高效课堂《勾股定理的逆定理》精品教案 省一等奖.docx
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高效课堂《勾股定理的逆定理》精品教案省一等奖
17.2勾股定理的逆定理
一、教学目的
1.体会勾股定理的逆定理得出过程,掌握勾股定理的逆定理。
2.探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
二、重点、难点
1.重点:
掌握勾股定理的逆定理及证明。
2.难点:
勾股定理的逆定理的证明。
三、例题的意图分析
例1〔补充〕使学生了解命题,逆命题,逆定理的概念,及它们之间的关系。
例2通过让学生动手操作,画好图形后剪下放到一起观察能否重合,激发学生的兴趣和求知欲,锻炼学生的动手操作能力,再通过探究理论证明方法,使实践上升到理论,提高学生的理性思维。
例3〔补充〕使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤:
①先判断那条边最大。
②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。
③判断a2+b2和c2是否相等,假设相等,那么是直角三角形;假设不相等,那么不是直角三角形。
四、课堂引入
创设情境:
⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形?
⑵怎样判定一个三角形是直角三角形?
和等腰三角形的判定进行比照,从勾股定理的逆命题进行猜测。
五、例习题分析
例1〔补充〕说出以下命题的逆命题,这些命题的逆命题成立吗?
⑴同旁内角互补,两条直线平行。
⑵如果两个实数的平方相等,那么两个实数平方相等。
⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。
分析:
⑴每个命题都有逆命题,说逆命题时注意将题设和结论调换即可,但要分清题设和结论,并注意语言的运用。
⑵理顺他们之间的关系,原命题有真有假,逆命题也有真有假,可能都真,也可能一真一假,还可能都假。
解略。
例2证明:
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
分析:
⑴注意命题证明的格式,首先要根据题意画出图形,然后写求证。
⑵如何判断一个三角形是直角三角形,现在只知道假设有一个角是直角的三角形是直角三角形,从而将问题转化为如何判断一个角是直角。
⑶利用条件作一个直角三角形,再证明和原三角形全等,使问题得以解决。
⑷先做直角,再截取两直角边相等,利用勾股定理计算斜边A1B1=c,那么通过三边对应相等的两个三角形全等可证。
⑸先让学生动手操作,画好图形后剪下放到一起观察能否重合,激发学生的兴趣和求知欲,再探究理论证明方法。
充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力,由实践到理论学生更容易接受。
证明略。
例3〔补充〕:
在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1〔n>1〕
求证:
∠C=90°。
分析:
⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤:
①先判断那条边最大。
②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。
③判断a2+b2和c2是否相等,假设相等,那么是直角三角形;假设不相等,那么不是直角三角形。
⑵要证∠C=90°,只要证△ABC是直角三角形,并且c边最大。
根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。
⑶由于a2+b2=〔n2-1〕2+〔2n〕2=n4+2n2+1,c2=〔n2+1〕2=n4+2n2+1,从而a2+b2=c2,故命题获证。
六、课堂练习
1.判断题。
⑴在一个三角形中,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这条边所对的角是直角。
⑵命题:
“在一个三角形中,有一个角是30°,那么它所对的边是另一边的一半。
〞的逆命题是真命题。
⑶勾股定理的逆定理是:
如果两条直角边的平方和等于斜边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
⑷△ABC的三边之比是1:
1:
,那么△ABC是直角三角形。
2.△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,以下命题中的假命题是〔〕
A.如果∠C-∠B=∠A,那么△ABC是直角三角形。
B.如果c2=b2—a2,那么△ABC是直角三角形,且∠C=90°。
C.如果〔c+a〕〔c-a〕=b2,那么△ABC是直角三角形。
D.如果∠A:
∠B:
∠C=5:
2:
3,那么△ABC是直角三角形。
3.以下四条线段不能组成直角三角形的是〔〕
A.a=8,b=15,c=17
B.a=9,b=12,c=15
C.a=
,b=
,c=
D.a:
b:
c=2:
3:
4
4.:
在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,分别为以下长度,判断该三角形是否是直角三角形?
并指出那一个角是直角?
⑴a=
,b=
,c=
;⑵a=5,b=7,c=9;
⑶a=2,b=
,c=
;⑷a=5,b=
,c=1。
七、课后练习,
1.表达以下命题的逆命题,并判断逆命题是否正确。
⑴如果a3>0,那么a2>0;
⑵如果三角形有一个角小于90°,那么这个三角形是锐角三角形;
⑶如果两个三角形全等,那么它们的对应角相等;
⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。
2.填空题。
⑴任何一个命题都有,但任何一个定理未必都有。
⑵“两直线平行,内错角相等。
〞的逆定理是。
⑶在△ABC中,假设a2=b2-c2,那么△ABC是三角形,是直角;
假设a2<b2-c2,那么∠B是。
⑷假设在△ABC中,a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2,那么△ABC是三角形。
3.假设三角形的三边是⑴1、
、2;⑵
;⑶32,42,52⑷9,40,41;
⑸〔m+n〕2-1,2〔m+n〕,〔m+n〕2+1;那么构成的是直角三角形的有〔〕
A.2个B.3个 C.4个 D.5个
4.:
在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,分别为以下长度,判断该三角形是否是直角三角形?
