数学九年级上北师大版第2章一元二次方程单元测试B.docx
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数学九年级上北师大版第2章一元二次方程单元测试B.docx
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数学九年级上北师大版第2章一元二次方程单元测试B
一元二次方程(B)
一、选择题
1.一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是()
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
2.下列关于x的方程有实数根的是()
A.x2﹣x+1=0B.x2+x+1=0C.(x﹣1)(x+2)=0D.(x﹣1)2+1=0
3.关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为()
A.
B.
C.
D.
4.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,则一次函数y=kx+b的大致图象可能是()
A.
B.
C.
D.
5.关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是()
A.m≤3B.m<3C.m<3且m≠2D.m≤3且m≠2
6.已知关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()
A.k<
B.k>
C.k<
且k≠0D.k>
且k≠0
7.关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()
A.k>﹣1B.k≥﹣1C.k≠0D.k<1且k≠0
8.若a满足不等式组
,则关于x的方程(a﹣2)x2﹣(2a﹣1)x+a+
=0的根的情况是()
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.以上三种情况都有可能
9.一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是()
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.无法确定
10.下列一元二次方程中,有两个相等实数根的是()
A.x2﹣8=0B.2x2﹣4x+3=0C.9x2+6x+1=0D.5x+2=3x2
11.下列一元二次方程有两个相等实数根的是()
A.x2﹣2x+1=0B.2x2﹣x+1=0C.4x2﹣2x﹣3=0D.x2﹣6x=0
12.下列方程中,没有实数根的是()
A.x2﹣4x+4=0B.x2﹣2x+5=0C.x2﹣2x=0D.x2﹣2x﹣3=0
二、填空题
13.已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个实数根,则实数a的取值范围是 .
14.若一元二次方程(m﹣1)x2﹣4x﹣5=0没有实数根,则m的取值范围是 .
15.关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根,则实数a的取值范围是 .
16.已知关于x的一元二次方程x2﹣2
x﹣k=0有两个相等的实数根,则k值为 .
三、解答题
17.已知关于x的一元二次方程(x﹣1)(x﹣4)=p2,p为实数.
(1)求证:
方程有两个不相等的实数根;
(2)p为何值时,方程有整数解.(直接写出三个,不需说明理由)
18.已知关于x的方程(k﹣1)x2﹣(k﹣1)x+
=0有两个相等的实数根,求k的值.
19.已知关于x的一元二次方程
mx2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根.
(1)求m的值;
(2)解原方程.
20.已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=0.
(1)证明:
不论m为何值时,方程总有实数根;
(2)m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根.
21.已知m,n是关于x的一元二次方程x2-3x+a=0的两个解,若mn+m+n=2,求a的值.
22.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长.
(1)如果x=-1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
参考答案
一、选择题
1.一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是()
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
【考点】根的判别式.
【分析】把a=1,b=﹣4,c=5代入△=b2﹣4ac进行计算,根据计算结果判断方程根的情况.
【解答】解:
∵a=1,b=﹣4,c=5,
∴△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4×1×5=﹣4<0,
所以原方程没有实数根.
故选:
D.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2﹣4ac.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
2.下列关于x的方程有实数根的是()
A.x2﹣x+1=0B.x2+x+1=0C.(x﹣1)(x+2)=0D.(x﹣1)2+1=0
【考点】根的判别式.
【专题】计算题.
【分析】分别计算A、B中的判别式的值;根据判别式的意义进行判断;利用因式分解法对C进行判断;根据非负数的性质对D进行判断.
【解答】解:
A、△=(﹣1)2﹣4×1×1=﹣3<0,方程没有实数根,所以A选项错误;
B、△=12﹣4×1×1=﹣3<0,方程没有实数根,所以B选项错误;
C、x﹣1=0或x+2=0,则x1=1,x2=﹣2,所以C选项正确;
D、(x﹣1)2=﹣1,方程左边为非负数,方程右边为0,所以方程没有实数根,所以D选项错误.
故选:
C.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:
当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
3.关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为()
A.
