高中数学 12 任意角的三角函数教案2 新人教版必修4.docx
- 文档编号:24053359
- 上传时间:2023-05-23
- 格式:DOCX
- 页数:21
- 大小:116.37KB
高中数学 12 任意角的三角函数教案2 新人教版必修4.docx
《高中数学 12 任意角的三角函数教案2 新人教版必修4.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学 12 任意角的三角函数教案2 新人教版必修4.docx(21页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高中数学12任意角的三角函数教案2新人教版必修4
2019-2020年高中数学1.2任意角的三角函数教案2新人教版必修4
[内容]
教学目标
1.使学生切实掌握任意角三角函数的定义.
2.使学生掌握三角函数的定义域及其确定方法.
3.使学生掌握三角函数值在各个象限内的符号.
4.使学生掌握诱导公式一.
教学重点与难点
教学难点为:
任意角三角函数的定义.教学重点为:
三角函数的定义;三角函数的定义域及其确定方法;三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式一.
教学过程设计
师:
我们学过锐角的正弦、余弦、正切、余切中,∠A是锐角,∠C是直角,那么(板书)
师:
经过最近几节课的学习,我们知道角的概念已经被推广了,我们现在所说的角可以任意大小的正角、负角和零角,那么任意的三角函数是怎么定义的呢?
直角三角形显然不能包含所有的角.
生:
借助平面直角坐标系来定义.
师:
好的.这位同学可能预习了.任意角三角函数就是在平面直角坐标系内定义的.
设角α是一个任意大小的角,我们以它的顶点为原点,以它的始边为x轴的正半轴Ox,建立直角坐标系(图2),在角α的终边任取一点P,它的横坐标是x,纵坐标是y,点P和原点O(0,0)的距离r=(r总是正的),然后把角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别规定为(板书)
师:
以前我们就知道,图1中的四个比值的大小仅与角A的大小有关,而与直角三角形的大小无关;同样,在图2中,六个比值的大小也仅与角α的大小有关,而与点P在角αα的终边上的位置无关.
师:
下面咱们一起来看这六个三角函数,自变量是什么?
是x?
是y?
是r?
还是角a?
大家讨论一下.
生:
……
师:
通过大家的讨论,咱们可以看出,只要角α确定了,就能在它的终边上取点,从而可确定x,y,计算出r的值,所以自变量应是角α.
这些函数的函数值是什么呢?
生:
两个量的比值.
师:
也就是说是个实数.
由于角的集合与实数之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是以实数为自变量的函数,即
实数→角(其弧度数等于这个实数)→三角函数值(实数)
也就是说,三角函数是以角(实数)为自变量,以比值为函数值的函数.
既然是研究函数,那么就要从函数最主要的内容——三要素入手,而其中又以定义域和对应法则更重要,三角函数的对应法则我们可以由解析式中直接看出.下面我们研究各个函数的定义域.
(这几函数的定义域并不难求,只是务必使学生明确,函数的自变量是角.定义域由学生一一做答,教师最后在黑板上列表总结.)
师:
我们已经知道了三角函数的定义,下面我们就该应用定义解题了.请看例1.(板书)
例1已知角α的终边经过点P(2,-3),求α的六个三角函数值.
师:
要求六个三角函数值,我们需要知道哪些量?
生:
x,y,r.
师:
我们是必须知道这三个量,还是知道其中两个量就行了?
生:
只需知道其中的两个量.
师:
例1中是否有咱们所需要的两个量?
生:
有.x=2,y=-3.
师:
好的.这道题就由你来解,你说我往黑板上写.(板书)
解
师:
由三角函数的定义,我们知道,已知角α终边上一点的坐标就可以求六个三角函数值,若已知条件是某角的度数或弧度数,那么这个角的终边位置也是唯一确定的,其三角函数值也应是唯一的.这类题目应怎样求它的各个三角函数值呢?
下面看例2.(板书)
例2求下例各角的六个三角函数值.
师:
咱们先看角0的六个三角函数值怎么求.
生:
没想好.
师:
你觉得为什么不好求呢?
生:
题目里没给出x,y的值.
师:
x,y的值与所给出的角有什么关系?
生:
x,y是角的终边上一点的坐标.
师:
角的终边上的哪点?
生:
可以任意选取.
师:
那当然要使所取点的坐越简单越好了,你打算取哪点?
生:
取(1,0)点.
师:
现在这道题目你会做了吗?
生:
会了.
师:
你说我来写在黑板上.(板书)
解在角0的终边上取一点(1,0),所以x=1,y=0,r=x2+y2=1因此
师:
这道从题会做了,下面的两道小题也就不成问题了.大家都在笔记本上准备一下,一会儿,我叫几个同学说一下你们的答案.
