思维的研究与研究的思维.docx
- 文档编号:24057573
- 上传时间:2023-05-23
- 格式:DOCX
- 页数:30
- 大小:88.51KB
思维的研究与研究的思维.docx
《思维的研究与研究的思维.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《思维的研究与研究的思维.docx(30页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
思维的研究与研究的思维
思维的研究与研究的思维
摘要:
本文首先阐述了数学思维方法和数学哲学思想在学术研究中的重要地位。
然后以数学发展过程中的几次危机为主线介绍了数学发展简史,着重分析了数学发展的每个阶段中的数学思想的特点及其发展历程。
罗列了当今数学思想形态的三大学派,分析和对比了各个学派的数学思想方法的大体结构,并针对每个学派的常用的思维方法进行了总结性介绍,指出了各种思想方法的优缺点。
最后,叙述了现代数学发展中的新的观点和方法特征。
以期对有志于学术研究的新手起到一定的指导作用。
道可道,非常道
名可名,非常名
——老子
0、引子
在一次师门讨论会上,我的导师殷建平教授对我们说:
“到大学里来,不是为了选几门课,并考几个100分,而是要学会4种能力:
会学习,会做人,会合作,会做事。
”他认为,首先是要学会学习,学会如何领悟和掌握一门新的知识,而不要仅仅成为知识的存储器;学校作为社会的一个仿真环境,学生要在学校学会做人,学会团结与协作,因为人是社会关系的产物(马克思主义哲学就是这么认为的);最后还要至少学会一个足以安身立命的手艺。
从寒假开始,我小小地浏览了几本介绍数学方法论的书,才知道自己以前根本不知道该怎么去思维,也不知道曾经的那些思维到底是什么样的思维,这些思维有什么样的局限性和进步性,更不知道到底是谁让我们曾经这样思维,而没有那样思维。
回想起来,真可谓幽梦初醒,感触良多。
今天心血来潮,索性胡侃瞎吹,跟大家交流交流。
1、思维的研究在研究中的地位
《笑傲江湖》中有这样一件事,华山派因为上层领导意见不合,导致华山派分成两大派别——剑派和气派。
剑派的主要观点是,剑术要用剑招领衔,治敌当首先在招式上压倒对方,内功怎么样关系不大,关键是招式要稳、准、狠;气派的基本理念是,剑术需以内功为上,取胜要在内功上更胜一筹,剑招朴素点没关系,只要内功深厚,再简单的招式也足以致敌于死地。
事实上,我们现在每天学的东西也不外乎剑招和内功。
任何一个具体的技术都是剑招,电脑,外语,医术,社交等等都可以是我们掌握的剑招,每一种招式都可以让我们在一定程度上战胜生活中的对手:
有房无房,有面包没面包的矛盾。
而思维方法就是内功,只有内功修为到了,才能真正地掌握剑招的精妙。
学会剑招之后,又必须赖以内功,方能使得剑招淋漓尽致,在任何场合下都能发挥最大功效。
只有剑招,没有内功,永远只能是工程师,但当工程师只有当到爱迪生那个份上,才能称得上一个剑招的大侠。
光有内功,不学剑招也肯定成不了大侠。
之所以现在看起来非常伟大的那些牛人生前好多都是穷困潦倒,孤苦伶仃,就是因为他们只修内功,而没有学会什么剑招。
日本的米山国藏说:
“……学生们在初中、高中接受的数学知识因毕业了进入社会后,几乎没有什么机会应用这些作为知识的数学,所以通常是出校门不到一、两年就很快忘掉了。
然而,不管他们从事什么业务工作,惟有深深铭刻在其头脑中的数学精神,数学的思维方法,研究方法和着眼点等都随时随地地发生作用,使他们终生受益。
”事实上也是这样,大凡真正的高手,往往是“十八般武艺样样精通,”原因就是他们练好了内功,掌握了学习武艺的方法,学什么上手都快,进步也快。
国防科技大学计算机学院政委刘乔一说:
“什么叫素质?
