第一章 算法初步 专题突破一 Word版含答案.docx
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第一章算法初步专题突破一Word版含答案
专题突破一 例析典型算法与程序框图
一、解方程(方程组)的算法
例1 用自然语言描述求一元二次方程x2+bx+c=0的根的算法.
思维切入 对于求方程的根,解方程组这样的数值型的问题,我们都有具体的计算方法,只要我们把平时的计算方法严格地按步骤描述出来即可.因此我们很容易得到下面的算法.
解 用自然语言来描述算法,
第一步,计算Δ=b2-4ac.
第二步,如果Δ<0,则原方程无实数解,输出“无实数解”;否则(Δ≥0)计算x1=
,x2=
,输出x1,x2的值.
点评 第二步中包含了一个判断Δ=b2-4ac是否小于零的条件,并根据判断结果进行不同的处理.算法是否“健壮”,也是衡量算法优劣的重要指标.如果思维不严谨,比如这个算法忘记考虑Δ=b2-4ac小于零的情形,实际运算一旦遇到,则会导致不是出错就是死机,那这个算法就是不“健壮”的.
二、套用公式求值的算法
例2 已知摄氏温度C与华氏温度F的关系是F=C×
+32,写出由摄氏温度求华氏温度的算法.
思维切入 这是一个函数求值问题,给C赋值再代入解析式求F.
解 第一步,输入摄氏温度C.
第二步,代入F=C×
+32.
第三步,输出华氏温度F.
点评 平时计算我们只注重第二步,其他步骤往往忽略了,算法却讲究“按部就班”,这类问题的算法一般分为三步:
第一步输入值,第二步套用公式,第三步输出结果.
三、判断性质型问题的算法
例3 试描述判断圆(x-x0)2+(y-y0)2=r2和直线Ax+By+C=0位置关系的算法.
思维切入 直线与圆的位置关系有三种:
相离、相切、相交,如果圆心到直线的距离d>r,则直线与圆相离,d=r,则直线与圆相切,d 解 第一步,输入圆心的坐标、直线方程的系数和半径r. 第二步,计算z1=Ax0+By0+C. 第三步,计算z2=A2+B2. 第四步,计算d= . 第五步,如果d>r则输出相离,如果d=r则输出相切,如果d 点评 算法要求分步计算,不要直接计算d= .一个比较大的程序,会分成若干模块,一个模块出了问题只需要修改这一模块,而不需要全盘翻工. 四、累加、累乘问题的算法 例4 用自然语言描述求解P=1×2×3×4×5×6问题的算法. 思维切入 根据算法的特点,我们学过的加、减、乘、除运算法则都是算法,只要按照具体的规则有步骤地描述过程,便有了该题的算法. 解 第一步,设i=1,P=1. 第二步,如果i≤6执行第三步,否则执行第五步. 第三步,计算P×i并将结果代替P. 第四步,将i+1代替i,转去执行第二步. 第五步,输出P. 点评 i称为计数变量,每一次循环它的值增加1,由1变到6,P是一个累乘变量,每一次循环得到一个新的结果,然后新的结果代替原值. 五、顺序结构的程序框图 例5 输入一个实数x,画出求函数y=x3+3x-7的值的一个程序框图. 解 程序框图如图所示. 点评 一般的,对于一次函数、二次函数、高次函数等的求值问题,通常采用顺序结构. 六、条件结构的程序框图 例6 假设到银行办理个人异地汇款时,银行要收取一定的手续费,汇款不超过100元,收取1元手续费;超过100元但不超过5000元,按汇款额的1%收取手续费;超过5000元,一律收取50元手续费.试写出汇款额为x元时,银行收取手续费y元的计算方法,并画出程序框图. 思维切入 根据题意,建立函数模型.写出算法,确定用含有条件结构的程序框图表示. 解 本题是一个实际问题,应先建立数学模型: y= 由此可知,求手续费,需先判断x的取值范围. 故应用条件结构描述,程序框图如图所示. 点评 对于三段或以上的分段函数,可以写成嵌套式条件结构,也可以用顺序结构一段一段地讨论. 七、循环结构的程序框图 例7 某机械厂为增加产值进行了技术革新.