(2)在角π的终边上任取一点(-1,0),x=-1,y=0,r=1,sinπ=0,cos=-1,tanπ=0 cotπα不存在,sceπ=-1,cscπα不存在;
(3)在角的终边上任取一点(0,-1),x=0,y=-1,r=1,sin=-1,cos=0,tan不存在,cot=0,sec不存在,csc=-1.
师:
下一个问题是确定一下各三角函数值在每个象限的符号.
我们知道,当角的概念被推广后,我们常常把角放到平面直角坐标系中讨论,当角的顶点与坐标原点重合,角的始边落在x轴的正半轴上时,角的终边落在第几象限,就说这个角是第几象限角.现在,我们又学习了三角函数,若一类三角函数值在同一个象限的符号是一致的,那我们既可以根据角所在象限确定出相应的三角函数的符号,又可以利用三角函数的符号确定出角所在的象限了.
下面咱们先看正弦函数的函数值在各个限内的符号.(请好学生回答)
生:
对于sinα,当角α在第一象限内时,它的符号是正的,当角α在第二象限时,……
师:
等等,你所说的第一条结论正确,你能不能把你的解题方法具体地告诉我们?
(尽量突出这节课的主要内容.)
生:
根据三角函数的定义,sinα=,当角a是第一象限角时,也就是说,角α的终边落在第一象限内,而第一象限内的点的坐标都是正的,所以sinα>0.
师:
解题思路非常清楚,就是下结论前的叙述显得有点匆忙,不够确切.咱们看这样说是不是更好些?
前边的就用他的说法,接着说,第一象限内的点的纵坐标都为正数,也就是y>0,而r=,也一定大于零,所以得出结论,sinα>0,符号为“+”.
师:
这个结论一经推出,其余问题我们也就都会解决了.下面我们再把角落在第二、第三、
四象限内,将正弦函数的函数值的符号确定一下.
生:
正弦函数sinα=yr,当角a在第二象限时,sinα的符号为“+”;当角α在第三象限时,sinα的符号为“-”;当角α在第四象时,sinα的符号也为“-”.
师:
完全正确.由于r=>0,所以我们可以看出,sinπ的符号与谁的符号一致?
生:
与y的符号一致.
师:
好的.现在正弦函数的问题咱们已经解决了,下面该确定余弦函数的函数值在各个象限内的符号了.我想,得出正确结论已经不是什么难事了.只是如果请你说,你能叙述得完整
吗?
另外,你还有没有别的办法解决这个问题?
生:
余弦函数cosα=xr,我们知道r=>0,它的值永远是正的,所以cosa的符号是由x确定的,而且与x的符号相同.x是角α所在象限内的点的横坐标,所以当角a在第一象限内时,cosα的符号为“+”,当角α在第二或第三象限时,cosa的符号为“-”,而当角α在第四象限时,cosα的符号为“+”.
师:
回答得很好.各个量之间的关系都说得非常清楚、准确.
生:
还可以简单地记为:
余弦函数值的符号与x的符号一致.
师:
也对.只是这个结论前的一些推理咱们必须清楚.
正切函数tanα=在各个象限内的符号又是怎样的?
生:
对于第一、三象限内的角,正切值为正的,因为此时x,y同号;对于第二、四象限内的角,正切值为负的,因为此时x,y异号.
师:
完全正确.我们研究清楚了正弦、余弦、正切函数的函数值在各个象限内的符号,剩下的三个三角函数的函数值在各个象限内的符号就好确定了.为什么?
生:
因为余切值()与正切值()互为倒数,所以它们的符号一致,同理,正割值()与余弦值()的符号一致,而余割值()与正弦值()的符号一致.
师:
很好.为了便于记忆,我们不妨把刚才的结论总结于坐标系中,看看这种直观、形象的方式是否适合于你?
(板书)
师:
现在我们知道了三角函数的数值是由角的终边的位置决定的.显然,当两个角相差
360°的整数倍时,它们俩的终边相同,所以它们的同一个三角函数的值相等.由此得到一组公式(公式一).
(板书)
师:
这组公式使我们可以把任意角的三角函数值的问题,转化为0°~360°(或0~2π)间的角的三角函数值的问题.(板书)
例3确定下列各三角函数值的符号.
(1)cos250°;
(2)sin(-);(3)tan(-672°10′)
(教师边分析边板书)
解
(1)因为250°是第三象限的角,所以cos250°<0.
(2)(由学生口述完成)因为-是第四象限角,所以sin(-)<0.