素质就是学了很多知识,然后把所有的知识都忘掉,剩下的就是素质。
”刘政委的论断跟米山国藏的说法有异曲同工之妙,他们都强调知识背后的那些暗中支配我们行动的思想、动机和因素,也就是思维方法。
可见,思维方法是成就一个人的非常底层的因素。
毫不为过地说,一个人能否成就大侠,归根到底要看他的内功,看他的思维方法。
研究这些思维方法也就显得不是吃饱饭撑的了。
2、数学地思维并哲学地思考
A.N.Rao指出:
“一个国家的科学的进步可以用他消耗了多少数学来衡量。
”
康德认为:
“在任何特定的理论中,只有其中包含数学的部分才是真正的科学。
”
华罗庚说:
“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,无处不用数学。
”
不仅有这些大侠可以狐假虎威,事实上也的确如此,几乎没有任何一门自然科学不以数学作为他的基石。
任何一门科学都以数学为载体向人们传达信息,任何一个成果的光辉无不映射出数学的影子。
这点大概不需要太多的口舌去证明。
所以,当我们谈起思维方法的时候,我们狭义地专指数学方法,这是不足为过的。
从现在开始,仅讨论数学的思维方法,想必大家也不会因为与专业联系不紧密而感到无聊了。
数学——想说爱你并不是很容易的事。
不论数学对生产力的进步有多么大的推动作用,还是有很多人只能在数学的大门外徘徊。
数学本身好比是一座精美的大厦,流光溢彩,鲜艳夺目。
但是,大厦的每一层建好之后,他的建设者就将他的脚手架拆除了,更致命的是几乎没有人看见这个建设者是怎么搭脚手架的。
所以,人们看到的永远是一个令人敬畏的数学成品。
如果我们能看到数学大厦建好之前布满其周围的脚手架和施工工具,再看到被粉刷和上彩之前的那个狼狈的墙壁,我们也许会感觉建造这座大厦跟自己盖的那个猪圈没有什么不同。
发现真理还是发明真理?
在我刚考上研究生的时候,曾一直肆无忌惮地嘲笑过这样的发问者,但现在又日益后悔当初的无知。
作为一个马克思主义者,我当然应该相信真理是发现的,因为“那是老天爷安排好了的”。
这样的一个理念一方面使人们在他的理论在实践中得到验证而倍受鼓舞,同时也激励着人们孜孜不倦地去努力揣摩老天爷的意图。
正是这些似乎是老天爷早已放在茫茫宇宙的一个角落的设计草稿的一角的存在,在纸上发现的那个星球让他的发现者扬名立万,也让亚历山大·蒲柏在“哦,上帝啊,为什么2加2等于4?
”的迷茫中一步步迈向认识世界的深处。
但是,在数学的历史长河中掀起引人注目的那些大浪的一个个定理却让人惊讶地看到,人造的工具好像更能揭开大自然神秘的面纱。
从
到海森堡发明的那个连乘法交换率都不满足以至于遭到了数十年非难的矩阵;从奇妙的无限不循环的圆周率到薛定谔拼凑出来的那个波粒方程,一直到现代的难以让人完全信服的量子理论的解释和形形色色的复杂无比的数学公式,无不让人怀疑老天爷是不是真的那么无聊,整出这些让人简直无法想象的怪物。
但不管这些定理,这些符号多么地局限于狭小的领域,无论他们看上去多么滑稽,甚至每隔一段时间都会被证明是有缺陷的乃至错误的,龙宫里照样被人类打上了“到此一游”的标记,嫦娥的寝室里也照样布满了人类的足迹。
真理到底能不能发明,还是人类恰好猜对了老天爷出的谜语,这些无疑要求搞科研的人做出抉择,或者放弃一种思维,或者选择另一种方法。
什么样的哲学观就有什么样的哲学方式。
因此,在下文中,将那些思维着的数学家和哲学家混为一谈也是可以理解的了。
3、思维的研究
3.1符号——人类思维的杰作
。
不记得是哪个高等学术机构了,其大厅上甚至没有任何一个伟人的头像和生平事迹的介绍,而是孤苦伶仃地镶刻着这样一个公式。
数学的五虎上将0,1,
,
,
不仅吸收了数学家们的大部分精力,也更在人们认识和改造世界的进程中屡立战功。
特别地,他们竟然有如此密切的血缘关系,这简直匪夷所思,引起人类的无限遐想。
?
why?