据统计2009年的生产总值为500万元,技术革新后预计每年的生产总值比上一年增加5%,问最早要到哪一年生产总值才能超过600万元,试用程序框图表示. 思维切入 用变量n,a分别表示所经过的年数和生产总值的数量,注意变量的初始值以及递加的值是多少.由题意知第n年后的生产总值为a=500(1+0.05)n,此时为(2009+n)年.由于题中进行了重复的运算,故应引入循环结构. 解 程序框图如图所示. 点评 在本例中,给出了当型循环结构的框图,同学们可以自行完成直到型循环结构. 1.已知如图所示的程序框图,若输出的S是30,则①中可以为( ) A.n≤2? B.n≤3? C.n≤4? D.n≤5? ★答案★ C 解析 第一次循环: S=0+2=2,n=1+1=2,继续循环; 第二次循环: S=2+22=6,n=2+1=3,继续循环; 第三次循环: S=6+23=14,n=3+1=4,继续循环; 第四次循环: S=14+24=30,n=4+1=5,停止循环,输出S=30. 2.某市的士收费办法如下: 不超过2公里收7元(即起步价7元),超过2公里的里程每公里收2.6元,另每车次超过2公里收燃油附加费1元(不考虑其他因素).相应收费系统的程序框图如图所示,则①处应填( ) A.y=7+2.6x B.y=8+2.6x C.y=7+2.6(x-2) D.y=8+2.6(x-2) ★答案★ D 解析 当x>2时,2公里内的收费为7元,2公里外的收费为7+(x-2)×2.6(元),另外燃油附加费为1元, 所以y=7+2.6(x-2)+1=8+2.6(x-2). 3.执行如图所示的程序框图,若输入的ε的值为0.25,则输出的n的值为________. ★答案★ 3 解析 由程序框图可知: 第一次循环, F1=1+2=3,F0=3-1=2,n=2, 此时 = ≤0.25不成立; 第二次循环,F1=2+3=5,F0=5-2=3,n=3, 此时 = ≤0.25成立,输出n=3. 4.写出解x2-4x+3<0的算法. 解 第一步,求出对应方程x2-4x+3=0的根x1=1,x2=3. 第二步,确定根的大小x1 第三步,写出解集{x|1 5.高一 (2)班共有54名学生参加数学竞赛,现已有他们的竞赛分数,请设计一个将竞赛成绩优秀的学生的平均分输出的算法(规定90分以上为优秀,画出程序框图). 解 程序框图如图所示. 6.如图,在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P,沿着BCDA的方向由点B向点A运动,设点P运动的路程为x(0 解 y与x的关系满足分段函数: y= 程序框图如图所示. 一、选择题 1.下列能称为算法的是( ) A.吃饭 B.做饭 C.刷碗 D.先买菜,再做饭,然后吃饭,最后刷碗 ★答案★ D 解析 D项是完成一件事的步骤,所以是算法,A,B,C项均不符合算法的定义. 2.算法有三种基本逻辑结构,即顺序结构、条件结构、循环结构,下列说法正确的是( ) A.一个算法只能包含一种基本逻辑结构 B.一个算法最多可以包含两种基本逻辑结构 C.一个算法必须包含三种基本逻辑结构 D.一个算法可能包含三种基本逻辑结构 ★答案★ D 3.执行如图所示的程序框图,则输出S的值为( ) A.- B. C.- D. ★答案★ D 解析 按照程序框图依次循环运算,当k=5时,停止循环,当k=5时,S=sin = . 4.执行如图所示的程序框图,若输出k的值为8,则判断框内可填入的条件是( ) A.s≤ ? B.s≤ ? C.s≤ ? D.s≤ ? ★答案★ C 解析 由s=0,k=0满足条件;则k=2,s= ,满足条件;k=4,s= + = ,满足条件;k=6,s= + = ,满足条件;k=8,s= + = ,不满足条件,输出k=8,所以应填“s≤ ? ”. 5.如图所示的程序框图是算法结构中的( ) A.条件结构B.顺序结构 C.递归结构D.循环结构 ★答案★ A 解析 该程序框图符合条件结构的特征. 