湖南省常德市届高三数学上学期检测考试试题理.docx
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湖南省常德市届高三数学上学期检测考试试题理
2018-2019学年度上学期高三检测考试
数学(理科试题卷)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,时量120分钟.
注意事项:
1.所有试题的答案请在答题卡的指定区域内作答.
2.考试结束后,只交答题卡.
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合,则
A.B.C.D.
2.已知复数(是虚数单位),则的实部为
A.B.C.D.
3.如图是一个边长为5的正方形二维码,为了测算图中黑色部分的面积,在正方形区域内随机投掷500个点,其中落入黑色部分的有300个点,据此可估计黑色部分的面积为
A.B.C.D.
4.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若输入,,则输出的值为
A.B.C.D.
5.《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈.”其意思为:
现有一善于织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布,第1天织了5尺布,现在一月(按30天计算)共织390尺布.此问题中若记该女子一月中的第天所织布的尺数为,则的值为
A.56B.52
C.28D.26
6.已知函数的图像向左平移个单位长度,横坐标伸长为原来的2倍得函数的图像,则下列区间为的单调递增区间的是
A.B.C.D.
7.已知,,,则的大小关系是
A.B.C.D.
8.函数的部分图象大致为
ABCD
第9题图
9.如图,网格线上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,其正视图,侧视图均为等边三角形,则该几何体的体积为
A.B.
C.D.
10.已知双曲线的右焦点为,以为圆心,实半轴长为半径的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点,若(其中为原点),则双曲线的离心率为
A.B.C.D.
11.已知是上的偶函数,,当时,,则函数的零点个数是
A.12B.10C.6D.5
12.已知的三个内角所对的边为,面积为,
且,则等于
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,第22题~第23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上)
13.设向量a=(3,-1),b=(1,m),且(a+2b)a,则|b|=_______.
14.已知,且满足,则的最大值为_______.
15.已知的展开式的各项系数和为243,则展开式中的二项式系数为_______.
16.已知抛物线的焦点为为坐标原点,点为抛物线准线上相异的两点,且两点的纵坐标之积为,直线,分别交抛物线于,两点,若三点共线,则_______.
三、解答题:
解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)已知等比数列的各项均为正数,且,,数列的前项和为
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求数列{bn}的前n项和.
18.(本小题满分12分)
如图,在直三棱柱中,,,,为线段的中点,为线段上一动点(异于点),为线段上一动点,且;
(Ⅰ)求证:
平面平面;
(Ⅱ)若,求直线与平面所成角的正弦值.
19.(本小题满分12分)某地因受天气,春季禁渔等因素影响,政府规定每年的7月1日以后的100天为当年的捕鱼期.某渔业捕捞队对吨位为40t的20艘捕鱼船一天的捕鱼量进行了统计,如下表所示:
捕鱼量(单位:
吨)
频数
2
7
7
3
1
根据气象局统计近20年此地每年100天的捕鱼期内的晴好天气情况如下表(捕鱼期内的每个晴好天气渔船方可捕鱼,非晴好天气不捕鱼):
晴好天气(单位:
天)
频数
2
7
6
3
2
(同组数据以这组数据的中间值作代表)
(Ⅰ)估计渔业捕捞队吨位为40t的渔船单次出海的捕鱼量的平均数;
(Ⅱ)已知当地鱼价为2万元/吨,此种捕鱼船在捕鱼期内捕鱼时,每天成本为10万元/艘,若不捕鱼,每天成本为2万元/艘,若以(Ⅰ)中确定的作为上述吨位的捕鱼船在晴好天气捕鱼时一天的捕鱼量.
①请依据往年天气统计数据,试估计一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元的概率;
②设今后3年中,此种捕鱼船每年捕鱼情况一样,记一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元的年数为X,求X的分布列和期望.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆的离心率为,为椭圆的左、右焦点,过右焦点的直线与椭圆交于两点,且的周长为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若点是第一象限内椭圆上一点,且在轴上的正投影为右焦点,过点作直线分别交椭圆于两点,当直线的倾斜角互补时,试问:
直线的斜率是否为定值;若是,请求出其定值;否则,请说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)若为曲线上两点,
求证:
.
请考生在第22,23题中任选一题作答.注意:
只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.
22.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知曲线为参数),圆.
以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(I)写出曲线与圆的极坐标方程。
(II)在极坐标系中,已知射线分别与曲线及圆相交于,当时,求的最大值.
23.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数,.
(Ⅰ)当,求不等式的解集;
(Ⅱ)若函数满足,且恒成立,求的取值范围.
数学(理科)参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
C
B
D
A
C
A
C
D
B
C
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
13.14.915.1016.2
三、解答题:
本大题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)设等比数列的公比
即,
解得:
或............3分
又的各项为正,,故............6分(Ⅱ)法一:
设,数列前n项和为.
由解得.............8分
............10分
............12分
法二:
由题设
...........9分即
............12分
18.(本小题满分12分)
解:
(I)证明:
因为,为线段的中点,
所以,............1分
在直三棱柱中,易知,
,而;
,;............3分
又因为,;
所以,............4分
又;所以;............5分
(II)由(I)可建立如图空间直角坐标系,
因为所以,
则,
设,............7分
所以,
因为,,
所以,
,
解得:
(异于点)............8分
设平面的法向量为,则
即,可取,............10分
设直线与平面所成角为,
则............11分
直线与平面所成角的正弦值为..............12分
(也可利用几何方法解答,找线面角并证明得3分,求值得3分)
19.(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)此吨位的捕鱼船一天的捕鱼量的平均数为:
吨........3分
(Ⅱ)①设每年100天的捕鱼期内晴好天气天数为,
则年利润为
由得:
............5分
一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元,即捕鱼期内的晴好天气天数不低于75天
又100天的捕鱼期内的晴好天气天数不低于75天的频率为
预测一艘此种捕鱼船年利润不少于1600万元的概率为.............7分
②由题可知:
随机变量的可能取值为0,1,2,3,且∽............8分
............10分
的分布列为:
0
1
2
3
............12分
20.(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)由题设知,
由椭圆的定义知:
的周长为,解得.
故因此,所以椭圆的方程为..............5分
(Ⅱ)证明:
依题意知,点,设
直线的方程为:
,
联立,得,
则,即,.............8分
又,
即,)
又直线的倾斜角互补,则直线的斜率为
同理可得:
,),.............10分
因此,直线的斜率为为定值..........12分
21.(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ);.....2分
当时,,在上单调递增;
当时,令,得,令,得;
所以,当时,的单调递增区间为,无单调递减区间;
当时,的单调递增区间为,
的单调递减区间为............5分
(Ⅱ)要证
即证即证;
即证;............7分
令,构造函数,
则,
所以在上单调递增;............9分
,即成立,所以成立,........11分
所以成立.............12分
请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意:
只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.
22.(本小题满分10分)
解:
(Ⅰ)曲线的普通方程为,由普通方程与极坐标方程的互化公式的的极坐标方程为:
,即..............2分
曲线的极坐标方程为:
..............5分
(Ⅱ)因为与以点为顶点时,它们的高相同,
即.............6分
由(Ⅰ)知,,
所以
.............8分
由得,
所以当即时,有最大值为.............9分
因此的最大值为..............10分
23.(本小题满分10分)
解:
(Ⅰ)当,,.............1分
等价于或,解得,....4分
所以原不等式的解集为;..............5分
(Ⅱ)因为,
所以函数的图像关于直线对称,..............6分
因为恒成立,等价于恒成立,
令,当时,,可知;
原不等式等价于;
当时,;..............9分
综上,的取值范围为...............10分
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