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光在球面上反射与折射
§1.4、光在球面上的反射与折射
1.4.1、球血镜成像
(1)球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射定律,法线是球面的半径。
一
束近主轴的平行光线,经凹镜反射后将会聚于主轴上一点F(图),这F点
称为凹镜的焦点。
一束近主轴的平行光线经凸面镜反射后将发散,反向延长可会聚于主轴上一点F(图1-4-2),这F点称为凸镜的虚焦点。
焦点F到镜面顶点O之间的距离叫做球面镜的焦距f。
可以证明,球面镜焦距f等于球面半径R的一半,即
.R
2
(2)球面镜成像公式根据反射定律可以推导出球面镜的成像公式。
下面以凹镜为例来推导:
(如图所示)设在凹镜的主轴上有一个物体S,由S发出的射向凹镜的光线镜面A点反射后与主轴交于S点,半径CA为反射的法线,
S即S的像。
根据反射定律,根SACSAC,则CA为SAS角A的平分线,
据角平分线的性质有
ASCS
ASCSt
由为SA为近轴光线,所以ASso,ASSO,①式可改写为
OSCS
OSCS
②式中OS叫物距u,OS叫像距v,设凹镜焦距为f,则
CSOSOCu2f
CSOCOS2f
uu2f
代入①式
2f
111
化简uf这个公式同样适用于凸镜o使用球面镜的成像公式时要注意:
凹镜焦距f取正,
凸镜焦距f取负;实物U取正,虚物U取负;实像V为正,虚像V为负O
111
uf
上式是球面镜成像公式。
它适用于凹面镜成像和凸面镜成像,各量符号遵循“实取正,虚取负”的原则。
凸面镜的焦点是虚的,因此焦距为负值。
在成像中,像长和物长h之比为成像放大率,用m表示,
h
m
hu
由成像公式和放大率尖系式可以讨论球面镜成像情况,对于凹镜,如表I所列;对于凸镜,如表II所列。
表I凹镜成像情况
物的性质
物的估胃
像的何詈
像的大小
像的正倒
像的虚实
实物
同侧f
缩小
倒
实
〜2f
同侧f〜2f
缩小
倒
实
2f
同侧2f
等大
倒
实
2f〜f
同侧f〜2f
放大
倒
实
f
放大
f〜0
异侧〜
0
放大
正
虚
虚物
异侧0〜f
缩小
正
实
表u凸镜成像情况
物的性质
物的何詈
像的何臂
像的大小
像的正倒
像的性质
实物
f〜
同侧0〜f
缩小
正
虚
虚
物
〜2f
同侧f〜2f
缩小
倒
虚
2f
同侧2f
等大
倒
虚
f〜2f
同侧〜
2f
放大
倒
虚
f
f〜0
异侧〜0
放大
正
实
3)球面镜多次成像球面镜多次成像原则:
只要多次运用球面镜成像公
式即可,但有时前一个球面镜反射的光线尚未成像便又遇上了后一个球面镜,此时就要引进虚像的概念
图1-4-4
iR
2
如图1■牛4所示,半径为R的凸镜和凹镜主轴相互重合放置,两镜顶点Ch、
的像只能直接射到凹镜上,F
U1
S在凹镜中成像,
111Unfi
0.6R
可解得
13R
O1O22.6R,
根据题意:
所以凹镜反射的光线尚未成像便已又被凸镜反射,此时可将凹镜
原来要成像"作为凸镜的虚物来处理,
u2(2.6R3R)0.4R,f2
11u22-|f2
112
0.4R2R
可解得22R
说明凸镜所成的像S2和S在同一位置上
1.4.2、球面折射成像
1)球面折射成像公式a)单介质球面折射成像
图1-4-5
如图所示,如果球面左、右方的折射率分别为1和nS为S的像。
因为i、r均很小,行以
sinii
n
sinrr
①因为i,「代入①式可有
5)②
对近轴光线来说,a、e、
同样很小,所以有
代入②式可得
1
u当Unn1
R
时的V是焦距f,所以fRn
n1
(b)双介质球面折射成像
如图1■牛6所示,球形折射面两侧的介质折射率分别m和ri2,C是球心,O
是顶点,球面曲率半径为R,S是物点,S是像点,对于近轴光线
niiin2\2
AoAo
Ao
联立上式解得
n2n1
n1n2
UV这是球面折射的成像公式,式中U、U的符号同样遵循“实正虚负”的法则,对于R;则当球心c在出射光的一个侧,(凸面朝向入射光)时为
正,当球心C在入射光的图1-4-6
一侧(凹面朝向入射光)时为负
若引入焦点和焦距概念,则当入射光为平行于主轴的平行光(U=x)时,出射光
(或其反向延长线)的交点即为第二焦点,(也称像方焦点),此时像距即fnR
是第二焦距「有f22。
当出射光为平行光时,入射光(或其延长线)
2n2n1
nR的交点即第一焦点(即物方焦点),这时物距即为第一焦距fi,有盒「
将fl、f2代入成像公式改写成
uu
反射定律可以看成折射定律在-和时的物倒,因此,球面镜的反射成
像公式可以从球面镜折射成像公式中得到,由于反射光的行进方向逆转,像距U
和球面半径R的正负规定应与折射时相反,在上述公式中令n2n1'
112
RR,即可得到球面镜反射成像公式uR,对于凹面镜
RO.f1f2R2,对于凸面镜R0,小2,厚透镜成像。
C)厚透镜折射成像
设构成厚透镜材料的折射率为n,物方介质的折射率为」,像方介质的折射
率为吃,前后两边球面的曲率半径依次为「1和陀,透镜的厚度为oot,当物点在主轴上的P点时,物距uOP,现在来计算像点P的像距。