B.
C.
D.
【考点】根的判别式.
【专题】判别式法.
【分析】先根据判别式的意义得到△=(﹣3)2﹣4m>0,然后解不等式即可.
【解答】解:
根据题意得△=(﹣3)2﹣4m>0,
解得m<
.
故选:
B.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:
当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
4.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,则一次函数y=kx+b的大致图象可能是()
A.
B.
C.
D.
【考点】根的判别式;一次函数的图象.
【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,得到判别式大于0,求出kb的符号,对各个图象进行判断即可.
【解答】解:
∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,
∴△=4﹣4(kb+1)>0,
解得kb<0,
A.k>0,b>0,即kb>0,故A不正确;
B.k>0,b<0,即kb<0,故B正确;
C.k<0,b<0,即kb>0,故C不正确;
D.k>0,b=0,即kb=0,故D不正确;
故选:
B.
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.
5.关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是()
A.m≤3B.m<3C.m<3且m≠2D.m≤3且m≠2
【考点】根的判别式;一元二次方程的定义.
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac的意义得到m﹣2≠0且△≥0,即22﹣4×(m﹣2)×1≥0,然后解不等式组即可得到m的取值范围.
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+2x+1=0有实数根,
∴m﹣2≠0且△≥0,即22﹣4×(m﹣2)×1≥0,解得m≤3,
∴m的取值范围是m≤3且m≠2.
故选:
D.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:
当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
6.已知关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()
A.k<
B.k>
C.k<
且k≠0D.k>
且k≠0
【考点】根的判别式.
【专题】计算题.
【分析】根据方程有两个不相等的实数根,得到根的判别式大于0,即可求出k的范围.
【解答】解:
∵方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根,
∴△=4﹣12k>0,
解得:
k<
.
故选A.
【点评】此题考查了根的判别式,熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键.
7.关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()
A.k>﹣1B.k≥﹣1C.k≠0D.k<1且k≠0
【考点】根的判别式;一元二次方程的定义.
【分析】在判断一元二次方程根的情况的问题中,必须满足下列条件:
(1)二次项系数不为零;
(2)在有不相等的实数根时,必须满足△=b2﹣4ac>0
【解答】解:
依题意列方程组
,
解得k<1且k≠0.
故选D.
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.
8.若a满足不等式组
,则关于x的方程(a﹣2)x2﹣(2a﹣1)x+a+
=0的根的情况是()
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.以上三种情况都有可能
【考点】根的判别式;一元一次方程的解;解一元一次不等式组.
【分析】求出a的取值范围,表示出已知方程根的判别式,判断得到根的判别式的值小于0,可得出方程没有实数根.
【解答】解:
解不等式组
得a<﹣3,
∵△=(2a﹣1)2﹣4(a﹣2)(a+
)=2a+5,
∵a<﹣3,
∴△=2a+5<0,
∴方程(a﹣2)x2﹣(2a﹣1)x+a+
=0没有实数根,
故选C.
【点评】此题考查了解一元一次不等式组,一元二次方程根的判别式,根的判别式的值大于0,方程有两个不相等的实数根;根的判别式的值等于0时,方程有两个相等的实数根;根的判别式的值小于0时,方程无实数根.
9.一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是()
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.无法确定
【考点】根的判别式.
【分析】先求出△的值,再判断出其符号即可.
【解答】解:
∵△=32﹣4×2×1=1>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选A.
【点评】本题考查的是根的判别式,熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△的关系是解答此题的关键.
10.下列一元二次方程中,有两个相等实数根的是()
A.x2﹣8=0B.2x2﹣4x+3=0C.9x2+6x+1=0D.5x+2=3x2
【考点】根的判别式.
【分析】分别计算四个方程的判别式的值,然后根据判别式的意义判断各方程根的情况.