并指出那一个角是直角?
⑴a=9,b=41,c=40;⑵a=15,b=16,c=6;
⑶a=2,b=
,c=4;⑷a=5k,b=12k,c=13k〔k>0〕。
八、参考答案:
课堂练习:
1.对,错,错,对;2.D;
3.D;4.⑴是,∠B;⑵不是;⑶是,∠C;⑷是,∠A。
课后练习:
1.⑴如果a2>0,那么a3>0;假命题。
⑵如果三角形是锐角三角形,那么有一个角是锐角;真命题。
⑶如果两个三角形的对应角相等,那么这两个三角形全等;假命题。
⑷两条相等的线段一定关于某条直线对称;假命题。
2.⑴逆命题,逆定理;⑵内错角相等,两直线平行;⑶直角,∠B,钝角;⑷直角。
3.B4.⑴是,∠B;⑵不是,;⑶是,∠C;⑷是,∠C。
课后反思:
17.2勾股定理的逆定理〔二〕
教案总序号:
14时间:
一、教学目的
1.灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
二、重点、难点
1.重点:
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2.难点:
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
三、例题的意图分析
例1〔见教材例题〕让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。
例2〔补充〕培养学生利用方程思想解决问题,进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。
四、课堂引入
创设情境:
在军事和航海上经常要确定方向和位置,从而使用一些数学知识和数学方法。
五、例习题分析
例1〔见教材〕
分析:
⑴了解方位角,及方位名词;
⑵依题意画出图形;
⑶依题意可得PR=12×1.5=18,PQ=16×1.5=24,QR=30;
⑷因为242+182=302,PQ2+PR2=QR2,根据勾股定理的逆定理,知∠QPR=90°;
⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。
小结:
让学生养成“三边求角,利用勾股定理的逆定理〞的意识。
例2〔补充〕一根30米长的细绳折成3段,围成一个三角形,其中一条边的长度比拟短边长7米,比拟长边短1米,请你试判断这个三角形的形状。
分析:
⑴假设判断三角形的形状,先求三角形的三边长;
⑵设未知数列方程,求出三角形的三边长5、12、13;
⑶根据勾股定理的逆定理,由52+122=132,知三角形为直角三角形。
解略。
六、课堂练习
1.小强在操场上向东走80m后,又走了60m,再走100m回到原地。
小强在操场上向东走了80m后,又走60m的方向是。
2.如图,在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿,早晨测得它的影长为4米,中午测得它的影长为1米,那么A、B、C三点能否构成直角三角形?
为什么?
3.如图,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截,六分钟后同时到达C地将其拦截。
甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,航向为北偏西40°,问:
甲巡逻艇的航向?
七、课后练习
1.一根24米绳子,折成三边为三个连续偶数的三角形,那么三边长分别为,此三角形的形状为。
2.一根12米的电线杆AB,用铁丝AC、AD固定,现用去铁丝AC=15米,AD=13米,又测得地面上B、C两点之间距离是9米,B、D两点之间距离是5米,那么电线杆和地面是否垂直,为什么?