这些古怪的符号到底是个什么东西?
我都不敢称他们是数。
单看任何一个符号都足以让人发疯。
0和1分别是数域中加法和乘法的么元,倒还可以接受,
,
?
让他见鬼去吧!
和
呢?
无限不循环小数。
什么是无限?
它是客观存在的吗?
如果他们是“有”,那么他们就应该有“有”的三大性质:
质,量,度。
那么他是什么样子?
有多“大”?
万一超过了一个度,他们又是什么?
一个比无限更厉害的东西?
,不可想象。
但假如他们是“无”,那么这些“无”堆到一起又是什么?
他们对世界的描述(也许根本称不上是描述)的景象是什么样子?
他们到底是天才与老天爷达成的一致还是编纂出来打算弄懵那些博士学位评定委员会成员的呢?
但不管怎么样,这些神奇的符号曾经极大地激发了许多人对数学发展的历史的兴趣。
在探索这些天才的咒语的过程中,你又会被一层层覆盖着曾经辉煌过的王冠的发黄的“绸缎”而惊叹不已。
3.2数学发展简史
“研究一门科学,最好的办法之一就是研究它的历史。
”
通过站在全局的高度看数学,我们可以理解我们曾经学过的和未曾学过的各门课程在数学上的地位,也能更好地理解各门学科的产生背景、研究目的和研究方法。
从而为我们合理地评价和补充我们自身的知识结构提供一些启发。
特别地,数学的发展史是一个情节曲折,引人入胜的故事剧。
从中我们可以看到,她的每次经历危机和度过危机都蕴藏着一代甚至几代高手令人叹为观止的思维内涵。
数学经历的几次危机都反映了人们对数学的基础的问题思考。
就让我们在浏览数学经历的几次危机并每次都逢凶化吉,遇难呈祥的绝妙的历史剧中来景仰前辈们的风采并寻找自己进步的灵感吧。
3.2.1第一次数学危机——
容易相信,Longlongago,没有人(那些刚从猴子变过来的动物)能知道什么
,
,
。
这些鬼魂样的东西是在数学的如此漫长的发展过程中不小心撞到了某位天才的灵感并被抓住了的。
数学,作为人类描述世界的语言和工具,逐渐从简单的记数和测量发展到现代有点令人眩晕的高级形式,跟一块打磨的石头“进化”成机关枪没有什么两样,都是应对付越来越难对付的怪兽之需而问世的。
刚开始,人们只使用整数来度量他们的世界,因为整数最形象,最容易被那时候智力还没有发育好的人所接受。
在那些连衣服都不会做的日子里,所有的数学就是凭借着若干个智者的直觉和经验而缓慢地向前爬行。
一块肉被割成两块,他们也绝不会在骨头上刻上
(事实上,古埃及人和古巴比伦人认识到了分数,甚至
、
这样的无理数,但在实际应用中使用近似值代替)。
当然,虽然这些现代人看起来明显不合理的描述曾让那时候的智者们确实感到过不好意思,但他们仍然坚信“万物皆依赖于整数,”因为这是上帝的旨意。
在整数的海洋里乘风破浪的智者们惴惴不安地修炼了几个世纪,渐渐变得筋疲力尽,举步维艰。
直到公元前5世纪,毕达哥拉斯发现了商高定理,极大地冲击了枯朽的旧数学观。
其力度之大足以使100头即使是最强壮的公牛都瑟瑟发抖。
