和。
由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方
1+3+5+7+……+(2n-1)=n2
奇数比它对应的序数2倍少1。
用n表示任意一个自然数,它对应的奇数为2n-1。
例如,32对应奇数2×32-1=63。
奇数199,从1起的连续奇数中排列在100(2n-1=199,n=100)的位置上。
知1~199的奇数和是1002=10000。
此和包括59,2n-1=57、n=29、1~57的奇数和为292=841。
所求为10000-841=9159。
或者59=30×2-1,302=900,
10000-900+59=9159。
8.约倍数积法
任意两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积,等于这两个自然数的积。
证明:
设M、N(都是自然数)的最大公约数为P,最小公倍数为Q、且M、N不公有的因数各为a、b。
那么M×N=P×a×P×b。
而Q=P×a×b,
所以M×N=P×Q。
例1甲乙两数的最大公约数是7,最小公倍数是105。
甲数是21,乙数是多少?
例2 已知两个互质数的最小公倍数是155,求这两个数。
这两个互质数的积为1×155=155,还可分解为5×31。
所求是1和155,5和31。
例3 两数的最大公约数是4,最小公倍数是40,大数是数的2.5倍,求各数。
由上述定理和题意知两数的积,是小数平方的2.5倍。
小数的平方为4×40÷2.5=64。
小数是8。
大数是8×2.5=20。
算理:
4×40=8×20=8×(8×2.5)=82×2.5。
9.想份数
10巧用分解质因数
例1 四个比1大的整数的积是144,写出由这四个数组成的比例式。
144=24×32
=(22×3)×[(2×3)×2]
=(4×3)×(6×2)
可组成4∶6=2∶3等八个比例式。
例2 三个连续自然数的积是4896,求这三个数。
4896=25×32×17
=24×17×(2×32)
=16×17×18
1728=26×33=(22×3)3=123
385=5×7×11
例4 1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题3:
找出1992的所有不同的质因数,它们的和是多少?
1992=2×2×2×3×83
2+3+83=88
例5 甲数比乙数大9,两数的积是1620,求这两个数。
1620=22×34×5
=(32×22)×(32×5)
甲数是45,乙数是36。
例6 把14、30、33、75、143、169、4445、4953分成两组,每组四个数且积相等,求这两组数。
八个数的积等于2×7×2×3×5×3×11×3×5×5×11×13×13×13×5×7×127×3×13×127。
每组数的积为2×32×52×7×11×132×127。
两组为
例7 600有多少个约数?
600=6×100=2×3×2×2×5×5
=23×3×52
只含因数2、3、5、2×3、2×5、3×5、2×3×5的约数分别为:
2、22、23;
3;
5、52;
2×3、22×3、23×3;
2×5、22×5、23×5、2×52、22×52、23×52;
3×5、3×52;
2×3×5、22×3×5、23×3×5、2×3×52、22×3×52、23×3×52。
不含2×3×5的因数的数只有1。
这八种情况约数的个数为;
3+1+2+3+6+2+6+1=24。
不难发现解题规律:
把给定数分解质因数,写成幂指数形式,各指数分别加1后相乘,其积就是所求约数的个数。
(3+1)×(1+1)×(2+1)=24。
∙【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题
17.想法则
用来说明运算规律(或方法)的文字,叫做法则。
子比分母少16。
求这个分数?
由“一个分数乘以5,是分子乘以5分母不变”,结果是分子的5倍比3倍比分母少16。
知
分子的5-3=2(倍)是2+16=18,分子为18÷2=9,分母为9×5-2=43或9×3+16=43。
18.想公式
证明方法:
以分母a,要加(或减)的数为
(2)设分子加上(或减去)的数为x,分母应加上(或减去)的数为y。
19.想性质
例1 1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题6:
有甲、乙两个多少倍?
200÷16=12.5(倍)。
例2 思考题:
三个最简真分数,它们的分子是连续自然数,分母大于10,且它们最小公分母是60;其中一个分数的值,等于另两个分数的和。
写出这三个分数。
由“分母都大于10,且最小公分母是60”,知其分母只能是12、15、20;12、15、30;12、15、60。
由“分子是连续自然数”,知分子只能是小于12的自然数。
满足题意的三个分数是
(二)第400个分数是几分之几?
此题特点:
(2)每组分子的排列:
假设某一组分数的分母是自然数n,则分子从1递增到n,再递减到1。
分数的个数为n+n-1=2n-1,即任何一组分数的个数总是奇数。
(3)分母数与分数个数的对应关系,正是自然数与奇数的对应关系
分母:
1、2、3、4、5、……
分数个数:
1、3、5、7、9、……
(4)每组分数之前(包括这组本身)所有分数个数的和,等于这组的组号(这一组的分母)的平方。
例如,第3组分数前(包括第3组)所有分数个数的和是32=9。
10×2-1-6=13(个)位置上。
分别排在81+7=88(个),81+13=94(个)的位置上。
或者102=100,100-12=88。
100-6=94,88+6=94。
问题
(二):
由上述一串分数个数的和与组号的关系,将400分成某数的平方,这个数就是第400个分数所在的组数400=202,分母也是它。
第400个分数在第20组分数中,400是这20组分数的和且正好是20的平方无剩余,故可断定是最后一个,即
若分解为某数的平方有剩余,例如,第415个和385个分数各是多少。
逆向思考,上述的一串分数中,分母是35的排在第几到第几个?