3.如图,小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜,爸爸让小明计算一下土地的面积,以便计算一下产量。
小明找了一卷米尺,测得AB=4米,BC=3米,CD=13米,DA=12米,又∠B=90°。
八、参考答案:
课堂练习:
1.向正南或正北。
2.能,因为BC2=BD2+CD2=20,AC2=AD2+CD2=5,AB2=25,所以BC2+AC2=AB2;
3.由△ABC是直角三角形,可知∠CAB+∠CBA=90°,所以有∠CAB=40°,航向为北偏东50°。
课后练习:
1.6米,8米,10米,直角三角形;
2.△ABC、△ABD是直角三角形,AB和地面垂直。
3.提示:
连结AC。
AC2=AB2+BC2=25,AC2+AD2=CD2,因此∠CAB=90°,
S四边形=S△ADC+S△ABC=36平方米。
课后反思:
17.2勾股定理的逆定理〔三〕
教案总序号:
15时间:
一、教学目的
1.应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。
2.灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。
3.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
二、重点、难点
1.重点:
利用勾股定理及逆定理解综合题。
2.难点:
利用勾股定理及逆定理解综合题。
三、例题的意图分析
例1〔补充〕利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。
例2〔补充〕使学生掌握研究四边形的问题,通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题。
此题辅助线作平行线间距离无法求解。
创造3、4、5勾股数,利用勾股定理的逆定理证明DE就是平行线间距离。
例3〔补充〕勾股定理及逆定理的综合应用,注意条件的转化及变形。
四、课堂引入
勾股定理和它的逆定理是黄金伙伴,经常综合应用来解决一些难度较大的题目。
五、例习题分析
例1〔补充〕:
在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。
试判断△ABC的形状。
分析:
⑴移项,配成三个完全平方;⑵三个非负数的和为0,那么都为0;⑶a、b、c,利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。
例2〔补充〕:
如图,四边形ABCD,AD∥BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3。
求:
四边形ABCD的面积。
分析:
⑴作DE∥AB,连结BD,那么可以证明△ABD≌△EDB〔ASA〕;
⑵DE=AB=4,BE=AD=3,EC=EB=3;⑶在△DEC中,3、4、5勾股数,△DEC为直角三角形,DE⊥BC;⑷利用梯形面积公式可解,或利用三角形的面积。
例3〔补充〕:
如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,且CD2=AD·BD。
求证:
△ABC是直角三角形。
分析:
∵AC2=AD2+CD2,BC2=CD2+BD2
∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2
=AD2+2AD·BD+BD2
=〔AD+BD〕2=AB2
六、课堂练习
1.假设△ABC的三边a、b、c,满足〔a-b〕〔a2+b2-c2〕=0,那么△ABC是〔〕
A.等腰三角形;
B.直角三角形;
C.等腰三角形或直角三角形;
D.等腰直角三角形。
2.假设△ABC的三边a、b、c,满足a:
b:
c=1:
1:
,试判断△ABC的形状。
3.:
如图,四边形ABCD,AB=1,BC=
,CD=
,AD=3,且AB⊥BC。
求:
四边形ABCD的面积。
4.:
在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,且CD2=AD·BD。
求证:
△ABC中是直角三角形。
七、课后练习,
1.假设△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,求△ABC的面积。
2.在△ABC中,AB=13cm,AC=24cm,中线BD=5cm。
求证:
△ABC是等腰三角形。
3.:
如图,∠1=∠2,AD=AE,D为BC上一点,且BD=DC,AC2=AE2+CE2。
求证:
AB2=AE2+CE2。
4.△ABC的三边为a、b、c,且a+b=4,ab=1,c=
,试判定△ABC的形状。
八、参考答案:
课堂练习:
1.C;
2.△ABC是等腰直角三角形;
3.
4.提示:
∵AC2=AD2+CD2,BC2=CD2+BD2,∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=
AD2+2AD·BD+BD2=〔AD+BD〕2=AB2,∴∠ACB=90°。
课后练习:
1.6;
2.提示:
因为AD2+BD2=AB2,所以AD⊥BD,根据线段垂直平分线的判定可知AB=BC。
3.提示:
有AC2=AE2+CE2得∠E=90°;由△ADC≌△AEC,得AD=AE,CD=CE,∠ADC=∠BE=90°,根据线段垂直平分线的判定可知AB=AC,那么AB2=AE2+CE2。
4.提示:
直角三角形,用代数方法证明,因为〔a+b〕2=16,a2+2ab+b2=16,ab=1,所以a2+b2=14。
又因为c2=14,所以a2+b2=c2。
课后反思:
[教学反思]
学生对展开图通过各种途径有了一些了解,但仍不能把平面与立体很好的结合;在遇到问题时,多数学生不愿意自己探索,都要寻求帮助。
在今后的教学中,我会不断的钻研探索,使我的课堂真正成为学生学习的乐园。
本节课的教学活动,主要是让学生通过观察、动手操作,熟悉长方体、正方体的展开图以及图形折
叠后的形状。
教学时,我让每个学生带长方体或正方体的纸盒
,每个学生都剪一剪,并展示所剪图形的形状。
由于剪的方法不同,展开图的形状也可能是不同的。
学生在剪、拆盒子过程中,很容易把盒子拆散了,无法形成完整的展开图,就要求适当进行指导。
通过动手操作,动脑思考,集体交流,不仅提高了学生的空间思维能力,而且在情感上每位学生
都获得了成功的体验,建立自信心。
24.1圆(第3课时)
教学内容
1.圆周角的概念.
2.圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弦所对的圆心角的一半.
推论:
半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用.
教学目标
1.了解圆周角的概念.
2.理解圆周角的定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
3.理解圆周角定理的推论:
半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
4.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用.