【解答】解:
A、x2﹣8=0,
这里a=1,b=0,c=﹣8,
∵△=b2﹣4ac=02﹣4×1×(﹣8)=32>0,
∴方程有两个不相等的实数根,故本选项错误;
B、2x2﹣4x+3=0,
这里a=2,b=﹣4,c=3,
∵△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4×2×3=﹣8<0,
∴方程没有实数根,故本选项错误;
C、9x2+6x+1=0,
这里a=9,b=6,c=1,
∵△=b2﹣4ac=62﹣4×9×1=0,
∴方程有两个相等的实数根,故本选项正确;
D、5x+2=3x2,
3x2﹣5x﹣2=0,
这里a=3,b=﹣5,c=﹣2,
∵△=b2﹣4ac=(﹣5)2﹣4×3×(﹣2)=49>0,
∴方程有两个不相等的实数根,故本选项错误;
故选C.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:
当
△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,
方程没有实数根.
11.下列一元二次方程有两个相等实数根的是()
A.x2﹣2x+1=0B.2x2﹣x+1=0C.4x2﹣2x﹣3=0D.x2﹣6x=0
【考点】根的判别式.
【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可.
【解答】解:
A、∵△=4﹣4=0,
∴方程x2﹣2x+1=0有两个相等实数根;
B、∵△=1﹣4×2<0,
∴方程2x2﹣x+1=0无实数根;
C、∵△=4+4×4×3=52>0,
∴方程4x2﹣2x﹣3=0有两个不相等实数根;
D、∵△=36>0,
∴方程x2﹣6x=0有两个不相等实数根;
故选A.
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
12.下列方程中,没有实数根的是()
A.x2﹣4x+4=0B.x2﹣2x+5=0C.x2﹣2x=0D.x2﹣2x﹣3=0
【考点】根的判别式.
【分析】利用判别式分别判定即可得出答案.
【解答】解:
A、x2﹣4x+4=0,△=16﹣16=0有相同的根;
B、x2﹣2x+5=0,△=4﹣20<0没有实数根;
C、x2﹣2x=0,△=4﹣0>0有两个不等实数根;
D、x2﹣2x﹣3=0,△=4+12>0有两个不等实数根.
故选:
B.
【点评】本题主要考查了根的判别式,解题的关键是熟记判别式的公式.
二、填空题
13.已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个实数根,则实数a的取值范围是 a≤1 .
【考点】根的判别式.
【专题】计算题.
【分析】由方程有两个实数根,得到根的判别式大于等于0,即可确定出a的范围.
【解答】解:
∵方程x2﹣2x+a=0有两个实数根,
∴△=4﹣4a≥0,
解得:
a≤1,
故答案为:
a≤1
【点评】此题考查了根的判别式,熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解本题的关键.
14.若一元二次方程(m﹣1)x2﹣4x﹣5=0没有实数根,则m的取值范围是 m<
.
【考点】根的判别式;一元二次方程的定义.
【分析】据关于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣4x﹣5=0没有实数根,得出△=16﹣4(m﹣1)×(﹣5)<0,从而求出m的取值范围.
【解答】解:
∵一元二次方程(m﹣1)x2﹣4x﹣5=0没有实数根,
∴△=16﹣4(m﹣1)×(﹣5)<0,且m﹣1≠0,
∴m<
.
故答案为:
m<
.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:
当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
15.关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根,则实数a的取值范围是 a>0 .
【考点】根的判别式.
【专题】计算题.
【分析】根据方程没有实数根,得到根的判别式小于0,求出a的范围即可.
【解答】解:
∵方程x2+a=0没有实数根,
∴△=﹣4a<0,
解得:
a>0,
故答案为:
a>0
【点评】此题考查了根的判别式,熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键.
16.已知关于x的一元二次方程x2﹣2
x﹣k=0有两个相等的实数根,则k值为 ﹣3 .
【考点】根的判别式.
【分析】因为方程有两个相等的实数根,则△=(﹣2
)2+4k=0,解关于k的方程即可.
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程x2﹣2
x﹣k=0有两个相等的实数根,
∴△=0,
即(﹣2
)2﹣4×(﹣k)=12+4k=0,
解得k=﹣3.