6.阅读如图所示的程序框图,若输出S的值为-7,则判断框内可填写( ) A.i<3? B.i<4? C.i<5? D.i<6? ★答案★ D 解析 第一次循环,S=2-1=1,i=1+2=3; 第二次循环,S=1-3=-2,i=3+2=5; 第三次循环,S=-2-5=-7,i=5+2=7. 因为输出S的值为-7,故判断框内应填“i<6? ”. 7.执行如图所示的程序框图,若输入x=-2,h=0.5,则输出的各个数的和等于( ) A.3B.3.5C.4D.4.5 ★答案★ B 解析 按照程序框图依次执行为x=-2,h=0.5,输出y=0; x=-1.5,h=0.5,输出y=0; x=-1,h=0.5,输出y=0; x=-0.5,h=0.5,输出y=0; x=0,h=0.5,输出y=0; x=0.5,h=0.5,输出y=0.5; x=1,h=0.5,输出y=1; x=1.5,h=0.5,输出y=1; x=2,h=0.5,输出y=1,结束循环. 故输出的各个数的和为3.5,故选B. 8.阅读如图所示程序框图.若输入x为3,则输出的y的值为( ) A.24B.25C.30D.40 ★答案★ D 9.某程序框图如图所示,若运行该程序后输出的值是 ,则a的值为( ) A.4B.5C.6D.7 ★答案★ A 解析 由题意知S=1+ + + +…+ = ,所以a=4. 10.某店一个月的收入或支出为a1,a2,…,aN,其中收入记为正数,支出记为负数.该店用如图所示的程序框图计算月总收入S和月净盈利V,那么在图中空白的判断框和处理框中应分别填入( ) A.A>0,V=S-T B.A<0,V=S-T C.A>0,V=S+T D.A<0,V=S+T ★答案★ C 解析 月总收入S应当为本月的各项收入之和,故需满足A>0,月净盈利应当为月总收入减去本月各项支出的和,又T<0,所以V=S+T. 因此判断框内应填“A>0”,处理框内应填“V=S+T”. 二、填空题 11.如图为计算y=|x|函数值的程序框图,则此程序框图中的判断框内应填__________. ★答案★ x<0? 解析 输入x应判断x是否大于等于零,由图知判断框应填x<0? . 12.阅读如图所示程序框图,若输入的a,b,c分别是21,32,75,则输出的a,b,c分别是________. ★答案★ 75,21,32 解析 输入a=21,b=32,c=75, 则x=21,a=75,c=32,b=21, 则输出a=75,b=21,c=32. 三、解答题 13.如图所示的程序框图表示了一个什么样的算法? 试用当型循环写出它的算法并画出相应的程序框图. 解 这是一个计算10个数的平均数的算法. 当型循环的算法如下: 第一步,S=0, 第二步,I=1. 第三步,如果I小于等于10,执行第四步;否则,转第七步. 第四步,输出G. 第五步,S=S+G. 第六步,I=I+1,返回第三步. 第七步,A= . 第八步,输出A. 程序框图如图. 14.执行如图所示的程序框图,若x∈[a,b],y∈[0,4],则b-a的最小值为( ) A.2B.3C.4D.5 ★答案★ A 解析 程序框图的功能为求分段函数y= 的函数值,其图象如图所示. 由图可知2≤b-a≤5,故选A. 15.某市劳动保障部门规定: 某工种在法定工作时间内,工资为每小时8元,加班工资为每小时12元.已知某人在一周内工作60个小时,其中加班20个小时,他每周收入的10%要交纳税金,请设计一个算法,计算此人这周所得的净收入,并画出相应的程序框图. 解 此人一周在法定工作时间内工作40个小时,加班20个小时,他一周内的净收入等于(40×8+20×12)×(1-10%)元. 算法如下: 第一步,令T=40,t=20. 第二步,计算S=(8×T+12×t)×(1-10%). 第三步,输出S. 程序框图如图.
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