(3)(由学生解)
因为tan(-672°10′)=tan(-2×360°+47°50′)=tan47°50′,又因为47°50′是第一象限角,所以tan(-672°10′)>0.
师:
下面咱们接着做例4.(板书)
例4根据条件sin<0且tan>0,确定是第几象限角.
(教师边讲边写)
解为sin<0,所以在第三象限或第四象限,或的终边落在y轴的负半轴上.
因为tan>0.所以在第一象限或第三象限.
由于sin<0与tan>0同时成立,所以在第三象限.
师:
下面咱们小结一下这节课,这节课的主要内容是任意角三角函数的定义,通过对这一定义的学习,我们掌握六个三角函数的定义域,要会利用定义,求出各三角函数在每个象限的符号并且记住各结论.要知道公式一的理论依据就是任意角三角函数的定义,当然还要掌握公式一.
作业:
课本P138练习一第1,2,3,4,5,6题.其中第2,3题写在书上,其余的写在本上.
课堂教学设计说明
1.复习锐角三角函数.
2.讲解任意角三角函数的定义.
3.用列表的形式总结出各个三角函数的定义域.
4.例1是三角函数定义的最简单、直接的应用.例2是应用任意角三角函数的定义解题.
5.利用三角函数的定义和各象限内点的坐标的符号,确定各三角函数值在每个象限的符号.
6.诱导公式一
7.例3和例4.
8.小结、作业.
为什么要采取以上步骤呢?
因为本节课的重点和难点就是任意角三角函数的定义,而其余内容均是关于任意角的函数的定义的应用,所以对于这一定义,不仅安排了复习锐角的三角函数,而且还安排了两道应用定义的例题,即例1和例2.此外,三角函数与学生们以往所学过的函数从形式上看区别很大,有的学生可能一时找不对自变量,所以,在讲课时注意强调了三角函数的自变量是角,并在此基础上,应用新学的任意角三角函数的定义,求出各个三角函数的定义域.
应用三角函数的定义,可判断出三角函数在各个象限的符号.对于这点,教师觉得学生完全有能力自己完成,所以,这块知识是以教师提问学生回答,最后一起做总结的形式完成的.
诱导公式一,也是任意角三角函数定义的再次应用,有了它,我们就可以把求任意角的三角函数值问题,转化为求0°~360°(或0~2π)间角的三角函数值的问题了.
板书设计
2019-2020年高中数学1.2任意角的三角函数教案5新人教版必修4
教学背景:
1.教材地位分析:
三角函数是中学数学的重要内容之一,而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想,又贯穿整个三角函数的教学.借助三角函数线可以推出三角函数公式,求解三角函数不等式,探索三角函数的图像和性质,……可以说,三角函数线是研究三角函数的有利工具.
2.学生现实分析:
学习本节前,学生已经掌握任意角三角函数的定义,三角函数值在各象限的符号,以及诱导公式一,为三角函数线的寻找做好了知识准备.高一上学期研究指、对数函数图像时,已带领学生学习了几何画板的基础知识,现在他们已经具备初步的几何画板应用能力,能够制作简单的动画,开展数学实验.
教学目标:
1.知识目标:
使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值,并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.
2.能力目标:
借助几何画板让学生经历概念的形成过程,提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力;在论坛上开展研究性学习,让学生借助所学知识自己去发现新问题,并加以解决,提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力.
3.情感目标:
激发学生对数学研究的热情,培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;通过学生之间、师生之间的交流合作,实现共同探究、教学相长的教学情境.
教学重点难点:
1.重点:
三角函数线的作法及其简单应用.
2.难点:
利用与单位圆有关的有向线段,将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.
教学方法与教学手段:
1.教法选择:
“设置问题,探索辨析,归纳应用,延伸拓展”——科研式教学.
2.学法指导:
类比、联想,产生知识迁移;观察、实验,体验知识的形成过程;猜想、求证,达到知识的延展.
3.教学手段:
本节课地点选在多媒体网络教室,学生利用几何画板软件探讨数学问题,做数学实验;借助网络论坛交流各自的观点,展示自己的才能.
教学过程:
一、设置疑问,实验探索(17分钟)
教学环节
教学过程
设计意图
设
置
疑
问,点明主题
前面我们学习了角的弧度制,角弧度数的绝对值,其中是以角作为圆心角时所对弧的长,r是圆的半径.特别地,当r=1时,,此时的圆称为单位圆,这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值,那么能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢?
这就是我们今天一起要研究的问题.
既可以引出单位圆,又可以使学生通过类比联想主动、快速的探索出三角函数值的几何形式.