商高定理最革命的一点就是导致了无理数的发现,这让毕拉哥拉斯学派感到很受伤。
首先,这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心,即“万物皆依赖于整数”的致命一击,他们弄不清
要底是怎样依赖于整数的;其次,这与直觉相矛盾,因为人们在直观上总是诊断任何两个线段都是可以公度(比较)的,而毕达哥拉斯学派的比例和相似形的全部理论都是建立在这一假设上的,现在突然之间坍塌了。
这个“逻辑上的丑闻”是如此可怕的,以致毕达哥拉斯学派对此严守秘密。
据说希帕苏斯(毕达哥拉斯学派的一个学员,正是他发现了
)把这个秘密泄露了出来,结果被抛进大海,还又人说他被逐出学派,然后为他立了个墓碑,并对外宣称他已经死了。
纸里是包不住火的,无理数的发现暴露了一个问题,把直觉而经验的整数作为数学的基础是靠不住的,人们惊恐地怀疑自己什么时候被老天爷开了个玩笑。
这在数学史上被称为第一次危机。
他促使数学家们从直觉地搞科研转型到了逻辑推理。
3.2.2第二次数学危机——
既然直觉是靠不住的,最强烈的呼声就是将数学的基础往逻辑推理上挪,似乎只有严密的逻辑推理才能排除直觉上的疏漏带来的数学的错误。
代数不可靠了,几何就顺理成章地成了从事数学研究的基础。
古希腊最伟大的数学家之一欧多克斯(Eudoxs,公元前408年左右——355年)最早解决了如何用几何来研究无理数的问题。
此后两千年间,几何成了全部严密数学的基础。
以后,伟大的文艺复兴重新洗礼了人们的思想(初中上历史课时,由于老师让我们背诵文艺复兴的意义,我恨了他好多年。
现在看来,真是太不应该了,即使在每座大学的主楼上挂上80×2米见方的横幅来歌颂文艺复兴也不算过分),他们重新认识到代数完全没有必要一辈子做几何的奴婢。
笛卡儿就是这样一个“第一个把代数放在数学基础地位上的人。
”他重建了解析几何——这门用代数方法来研究几何的科学。
代数地位的提高极大地促进了初等数学向变量数学的发展,而变量数学发展的一个里程碑就是微积分的创立。
但是,当牛顿和莱布尼兹为牛莱公式的发明专利争吵得面红耳赤的时候,谁也没有注意到万里晴空的边缘漂着的一小块乌云。
等这一小块乌云慢慢地越来越靠近的时候,数学家们才更加惊恐地发现这块乌云足以遮挡他们的整个晴空。
1734年,英国哲学家,大主教贝克莱发表了《分析学家,或者向一个不信正教的数学家的进言》,矛头直指基于逻辑推理的微积分的基础无穷小,提出所谓的贝克来悖论。
他指出:
“牛顿在求
的流数的时候,采取了这样的方法,他先给
以增量0,应用二项式展开式
,从中减去
以求得
的增量,并除以0以求出
的增量与
的增量的比,然后又让0消失,这样得出增量(或流数)的最终比。
这里,牛顿做了违反矛盾率的手续——首先设
有增量,又令该增量为0,也即假设
没有增量。
”他认为无穷小
即等于0又不等于0,召之即来,挥之即去,这是荒谬的,“
是逝去量的鬼魂。
”
这不啻一个晴天霹雳!
