人教版八年级数学《平方差公式》教学设计方案.docx

人教版八年级数学《平方差公式》教学设计方案.docx

《人教版八年级数学《平方差公式》教学设计方案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版八年级数学《平方差公式》教学设计方案.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

人教版八年级数学《平方差公式》教学设计方案

教学设计方案

课题名称

平方差公式

姓名

工作单位

年级学科

八年级数学

教材版本

人教版

一、教学内容分析（简要说明课题来源、学习内容、知识结构图以及学习内容的重要性）

《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个公式.

二、教学目标（从课程标准中找到要求，并细化为本节课的具体要求，目标要明晰、具体、可操作，并说明本课题的重难点）

知识技能了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题．

过程方法经历平方差公式产生的过程，体验知识的产生与发展，感受利用归纳、数形结合等数学思想方法解决数学问题的策略，培养学生观察、归纳、概括的能力．

情感态度在探索平方差公式的过程和在解决问题过程中学会与他人合作交流．在公式的学习及运用中积累解题的经验、体验成功的喜悦，提高学生学习数学的兴趣．

三、学习者特征分析（学生对预备知识的掌握了解情况，学生在新课的学习方法的掌握情况，如何设计预习）

 学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时常常会确定错某些项符号及漏项等问题．学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生的理解．因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解．

四、教学策略选择与信息技术融合的创新点（根据教学内容，配置学习资源和数字化工具，设计信息技术融合与创新点）

教师活动

预设学生活动

设计意图

一、情境引入

提问：

第四中学校学生实践基地有一块边长为30米的正方形实验田，现要在实验田中开设一块边长为5米的正方形观测台，现要在实验田播种，请问正方形实验田的播种面积是多少平方米？

二、探究新知

1．计算下列各式，看看你是否有所发现？

⑴==；

⑵==；

⑶==__；

2．找出上题式子中具有的共同特征，并说出它们的共同特征：

_________________________________.

3．猜想：

（a+b）（a-b）=?

你能通过计算（a+b）（a-b），说明猜想的合理性吗？

解：

（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2

4．你能揭示公式的结构特征吗？

教师提出问题,学生认真思考大胆回答。

教师提出问题，引导学生分析问题。

学生观察、分析这组题目左边的算式和右边的结果，你能从中发现什么规律？

（小组讨论）

学生总结：

（1）计算的结果都是两项的平方差，与以往两项乘以两项的结果大多是三项或四项不同；

（2）这些两项乘以两项中，有一项是

从生活中的实例引入，一是激发学生求知兴趣；二是为说明平方差公式的几何意义做好铺垫．

在教学中以一组相关联但又有区别的题目为载体，学生通过计算，观察每个算式的特点、结果的特点,挖掘题

注意：

左边右边

结构特征（a+b）（a-b）=a2-b2

相同项相反项相同项2-相反项2

[a与a][b与-b]=a2-b2

5．运用上面的规律直接写出下列乘法的运算结果：

⑴；

②___________.

6．平方差公式：

即：

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

注意：

平方差公式中的和可以是数、字母，也可以是式；

只要是相同两个式的和乘以差，都等于平方差.

例1．运用平方差公式计算：

（1）；

（2）

（2）

【解析】⑴中，要把和2分别看成公式中的和，

即：

（2）

第

（2）题表面上看不符合公式特征，但实质上是符合公式特征的.

完全相同，另一项又是互为相反的；（3）结果是两项的平方差，并且是完全相同项的平方减去互为相反项的平方。

部分学生板书解题，完成后，师生纠错。

学生先自主辨析，再交流互补，不断完善。

在交流中让学生归纳平方差公式的特征：

（1）左边为两个数的和与差的积；

（2）右边为两个数的平方差．

学生回答，教师点拨。

学生发现技巧，灵活应用公式。

目间的共性发现规律，举三反一，猜想公式，让学生经历从一般到特殊，从具体到抽象的过程，体会归纳这一数学思想方法．

揭示公式的结构特征，是学生理解公式、进而灵活运用公式解决问题的前提条件．让学生自主辨析、合作交流、共同总结得以明晰，既体现了学生学习的主动性，又为学生学习公式进行了学法指导,可谓“一箭双雕”．

通过一则平方差公式简单的例题分析及应用，巩固了公式结构特征，让学生进一步

 注意：

左边        右边                

结构特征 （a+b）（a-b）  =    a2  - b2

相同项  相反项     相同项2- 相反项2

      [a与a]  [b与-b]=a2  - b2

5．运用上面的规律直接写出下列乘法的运算结果：

⑴

；

②

___________.

6．平方差公式：

即：

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

注意：

平方差公式中的

和

可以是数、字母，也可以是式；

只要是相同两个式的和乘以差，都等于平方差.

例1．运用平方差公式计算：

（1）

；

（2）

（2）

【解析】⑴中，要把

和2分别看成公式中的

和

，

即：

（2）

第

（2）题表面上看不符合公式特征，但实质上是符合公式特征的.

【点拨】在运用平方差公式时注意：

⑴判断是否符合平方差公式的结构特点，只有符公式结构的乘法才能运用公式简化运算，否则仍按多项式乘法法则进行.⑵能用公式的式子要先变形为

的形式，再利用公式进行计算.