概
念
学
习,分
散
难
点
有向线段:
带有方向的线段.
(1)方向:
按书写顺序,前者为起点,后者为终点,由起点指向终点.
如:
有向线段OM,O为起点,M为终点,由O点指向M点.
O
M
(动态演示)
(2)数值:
(只考虑在坐标轴上或与坐标轴平行的有向线段)
绝对值等于线段的长度,若方向与坐标轴同向,取正值;与坐标轴反向,取负值.如:
OM=1,
ON=-1,
AP=
相关概念的学习分散了教学难点,使学生能够更多的围绕重点展开探索和研究.
实验探索,
辨析研讨
1.(复习提问)任意角的正弦如何定义?
角的终边上任意一点P(除端点外)的坐标是(),它与原点的距离是r,比值叫做的正弦.
思考:
能否用几何图形表示出角的正弦呢?
学生联想角的弧度数与弧长的转化,类比猜测:
若令r=1,则.取角的终边与单位圆的交点为P,过点P作轴的垂线,设垂足为M,则有向线段MP=.(学生分析的同时,教师用几何画板演示)
请学生利用几何画板作出垂线段MP,并改变角的终边位置,观察终边在各个位置的情形,注意有向线段的方向和正弦值正负的对应.特别地,当角的终边在轴上时,有向线段MP变成一个点,记数值为0.
这条与单位圆有关的有向线段MP叫做角的正弦线.
2.思考:
用哪条有向线段表示角的余弦比较合适?
并说明理由.
请学生用几何画板演示说明.
有向线段OM叫做角的余弦线.
3.如何用有向线段表示?
讨论焦点:
若令=1,则=AT,但是第二、三象限角的终边上没有横坐标为1的点,若此时取=-1的点T‘,tan=-=T‘A‘,有向线段的表示方法又不能统一.
引导观察:
当角的终边互为反向延长线时,它们的正切值有什么关系?
统一认识:
方案1:
在象限角的终边或其反向延长线上取=1的点T,则tan==AT;
方案2:
借助正弦线、余弦线以及相似三角形知识得到=.
几何画板演示验证:
当角的终边落在坐标轴上时,tan与有向线段AT的对应.
这条与单位圆有关的有向线段AT叫做角的正切线.
美国华盛顿一所大学有句名言:
“我听见了,就忘记了;我看见了,就记住了;我做过了,就理解了.”要想让学生深刻理解三角函数线的概念,就应该让学生主动去探索,大胆去实践,亲身体验知识的发生和发展过程.
教学已经不再是把教师或学生看成孤立的个体,而是把他们的教和学看成是相互影响的辩证发展过程.在和谐的氛围中,教师和学生都处在自由状态,可以不受框框的束缚,充分表达各自的意见,在自己积极思维的同时又能感受他人不同的思维方式,从而打破自己的封闭状态,进入更加广阔的领域.
二、作法总结,变式演练(13分钟)
教学环节
教学过程
设计意图
作法总结
正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.
请大家总结这三种三角函数线的作法,并用几何画板演示(一学生描述,同时用电脑演示):
第一步:
作出角的终边,与单位圆交于点P;
第二步:
过点P作轴的垂线,设垂足为M,得正弦线MP、余弦线OM;
第三步:
过点A(1,0)作单位圆的切线,它与角的终边或其反向延长线的交点设为T,得角的正切线AT.
特别注意:
三角函数线是有向线段,在用字母表示这些线段时,要注意它们的方向,分清起点和终点,书写顺序不能颠倒.余弦线以原点为起点,正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点,其中点A为定点(1,0).
及时归纳总结,加深知识的理解和记忆.
变式演练,提高能力
练习:
利用几何画板画出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:
(1);
(2).
学生先做,然后投影展示一学生的作品,并强调三角函数线的位置和方向.
例1利用几何画板画出适合下列条件的角的终边:
(1);
(2);
(3).
共同分析
(1),设角的终边与单位圆交于P(),则=,所以要作出满足的角的终边,只要在单位圆上找出纵坐标为的点P,则射线OP即为的终边.(几何画板动态演示)
请学生分析
(2)、(3),同时用几何画板演示.
例2利用几何画板画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:
(1)≥;
(2)≤-.
分析:
先作出满足,的角的终边(例1已做),然后根据已知条件确定角终边的范围.(几何画板动态演示)
答案:
(1){
}.
(2){
}.
延伸:
通过
(1)、
(2)两图形的复合又可以得出不等式组
的解集:
{
}.
巩固练习,准确掌握三角函数线的作法.