事实上,造成崇尚逻辑推理的信徒们非常郁闷的东西还有很多,不光是
,
,甚至“简单”的-1也曾足以让他们食不甘味,夜不能寝。
因为,尽管逻辑推理的过程严密得让再挑剔的嘴巴都哑口无言,但他们用以进行逻辑推理的原材料却缺乏坚实的逻辑基础。
当时有许多数学家都认为
甚至-1都是没有意义的,也许是因为当时没有物理意义。
虽然这些很“虚”的小东东还不足以引起数学的什么危机,但还是激发了哲学家们圆谎的决心。
因为他们知道,自己也的确面临着数学的又一次危机。
在度过数学的第二次危机的那些日子里,数学家们为了让无穷小能给人们一个合理的交代绞尽了脑汁。
柯西等人提出了极限理论,认为无穷小是一个极限为0的变量,这多少给人类一点点能够自圆其说的感觉。
但是,柯西思想有一定的模糊性,甚至产生逻辑矛盾。
19世纪后期的数学家们发现使柯西产生逻辑矛盾的问题的原因在奠定微积分基础的极限概念上。
严格地说柯西的极限概念并没有真正地摆脱几何直观,确实地建立在纯粹严密的代数的基础上
于是,许多受分析基础危机影响的数学家致力于分析的严格化。
在这一过程中,都涉及到对微积分的基本研究对象——连续函数的描述。
在数与连续性的定义中,又涉及关于无限的理论。
因此,外尔斯托拉斯、康托(师徒)等人又在极限理论的基础上提出了集合论,并使出了吃奶的劲将微积分这座漂亮的公寓又移到了集合论的基础之上。
然后,他们拍拍手,满意地看着自己的杰作,认为自己终于可以睡个安稳觉了。
3.2.3第三次数学危机——
曾几何时,集合论赋予了数学家们多少胜利的狂喜。
1900年,在巴黎召开的国际数学家大会上,英国大物理学家,大数学家彭加莱耐着内心的激动,平静地宣称:
“现在,我们可以说,完全的严格性已经达到了。
”但事隔两年,深思熟虑的罗素就整出了一个所谓的罗素悖论:
在某一非空全集中,有这样一个确定的集合,这个集合中“只有不属于这个集合的元素”,给那些把自己的论文发表在集合论上并心安理得地接受别人的崇拜的数学家们泼了一头冷水。
正所谓,“辛辛苦苦几十年,一夜回到解放前”。
整个数学大厦摇摇晃晃,岌岌可危。
于是,哲学家们开始动手为集合论打补丁。
甚至有人主张放弃集合论,重新搞一套。
但在希尔伯特的坚持下,大部分数学家还是走上了改良主义的道路,其中最让人兴奋的是策梅罗的公理集合论(这个东西在没有好好学习一遍之前最好不要乱“介绍”)。
特别想强调一下的是:
作为数学的第三次危机爆发的点火者,悖论在现代演绎科学中有着非常重要的地位,因为正是他,号召人们树立正确的无限观,而正如下文所要讲到的那样,正确的无限观是现代数学发展的尤其重要的基础。
也正是在对悖论的多次战役中的胜利,数学才得以进一步地成长,并最终好像度过了第三次危机。
对于悖论的研究和解决,成果如此丰富,以至于由此诞生了许许多多拥有强大生命力的新的数学方法和数学分支。
这里,我就不展开了(事实上,我不敢展开,那太难了),只要知道悖论引发了数学的第三次危机并反过来推动数学进一步发展就可以继续往下看了。
关于悖论,最马克思的说法是这样的:
悖论的实质是主观认识与客观实际的矛盾的反映,对悖论的研究和认识就是对历史局限性的认识,只要具有正确的哲学观,就可以通过悖论的认识实现新的飞跃。
当然,也有的哲学家认为悖论是一种特殊的客观真理,悖论的出现属正常情况。
这两种对立的观点势必造成对悖论的研究的截然相反的结果。
3.2.4数学“危机”的实质
数学“危机”的实质并不是数学自身的危机,只是由于一种旧观念迅速崩溃造成人们认识上的危机,而危机的消除则是人们对旧的数学观的调整。
因此,我们都似乎可以确信,整个科学的发展,实际上就是人们世界观的发展。
第一次数学危机之前,人们认为真理就是来源于直觉和经验。
