北师大版高中数学必修一学案第三章 53 对数函数的图像和性质.docx
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北师大版高中数学必修一学案第三章53对数函数的图像和性质
5.3 对数函数的图像和性质
学习目标
1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法.3.会解简单的对数不等式.4.了解反函数的概念及它们的图像特点.
知识点一 y=logaf(x)型函数的单调区间
思考 我们知道y=2f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同,那么y=log2f(x)的单调区间与y=f(x)的单调区间相同吗?
梳理 一般地,形如函数f(x)=logag(x)的单调区间的求法:
①先求g(x)>0的解集(也就是函数的定义域);②当底数a大于1时,g(x)>0限制之下g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间,g(x)>0限制之下g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间;③当底数a大于0且小于1时,g(x)>0限制之下g(x)的单调区间与f(x)的单调区间正好相反.
知识点二 对数不等式的解法
思考 log2x<log23等价于x<3吗?
梳理 一般地,对数不等式的常见类型:
当a>1时,
logaf(x)>logag(x)⇔
当0<a<1时,
logaf(x)>logag(x)⇔
知识点三 不同底的对数函数图像的相对位置
思考 y=log2x与y=log3x同为(0,+∞)上的增函数,都过点(1,0),怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置?
梳理 一般地,对于底数a>1的对数函数,在(1,+∞)区间内,底数越大越靠近x轴;对于底数0 知识点四 反函数的概念 思考 如果把y=2x视为A=R→B=(0,+∞)的一个映射,那么y=log2x是从哪个集合到哪个集合的映射? 梳理 一般地,像y=ax与y=logax(a>0,且a≠1)这样的两个函数互为反函数. (1)y=ax的定义域R,就是y=logax的值域,而y=ax的值域(0,+∞)就是y=logax的定义域. (2)互为反函数的两个函数y=ax(a>0,且a≠1)与y=logax(a>0,且a≠1)的图像关于直线y=x对称. (3)互为反函数的两个函数的单调性相同,但单调区间不一定相同. 类型一 对数型复合函数的单调性 例1 求函数y=log (-x2+2x+1)的值域和单调区间. 反思与感悟 求复合函数的单调性要抓住两个要点: (1)单调区间必须是定义域的子集,哪怕一个端点都不能超出定义域. (2)f(x),g(x)单调性相同,则f(g(x))为增函数;f(x),g(x)单调性相异,则f(g(x))为减函数,简称“同增异减”. 跟踪训练1 已知函数f(x)=log (-x2+2x). (1)求函数f(x)的值域; (2)求f(x)的单调性. 例2 已知函数y=log (x2-ax+a)在区间(-∞, )上是增函数,求实数a的取值范围. 反思与感悟 若a>1,则y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同,若0 跟踪训练2 若函数f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上为减函数,则a的取值范围是( ) A.(0,1)B.(1,3) C.(1,3]D.[3,+∞) 类型二 对数型复合函数的奇偶性 例3 判断函数f(x)=ln 的奇偶性. 引申探究 若已知f(x)=ln 为奇函数,则正数a,b应满足什么条件? 反思与感悟 (1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数,但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数). (2)含对数式的奇偶性判断,一般用f(x)±f(-x)=0来判断,运算相对简单. 跟踪训练3 判断函数f(x)=lg( -x)的奇偶性. 类型三 对数不等式 例4 已知函数f(x)=loga(1-ax)(a>0,且a≠1),解关于x的不等式: loga(1-ax)>f (1).
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