352-(35×2-1)+1
=1225-69+1=1157。
排在1157-1225个的位置上。
20.由规则想
例如,1989年从小爱数学邀请赛试题:
接着1989后面写一串数字,写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数字。
例如,8×9=72,在9后面写2,9×2=18,在2后面写8,……得到一串数:
1989286……
这串数字从1开始往右数,第1989个数字是什么?
先按规则多计算几个数字,得198********86884……显然,1989后面的数总是不断重复出现286884,每6个一组。
(1989-4)÷6=330……5
最后一组数接着的五个数字是28688,即第1989个数字是8。
21.用规律
例1 第六册P62第14题:
选择“+、-、×、÷”中的符号,把下面各题连成算式,使它们的得数分别等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
(1)22222=0
(2)22222=1
……
(10)22222=9
解这类题的规律是:
先想用两、三个2列出,结果为0、1、2的基本算式:
2-2=0,2÷2=1;
再联想2-2÷2=1,2×2÷2=2,2÷2+2=3,……
每题都有几种选填方法,这里各介绍一种:
2÷2+2÷2-2=0
2÷2×2-2÷2=1
2-2+2÷2×2=2
2×2+2÷2-2=3
2×2×2-2-2=4
2-2÷2+2×2=5
2+2-2+2×2=6
2×2×2-2÷2=7
2÷2×2×2×2=8
2÷2+2×2×2=9
例2 第六册P63题4:
写出奇妙的得数
2+1×9=
3+12×9=
4+123×9=
5+1234×9=
6+12345×9=
得数依次为11、111、1111、11111、111111。
此组算式的特点:
第一个加数由2开始,每式依次增加1。
第二个加数由乘式组成,被乘数的位数依次为1、12、123、……继续写下去
7+123456×9=1111111
8+1234567×9=11111111
9+12345678×9=111111111
10+123456789×9=1111111111
11+1234567900×9=11111111111
12+12345679011×9=111111111111
……
很自然地想到,可推广为
(1)当n=1、2时,等式显然成立。
(2)设n=k时,上式正确。
当n=k+1时
k+1+123…k×9
=k+1+[123…(k-1)×10+k]×9
=k+1+123…(k-1)×9×10+9k
=[k+123…(k-1)×9]×10+1
根据数学归纳法原理,由
(1)、
(2)可断定对于任意的自然数n,此等式都成立。
例3 牢记下面两个规律,可随口说出任意一个自然数作分母的,所有真分数的和。
(1)奇数(除1外)作分母的所有真分数的和、是(分母-1)÷2。
=(21-1)÷2=10。
22.巧想条件
比5小,分母是13的最简分数有多少个。
7~64为64-(7-1)=58(个),去掉13的倍数13、26、39、52,余下的作分子得54个最简分数。
例2 一个整数与1、2、3,通过加减乘除(可添加括号)组成算式,若结果为24这个整数就是可用的。
4、5、6、7、8、9、10中,有几个是可用的。
看结果,想条件,知都是可用的。
4×(1+2+3)=24
(5+1+2)×3=24
6×(3+2-1)=24
7×3+1+2=24
8×3÷(2-1)=24
9×3-1-2=24
10×2+1+3=24
23.想和不变
无论某数是多少,原分数的分子与分母的和7+11=18是不变的。
而新分数的分子与分母的和为1+2=3,要保持原和不变,必同时扩大18÷3=6(倍)。
某数为7-6=1或12-11=1。
24.想和与差
算理,原式相当于
求这个分数。
25.想差不变
分子与分母的差41-35=6是不变的。
新分数的此差是8-7=1,要保持原差不变,新分数的分子和分母需同时扩大6÷1=6(倍)。
某数为42-35=7,或48-41=7。
与上例同理。
23-11=12,3-1=2,12÷2=6,
某数为11-6=5或23-18=5。
分子加上3变成1,说明原分数的分子比分母小3。
当分母加上2后,分子比分母应小3+2=5。
26.想差的1/2
对于任意分母大于2的同分母最简真分数来说,其元素的个数一定是偶数,和为这个偶数的一半。
分母减去所有非最简真分数(包括分子和分母相同的这个假分数)的个数,差就是这个偶数。
例1 求分母是12的所有最简真分数的和。
由12中2的倍数有6个,3的倍数有4个,(2×3)的倍数2个,知所求数是
例2 分母是105的,最简真分数的和是多少?
倍数15个,(3×5)、(5×7)、(3×7)的倍数分别是7、3、5个,(3×5×7)的倍数1个。
知
105-[(35+21+15)-(3+5+7)+1]=48,
48÷2=24。
27.借助加减恒等式
个数。
若从中找出和为1的9个分数,将上式两边同乘以2,得
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