第二次数学危机之前,人们审慎地对待直觉,提出了逻辑推理,但没有考虑到无限(无限不可数的)。
第三次数学危机之前,人们考虑到了无限,但解决的方案得还不够精确,出现了悖论,说到底,还是没有很好地解决“无限”的问题。
而且,现代集合论的无限观与人类的直觉差距太大了(两条不一样长的线段上的点数竟然是相等的),以至于几乎没有人能放心地接受他。
连续统假设甚至让他的发明人康托住进了精神病院,并于1918年1月6日死于精神分裂症。
3.3数学观的“三大主义”
围绕着哲学观的不同,数学家们被分成三大帮派:
逻辑主义学派、直觉主义学派和形式主义学派。
他们都坚守着自己的思维阵地,试图用自己的思维方法去一统江湖。
3.3.1逻辑主义
逻辑主义学派的追随者们认为应该:
①从少量的逻辑概念出发,去定义全部的数学概念,②从少量的逻辑命题出发,去演绎出全部的数学理论。
这个“少量”是越少越好,必须是一个公理的极小集。
因为公理是靠直觉得来的,只有最少的公理才能保证最少的由于直觉带来的疏漏。
这些道理对于我们20世纪出生的从小就开始经受正规的逻辑训练的人来说,是非常容易理解的。
但我们不能肯定自己有没有上当受骗。
因为老天爷连
,
和
都能弄出来,就不相信他这么懒,只为人类设定了“少量”的几个公理,谁都不知道是不是还有另外一个公理藏在一个阴暗的角落。
显然,一旦存在着没被发现的公理,人类对世界的认识就是片面的。
另外一个问题就是,人类发现的“公理”是不是真的是老天爷亲自设计的那个,如果有一个不是,那么,从这些公理出发得到的定理就是错误的。
对公理是这样,对元推演规则也同样存在这两方面的问题。
欧几里得的《几何原本》是逻辑主义者的圣经,其难以启齿的第五公设暴露出来的“几何原理中的家丑”说明这些担心不是没有根据的。
这也是整个逻辑主义者的“阿喀琉斯的脚后跟”所在,他们无法从逻辑上说明无限!
也正因为如此,给了直觉主义者们一个脱不掉的话尾巴,让他们整天在背后指指戳戳,说三道四。
3.3.2直觉主义
虽然数学是先从直觉,而后逻辑的过程发展而来,但直觉形成主义要比逻辑主义的诞生要晚,因为直觉主义是哲学家们在解释不了逻辑主义者所遇到的难题的时候,回头审视数学的基础的时候总结的。
直觉主义者的基本观点是“事物的本质在于其可构造性”,他们坚信自然数理论是数学的基础。
而自然数理论这种数学对象恰是借助于人类的“原始直觉”创造出来的。
帕斯卡和彭加勒都是直觉主义学派忠实的信徒。
他们都非常讨厌那些繁琐的逻辑推理,他们认为对那些头脑中已经清晰的“显然”的东西再去劳心劳力地推导是“一种迟钝而愚蠢的方法。
”其实,我也很不喜欢做《数理逻辑》课上的类似
这样的证明题。
帕斯卡感慨地说:
“孱弱无能的理智啊,你该有自知之明。
”
彭加勒则在《科学方法论》中对逻辑主义者的关于整数的定义大加讽刺,称它是一个符号的迷宫。
他辛辣地说:
“这对于从未听说过数1的人来说,是个绝好的定义。
”然后,他又对库蒂关于整数的基础零的定义“零就是空类元素的个数”责难说:
“什么是空?
”
在我国古老的佛教宗教中,对空和有的谒语俯拾皆是。
高僧们总是半闭着眼教训小沙弥说:
“万物皆空,空就是有,有就是空,”且往往没有下文,让你慢慢参悟去吧。
于是,一个和尚就在有和空的思考中无欲无求,与世无争地安然度过“平静”的一生。
那么,空到底是什么?
空就是里面什么也没有的佛堂?
有空气;空是真空?
有场;再去掉场,至少还有一个空间……大概只有空本身才是空。
算了,这个东西想多了,非走火入魔不可。
但正如彭加勒所希望的那样,逻辑主义者要想一统江湖就必须回答这个问题,他咬着牙,心里冷笑地发狠道:
“哼,小样,问死你!