例2．下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（）

（1）（x+1）（1+x）；

（2）（

a+b）（b－

a）；

（3）（－a+b）（a－b）；

（4）（x2－y）（x+y2）；

（5）（－a－b）（a－b）；

（6）（c2－d2）（d2+c2）．

只有

（2）、（5）、（6）能用平方差公式．因为

（2）（

a+b）

教学程序及教学内容

（b－

a）利用加法交换律可得（

a+b）（b－

a）=（b+

a）（b－

a），表示b与

a这两个数的和与差的积，符合平方差公式的特点；（5）（－a－b）（a－b），同样可利用加法交换律得（－a－b）（a－b）=（－b－a）（－b+a），表示－b与a这两个数和与差的积，也符合平方差公式的特点；（6）（c2－d2）（d2+c2）利用加法和乘法交换律得（c2－d2）（d2+c2）=（c2+d2）（c2－d2），表示c2与d2这两个数和与差的积，同样符合平方差公式的特点．

（1）、（3）、（4）不能用平方差公式，因为表示的不是两个数的和与差的积的形式．

例3．计算

（1）102×98；

（2）（y＋2）（y－2）－（y－1）（y＋5）.

（3）．若

，则

.

（4）．已知方程组

，则

=_____.

三、课堂训练

1．基础练习：

2，给出下列算式：

32－12=8=8×1；

52－32=16=8×2；

72－52=24=8×3；

92－72=32=8×4．

（1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？

答案：

连续两个奇数的平方差是8的倍数．

教学程序及教学内容

学生分组讨论，合作交流，归纳何时才能运用平方差公式。

学生独立完成计算，教师加以指导，并展示学生成果。

学生熟练准确的计算，教师多从能力和情感上关注学生。

五、教学过程（设计本课的学习环节，要求体现信息技术与整个教学过程的深度融合）

1.计算下列多项式的积：

 ①（x+1）（x−1）；②（m+2）（m−2）；③（2x+1）（2x−1）

　　①（x+1）（x−1）=x2−x+x−1=x2−1

　　②（m+2）（m−2）=m2−2m+2m−4=m2−4

　　③（2x+1）（2x−1）=4x2−2x+2x−1=4x2−1

　　2．提出问题：

　　观察上述算式，你发现什么规律？

运算出结果后，你又发现什么规律？

　　3．特点：

　　等号的一边：

两个数的和与差的积，等号的另一边：

是这两个数的平方差

　　4．得到结论：

（a+b）（a−b）=a2−ab+ab−b2=a2−b2．

即（a+b）（a−b）=a2−b2，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式叫做（乘法的）平方差公式。

下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？

　　①（2a+3b）（2a−3b）；②（−2a+3b）（2a−3b）；③（−2a+3b）（−2a+3b）；④（−2a−3b）（2a−3b）；⑤（a+b+c）（a−b+c）；⑥（a−b−c）（a+b−c）

　　学生讨论并回答，教师总结，其中①④⑤⑥可以用平方差公式

认清公式：

在等号左边的两个括号内分别没有符号变化的部分是a，变号的部分是b。

思考：

你能根据下图中的面积说明平方差公式吗？

　　学生讨论并回答，教师总结：

　　（a+b）（a−b）为长方形①与③的面积和

　　a2−b2则是长方形①与②的面积和

　　而长方形②与③的是形状大小完全一样的两个长方形，面积相等

　　所以（a+b）（a−b）=a2−b2

直接运用

　　例：

①（3x+2）（3x−2）；②（b+2a）（2a−b）；③（−x+2y）（−x−2y）

　　解答：

①（3x+2）（3x−2）=9x2−4

　　②（b+2a）（2a−b）=4a2−b

③（−x+2y）（−x−2y）=（−x）2−（2y）2=x2−4y2

简便计算

例：

①102×98；

②（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1

　　解答：

①102×98=（100+2）（100−2）=10000−4=9996

　　②（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1

　　=（2−1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1 

　　=（22−1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1

　　=（24−1）（24+1）（28+1）（216+1）+1

　　=（28−1）（28+1）（216+1）+1

　　=（216−1）（216+1）+1

　　=232−1+1=232．

1.这节课你有哪些收获？

还有什么困惑？

2.平方差公式：

两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，即（a+b）（a−b）=a2−b2。

必做题：

P156习题15.2  1

选做题：

1．A＝（2+1）（22+1）（24+1）（28+1），则A的末位数是_______。

六、教学评价设计（创建量规，向学生展示他们将被如何评价<来自教师和小组其他成员的评价>。

也可以创建一个自我评价表，这样学生可以用它对自己的学习进行评价）

学生学习活动评价表

项目

评分细则

评分

课堂

表现

40分

认真听课，积极进行课堂学习活动。

并有自已独立的见解。

40分

基本上能认真听课，积极进行课堂学习活动。

30分

能认真听课，并进行课堂学习活动。

但有分神的现象。

要教师约束。

20分

在教师的约束学习活动不佳。

 15分或以下

作业

完成

20分

按时保质保量独立完成，并有独特见解。

20分

按时保质保量独立完成。

15分

基本能按时完成。

10分

有不交作业或抄袭等的现象。

5分或以下

小组

活动

40分

积极参加小组活动，有独立见解，动手、动口、动脑能力强，与同学合作愉快。

40分

积极参加小组活动，爱动手、动口、动脑能力强，与同学合作愉快。

35分

能参加小组活动，与同学合作愉快。

30分

达不到以上要求。

20分或以下

总评

80分以上评优，70-80评良，50-60评合格，50分以下评不合格。

总分：

等