SOP,首先考虑第一个球面AOB对入射光的折射,这时假定第二个球面AOB不存在,
图1-4-7
并认为球AOB右边,都为折射率等于n
的介质充满,在这种情况下,P点的像将
成在P处,其像距
OP,然后再考虑光线在第二个球面的折
射,对于这个球面来说,P便是虚物。
v
因此对于球面AOB,物像公式为
ri2ninm
vun对于球面AOB,物像公
式为
%nri2n
这样就可以用二个球面的成像法来求得透镜成像的像距U
2)光焦度
折射成像右端仅与介质的折射
率及球面的曲率半径有尖,因而对于
定的介质及一定形状的表面来说是一个不变量,我们定义此量为光焦度,用(P表示:
nn
它表征单折射球面对入射平行光束的屈折本图1・4・8
领。
9的数值越大,平行光束折得越厉害;(p>0时,屈折是会聚性的;q>〈0时,屈折是发散性的。
申二o时,对应于r,即为平面折射。
这时,沿轴平行光束经折射后仍是沿轴平行光束,不出现屈折现象。
光焦度的单位是[米円,或称[屈光度],将其数值乘以100,就是通常所说的眼镜片的“度数”。
(3)镀银透镜与面镜的等效有一薄平凸透镜,凸面曲率半径
R=30cm,已知在近轴光线时:
若将此透镜的A
平面镀银,其作用等于一个焦距是30cm的凹iihh
面镜;若将此透镜的凸面镀银,其作用也等出同于一个凹面镜,其其等效焦距oB
当透镜的平面镀银时,其作用等同于焦距是30cm的凹面镜,即这时透镜等效面曲率图1-4-9
半径为60cm的球面反射镜。
由凹面镜的成像性质,当物点置于等效曲率中心时任一近轴光线经凸面折射,再经平面反射后将沿原路返回,再经凸面折射后,光线过点,物像重合。
如图1■牛8所示。
uhh
ini,iui,n1°依题意,11「“,故口1.5。
6030
出的光经透镜前表面折射后成像于Q,设
物距为u,像距为v,根据球
面折射成像公式:
凸面镀银,光路如图1・4・9所示。
矢键寻找等效曲率中心,通过凸面上任点A
作一垂直于球面指向曲率中心C的光线o此光线经平面折射后交至光轴于
由光的可逆性原理知,CB是等效凹面镜的曲率中心,f=10cm。
例1、如图1410所示,一个双凸薄透镜的两个球面的曲率半径均为r,透镜的折射率为n,考察由透镜后表面反射所形成的实像。
试问物放于何处,可使反射像与物位于同一竖直平面内(不考虑多重反射)。
解:
从物点发出的光经透镜前表面(即左表面)反射后形成虚像,不合题意,无须考虑
从物点发出的光经透镜前表面折射后,再经透镜后表面反射折回,又经前表面折射共三次成像,最后是实像,符合题意。
利用球面折射成像公式和球面反射成像公式,结合物与像共面的要求。
就可求解。
球面反射的成像公式为:
“1,其中反射面的焦距为fA(R为球uvf2面半径),对凹面镜,f取正值,对凸面镜,f取负值。
R=r取正值,所以有
1nn1
uvr
(1)
这是第一次成像。
对凸透镜的后表面来说,物点Q经透镜前表面折射所成的风点Q是它的物点,其物距m(是虚物),经透镜后表面反射后成像于Qi,像距为“I(如图1-4-11乙所示),由球面反射成像公式
1112
UiVif2T
将前面数据代入得
112
vvir
(2)
这是第二次成像。
由透镜后表面反射成的像点W又作为透镜前表面折射成像的物点°2,其物距
(是虚物),再经过透镜前表面折射成像于,像距为-
见图1-4-11丙所示),再由球面折射成像公式
mn21
(nin2)R
uV
这时人射光一侧折射率,折射光一侧折射率(是空气),入射光由球心射向顶点,
故R值取负值。
所以可写出
(1n)
代入前面得到的尖系可得
n叮1n1V2r(3)
这是第三次成
像,由
(1)、
(2)两式可解得
1n’
3n1(4)
uvir
再把(4)式和
(3)式相加,可得
112(勿1)(5)
uV2r
为使物点Q与像点在同一竖直平面内,这就要求
距P,根据上式就可利用已知的透镜折射率n图求出透镜球面的半径r,或反过来由已咋的球面半径r求出透镜的折射率n。
例2、显微镜物镜组中常配有如图
1-4-12所示的透镜,它的表面是球面,左表面S1的球心为“,半径为巧,右表
面笃的球心为C2,半径为r2,透镜玻璃对于空气的折射率为n,两球心间的距
离为C1C2。
n
在使用时,被观察的物位于Ci处,试证明
1、从物射向此透镜的光线,经透镜折射后,所有出射光线均相交于一点Q。
2QC2nR2°
解:
首先考虑“面上的折射,由于物在球心处,全部入射光线无折射地通过叶面,所以对S2来说,物点就在01处
再考虑到^面上的折射。
设入射光线与主轴的夹角为0,入射点为P,入
R2
sin图1413
射角为i,折射角为r,折射线的延长线与主轴的交点为Q如图1-4-13,则由折射定律
sinrnsini
在C1C2P中应用正弦定理得
C1C2C2P
sinisin
sc?
R2R2/n
曲i2n由此得sini
sinnsinisinr
所以r
设CP与主轴的夹角为g则有
a•
iri
Q必在透镜左方
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- 球面 反射 折射