故答案为:
﹣3.
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式,当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
三、解答题
17.已知关于x的一元二次方程(x﹣1)(x﹣4)=p2,p为实数.
(1)求证:
方程有两个不相等的实数根;
(2)p为何值时,方程有整数解.(直接写出三个,不需说明理由)
【考点】根的判别式.
【分析】
(1)要证明方程总有两个不相等的实数根,那么只要证明△>0即可;
(2)要使方程有整数解,那么
为整数即可,于是p可取0,4,10时,方程有整数解.
【解答】解:
(1)原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0,
∵△=(﹣5)2﹣4×(4﹣p2)=4p2+9>0,
∴不论p为任何实数,方程总有两个不相等的实数根;
,
(2)原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0,
∵方程有整数解,
∴
为整数即可,
∴p可取0,2,﹣2时,方程有整数解.
【点评】本题考查了一元二次方程的根的情况,判别式△的符号,把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键.
18.已知关于x的方程(k﹣1)x2﹣(k﹣1)x+
=0有两个相等的实数根,求k的值.
【考点】根的判别式;一元二次方程的定义.
【分析】根据根的判别式令△=0,建立关于k的方程,解方程即可.
【解答】解:
∵关于x的方程(k﹣1)x2﹣(k﹣1)x+
=0有两个相等的实数根,
∴△=0,
∴[﹣(k﹣1)]2﹣4(k﹣1)×
=0,
整理得,k2﹣3k+2=0,
即(k﹣1)(k﹣2)=0,
解得:
k=1(不符合一元二次方程定义,舍去)或k=2.
∴k=2.
【点评】本题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
19.已知关于x的一元二次方程
mx2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根.
(1)求m的值;
(2)解原方程.
【考点】根的判别式.
【分析】
(1)根据题意得到:
△=0,由此列出关于m的方程并解答;
(2)利用直接开平方法解方程.
【解答】解:
(1)∵关于x的一元二次方程
mx2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根,
∴△=m2﹣4×
m×(m﹣1)=0,且m≠0,
解得m=2;
(2)由
(1)知,m=2,则该方程为:
x2+2x+1=0,
即(x+1)2=0,
解得x1=x2=﹣1.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:
当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
20.已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=0.
(1)证明:
不论m为何值时,方程总有实数根;
(2)m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根.
【考点】根的判别式;解一元二次方程-公式法.
【专题】证明题.
【分析】
(1)求出方程根的判别式,利用配方法进行变形,根据平方的非负性证明即可;
(2)利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根,根据题意求出m的值.
【解答】
(1)证明:
△=(m+2)2﹣8m
=m2﹣4m+4
=(m﹣2)2,
∵不论m为何值时,(m﹣2)2≥0,
∴△≥0,
∴方程总有实数根;
(2)解:
解方程得,x=
,
x1=
,x2=1,
∵方程有两个不相等的正整数根,
∴m=1或2,m=2不合题意,
∴m=1.
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用,掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
△>0⇔方程有两个不相等的实数根;△=0⇔方程有两个相等的实数根;△<0⇔方程没有实数根是解题的关键.
21.∵m,n是关于x的一元二次方程x2-3x+a=0的两个解,
∴m+n=3,mn=a.
∵mn+m+n=2,
∴a+3=2.解得a=-1.
22.
(1)△ABC是等腰三角形.理由:
∵x=-1是方程的根,
∴(a+c)×(-1)2-2b+(a-c)=0.
∴a+c-2b+a-c=0.
∴a-b=0.
∴a=b.
∴△ABC是等腰三角形.
(2)∵方程有两个相等的实数根,
∴(2b)2-4(a+c)(a-c)=0.
∴4b2-4a2+4c2=0.
∴a2=b2+c2.
∴△ABC是直角三角形.
(3)∵△ABC是等边三角形,
∴(a+c)x2+2bx+(a-c)=0可整理为2ax2+2ax=0.
∴x2+x=0.解得x1=0,x2=-1.
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