”
3.3.3形式主义
经历了逻辑主义者和直接主义者之间江湖纷争的风风雨雨,有一批冷静的旁观者似乎有了自己独到的见解,他们不是作为二者的调停人的身份出现,而是另立山头,扯起了形式主义的大旗。
可能是为了巴结当时武功天下第一的猛将兄希尔伯特,他们都尊希尔伯特为自己的祖师爷。
而事实上,希尔伯特的数学观跟形式主义学派的观点并不完全相同。
但既然形式主义者们没有什么意见,将希尔伯特的数学规划的介绍代替形式主义应该差不太远吧。
希尔伯特规划的核心是:
以形式公理化为基础,以有限立场的推理为工具,去证明整个数学的相容性,从而把数学建立在一个可靠的基础上。
其基本内容包括:
I.证明古典数学的每个分支都可公理化;
II.证明这样的系统是完备的;
III.证明这样的系统是相容的;
IV.证明这样的系统对应的模型是同构的;
V.寻找一种方法,借助于它可以在有限的步骤内判定任一命题的可证明性。
如果希尔伯特成功了,那么整个数学就真的固若金汤了,他的确曾经鼓舞了一代迷茫的学者,让他们看到了光明的前方,给了他们无穷的勇气。
但是(这是一个非常讨厌的,像鬼魂一样附着在你周围的字眼,在数学的发展史上扮演了一次次的刽子手,但又将砍下的脑袋挂在一个让人恍然大悟的地方),1931年,哥德尔的博士论文《论数学原理中的形式不可判定命题及有关系统》提出一个对形式主义有毁灭性打击的推论,即:
哥德尔不完备性定理,宣告希大宗师的规划事实上是个不可能实现的空中楼阁。
哥德尔不完备性定理可简要陈述为:
“若含有自然数理论的形式系统S是相容的,则S中存在逻辑公式G,使得在S中G是不可证明的,且G的非也是不可证明的。
”他的证明方法大致是这样的:
把系统的概念、命题和证明亦即元数学(即:
形式系统)的符号、表达式和表达式序列一一映射为自然数、自然数的有限序列和自然数有限序列的有限序列。
这样,元数学的概念和命题都转化为自然数及其序列的概念和命题,而在系统本身的符号中得到表示。
特别是“公式”、“证明”、“可证公式”等都在系统中获得定义;然后,在系统中构造一个命题G,使其元数学定义为“G是不可证明的”,这是元数学中的命题,记为G';若设G可证明,即G真,则相应地G'真,而据G'的定义又有G不可证明,引出矛盾。
由此G不可证明;既然G不可证明,则G'真,相应地G真,故G的非为假,即G的非不可证明,于是定理获证。
加一句:
若添加G或G的非为系统公理,只能改变系统的结构而不可能使之完备。
从认识论的角度来看,希尔伯特的失败在于他过分夸大了形式研究的作用和形式系统的严格证明对于数学真理性的确定性,而完全否认了无限的概念和方法的客观意义。
尽管形式主义最终没能完成江湖的一统大业,他也确实编修了一本本上乘的武功秘笈。
人们避开了那个让人走火入魔的“无限”的概念,尽情拜倒在他的合理内核下面。
全国优秀教师,国防科技大学的王兵山教授等人在讲授《数理逻辑》课时,对形式系统慎重地作了这样的限制:
1、形式系统的符号集为有穷集或可数集;2、形式系统中的每个项、公式、公理和规则都是递归的,从而他们之间的成员关系是可判定的。
在这样的限制下,形式系统就成了国防科技大学研究生取得学位的必要条件之一。
这三个主义都曾辉煌过,也都失败了。
逻辑主义者挽了一个个漂亮的剑花,但每个剑花都有着同一个漏洞,因为每个花瓣的根端恰好是逻辑主义的死穴——无限。
直觉主义者从不练套路,强调见招拆招,开创了“可构造性”的新门派,对后来的计算机技术的发展起到了重要作用。
但是他们似乎玩得过火了一点。
例如他们甚至否定了排中率,认为可以证明的命题为真,可以反驳或否定可证的为假,在可证明与可反驳之间还存在着另一类命题为“不可
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 思维 研究