逆向思维,灵活运用三角函数线,并为利用三角函数线求解三角函数不等式(组)作铺垫.
数形结合思想表现在由数到形和由形到数两方面.将任意角的正弦、余弦、正切值分别用有向线段表示出来体现了由数到形的转化;借助三角函数线求解三角函数方程和不等式又发挥了由形到数的巨大作用.
三、思维拓展,论坛交流(10分钟)
教学环节
教学过程
设计意图
思
维
拓
展,论坛交流
观察角的终边在各位置的情形,结合三角函数线和已学知识,你能发现什么规律,得出哪些结论?
请说明你的观点和理由,并发表于焦作一中教育论坛().
学生得出的结论有以下几种:
(1)sin2+cos2=1;
(2)│sin│+│cos│≥1;
(3)-1≤sin≤1,-1≤cos≤1,tan∈R;
(4)若两角终边互为反向延长线,则两角的正切值相等,正弦、余弦值互为相反数;
(5)当角的终边在第一象限逆时针旋转时,正弦、正切值逐渐增大,余弦值逐渐减小;
(6)当角的终边在直线的右下方时,sin<cos;当角的终边在直线的左上方时,sin>cos;
……
给学生建设一个开放的、有活力、有个性的数学学习环境.论坛交流既能展示个人才华,又能照顾到各个层次的学生.来自他人的信息为自己所吸收,自己的既有知识又被他人的视点唤起,产生新的思想.这样的学习过程使学生在轻松达成一个个阶段目标之后,顺利到达数学学习的新境界.
四、归纳小结,课堂延展(5分钟)
教学环节
教学过程
设计意图
归
纳
小
结
1.回顾三角函数线作法.
2.三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重要工具,自从著名数学家欧拉提出三角函数与三角函数线的对应关系,使得对三角函数的研究大为简化,现在仍然是我们解三角不等式、比较大小、以及今后研究三角函数图像与性质的基础.
回顾三角函数线作法,再次加深理解和记忆.点明三角函数线在其他方面的应用,以及数形结合思想,便于学生在后续学习中更深入的思考,更广泛的研究.
巩固创新,
课
堂
延
展
巩固作业:
习题4.31,2
提升练习:
1.已知:
,那么下列命题成立的是()
A.若、是第一象限的角,则cos>cos.
B.若、是第二象限的角,则tan>tan.
C.若、是第三象限的角,则cos>cos.
D.若、是第四象限的角,则tan>tan.
2.求下列函数的定义域:
(1)y=;
(2)y=lg(3-4sin2x).
延展作业:
1.类比正切线的作法,你能作出余切线吗?
2.结合三角函数线我们已经发现了一些很有价值的结论,你还能得出哪些结论?
请大家继续在论坛上交流.
3.查阅数学家欧拉的生平事迹,了解他在数学方面的突出贡献,谈谈你的学习感受,并发表于论坛交流.
既能保证全体学生的巩固应用,又兼顾学有余力的学生,同时将探究的空间由课堂延伸到课外.
教学设计说明:
1.让计算机软件和网络真正走入数学课堂,发挥它们的辅助作用.
“让计算机软件和网络走入数学课堂”是提出了多年的口号,但是如何真正让多媒体在数学学习中发挥积极的作用却是我们一直在探索的问题.本节课有较广的延展面,是培养学生发现、探索、创新能力的很好素材,但是要在一节课45分钟时间内实现构想,对课的安排提出了非常高的要求.几何画板软件的动画演示功能正好可以帮助学生做数学试验,探讨数学问题;网络论坛可以让他们充分交流,相互学习.为此,我把授课地点放在多媒体网络教室,充分发挥多媒体的优势,既丰富了三角函数线的概念,又培养了学生发现问题、解决问题的能力,探索精神、创新意识也有了相应的提高.
2.不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法.
课堂教学最终是为了让学生摆脱课堂,独立学习,所以不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法.本节课所采用的科研式教学法体现了研究新问题的一般思路,让学生逐步领悟这种科学的研究方法,有利于他们今后能够独立地开展科研活动.
3.使学生始终保持学习兴趣,快乐学数学.
苏霍姆林斯基说过:
“在人的内心深处,都有一种根深蒂固的需要,那就是希望自己是一个发现者和探索者.”本节课正是抓住学生的这一心理需求,充分利用互动工具,让学生动手实践、思考探索,合作交流,真正意义上做到尊重学生的创造性,挖掘学生的潜力,让他们对整个学习过程充满激情,快乐学数学!
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 12 任意角的三角函数教案2 新人教版必修4 任意 三角函数 教案 新人 必修