设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决一些实际问题.
重难点、关键
1.重点:
圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题.
2.难点:
运用数学分类思想证明圆周角的定理.
3.关键:
探究圆周角的定理的存在.
教学过程
一、复习引入
〔学生活动〕请同学们口答下面两个问题.
1.什么叫圆心角?
2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢?
老师点评:
〔1〕我们把顶点在圆心的角叫圆心角.
〔2〕在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对的其余各组量都分别相等.
刚刚讲的,顶点在圆心上的角,有一组等量的关系,如果顶点不在圆心上,它在其它的位置上?
如在圆周上,是否还存在一些等量关系呢?
这就是我们今天要探讨,要研究,要解决的问题.
二、探索新知
问题:
如下图的⊙O,我们在射门游戏中,设E、F是球门,设球员们只能在
所在的⊙O其它位置射门,如下图的A、B、C点.通过观察,我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
现在通过圆周角的概念和度量的方法答复下面的问题.
1.一个弧上所对的圆周角的个数有多少个?
2.同弧所对的圆周角的度数是否发生变化?
3.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系?
〔学生分组讨论〕提问二、三位同学代表发言.
老师点评:
1.一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个.
2.通过度量,我们可以发现,同弧所对的圆周角是没有变化的.
3.通过度量,我们可以得出,同弧上的圆周角是圆心角的一半.
下面,我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且
它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.〞
〔1〕设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径,如下图
∵∠AOC是△ABO的外角
∴∠AOC=∠ABO+∠BAO
∵OA=OB
∴∠ABO=∠BAO
∴∠AOC=∠ABO
∴∠ABC=
∠AOC
〔2〕如图,圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧,那么∠ABC=
∠AOC吗?
请同学们独立完成这道题的说明过程.
老师点评:
连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角,∠COD是△BOC的外角,那么就有∠AOD=2∠ABO,∠DOC=2∠CBO,因此∠AOC=2∠ABC.
〔3〕如图,圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧,那么∠ABC=
∠AOC吗?
请同学们独立完成证明.
老师点评:
连结OA、OC,连结BO并延长交⊙O于D,那么∠AOD=2∠ABD,∠COD=2∠CBO,而∠ABC=∠ABD-∠CBO=
∠AOD-
∠COD=
∠AOC
现在,我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C,同样可证得它等于同弧上圆心角一半,因此,同弧上的圆周角是相等的.
从〔1〕、〔2〕、〔3〕,我们可以总结归纳出圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
进一步,我们还可以得到下面的推导:
半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
下面,我们通过这个定理和推论来解一些题目.
例1.如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?
为什么?
分析:
BD=CD,因为AB=AC,所以这个△ABC是等腰,要证明D是BC的中点,只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可.
解:
BD=CD
理由是:
如图24-30,连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°即AD⊥BC
又∵AC=AB
∴BD=CD
三、稳固练习
1.教材P92思考题.
2.教材P93练习.
四、应用拓展
例2.如图,△ABC内接于⊙O,∠A、∠B、∠C的对边分别设为a,b,c,⊙O半径为R,求证:
=
=
=2R.
分析:
要证明
=
=
=2R,只要证明
=2R,
=2R,
=2R,即sinA=
,sinB=
,sinC=
,因此,十清楚显要在直角三角形中进行.
证明:
连接CO并延长交⊙O于D,连接DB
∵CD是直径
∴∠DBC=90°
又∵∠A=∠D
在Rt△DBC中,sinD=
,即2R=
同理可证:
=2R,
=2R
∴
=
=
=2R
五、归纳小结〔学生归纳,老师点评〕
本节课应掌握:
1.圆周角的概念;
2.圆周角的定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都相等这条弧所对的圆心角的一半;
3.半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
4.应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题.
六、布置作业
1.教材P95综合运用9、10、
[教学反思]
学生对展开图通过各种途径有了一些了解,但仍不能把平面与立体很好的结合;在遇到问题时,多数学生不愿意自己探索,都要寻求帮助。
在今后的教学中,我会不断的钻研探索,使我的课堂真正成为学生学习的乐园。
本节课的教学活动,主要是让学生通过观察、动手操作,熟悉长方体、正方体的展开图以及图形折
叠后的形状。
教学时,我让每个学生带长方体或正方体的纸盒
,每个学生都剪一剪,并展示所剪图形的形状。
由于剪的方法不同,展开图的形状也可能是不同的。
学生在剪、拆盒子过程中,很容易把盒子拆散了,无法形成完整的展开图,就要求适当进行指导。
通过动手操作,动脑思考,集体交流,不仅提高了学生的空间思维能力,而且在情感上每位学生
都获得了成功的体验,建立自信心。
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