《高校自主招生考试》数学真题分类解析之2复数平面向量.docx
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《高校自主招生考试》数学真题分类解析之2复数平面向量
专题之2、复数、平面向量
一、选择题。
1.(2009年复旦大学)设实数r>1,如果复平面上的动点z满足|z|=r,则动点w=z+的轨迹是
A.焦距为4的椭圆
B.焦距为的椭圆
C.焦距为2的椭圆
D.焦距为的椭圆
2.(2009年复旦大学)复平面上点=1+2i关于直线l:
|z−2−2i|=|z|的对称点的复数表示是
A.−i
B.1−i
C.1+i
D.i
3.(2010年复旦大学)在xOy坐标平面上给出定点A(1,2),B(2,3),C(2,1),矩阵将向量,,分别变换成向量,,,如果它们的终点A',B',C'的连线构成直角三角形,斜边为B'C',则k的取值为
A.±2
B.2
C.0
D.0,−2
4.(2010年复旦大学)设复数z=cos+isin,w=sin+icos满足z,则sin(β−α)=
A.±
B.,
C.±
D.,
5.(2010年复旦大学)已知复数=1+,z2=+,则复数z1z2的辐角是
A.
B.
C.
D.
6.(2010年复旦大学)在直角坐标系xOy中,已知点(1,0),
(,),(,),(−1,0),(,)和(,),问在向量 (i,j=1,2,3,4,5,6,i≠j)中,不同向量的个数是
A.9
B.15
C.18
D.30
7.(2011年复旦大学)给定平面向量(1,1),那么,平面向量(,)是将向量(1,1)经过
A.顺时针旋转60°所得
B.顺时针旋转120°所得
C.逆时针旋转60°所得
D.逆时针旋转120°所得
8.(2011年复旦大学)设有复数=,=+isin,令ω=,则复数ω+ω2+ω3+…+ω2011=
A.ω
B.
C.
D.
9.(2011年复旦大学)将复数z=(sin75°+isin15°)3(其中i=))所对应的向量按顺时针方向旋转15°,则所得向量对应的复数是
A.+i
B.+i
C.
D.
10.(2012年复旦大学)设S是Oxy平面上的一个正n边形,中心在原点O处,顶点依次为,,…,,有一个顶点在正y轴上.又设变换σ是将S绕原点O旋转一个角度使得旋转后的图形与原图形重合,
σ−1表示σ的反变换(即旋转角度大小和σ相同但方向相反),变换τ是将S作关于y轴的对称变换(即将(x,y)变为(−x,y)),στ表示先作变换τ再作变换σ,而τσ,τστ,στστ等的含义类推,则有
A.τστ=σ
B.τστ=σ−1
C.τσ=στ
D.τστσ=σσ
11.(2011年同济大学等九校联考)i为虚数单位,设复数z满足|z|=1,则||的最大值为
A.−1
B.2−
C.+1
D.2+
12.(2011年同济大学等九校联考)向量a,b均为非零向量,(a−2b)⊥a,(b−2a)⊥b,则a,b的夹角为
A.
B.
C.
D.
13.(2010年清华大学等五校联考)设向量a,b满足==1,
a•b=m,则(t∈R)的最小值为
A.2
B.
C.1
D.
14.(2010年清华大学等五校联考)设复数w=()2,其中a为实数,若w的实部为2,则w的虚部为
A.
B.
C.
D.
15.(2011年清华大学等七校联考)设复数z满足<1且=,则|z|=
A.
B.
C.
D.
16.(2012年清华大学等七校联考)向量a≠e,=1,若∀t∈R,≥,则
A.a⊥e
B.a⊥(a+e)
C.e⊥(a+e)
D.(a+e)⊥(a−e)
17.(2012年清华大学等七校联考)若复数的实部为0,Z是复平面上对应的点,则点Z(x,y)的轨迹是
A.一条直线
B.一条线段
C.一个圆
D.一段圆弧
二、填空题。
18.(2009年南京大学)已知向量a、b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为,则以3a−b和a+b为边的平行四边形的面积为 .
19.(2009年南京大学)z为模大于1的复数,=cosθisinθ.,则z= .
20.(2012年同济大学等九校联考)直角三角形ABC中,∠A是直角,A为EF中点,且EF与BC夹角为60°,BC=4,EF=2,则•= .
三、解答题。
21.(2009年清华大学)sint+cost=1,设s=cost+isint,求f(s)=1+s++…+.
22.(2010年北京大学等三校联考)向量,的夹角为θ,=2,=1,=t,=(1−t),| |=f(t)在t=时取得最小值,若0<<,求θ的取值范围.
k的方程进行求解.=,=,=,故点A',B',C'的坐标分别是A'(2+2k,1),B'(4+3k,1),C'(4+k,−1),由于斜边为B'C',故A'B'⊥A'C',即·=0,即(2+k,0)·(2−k,−2)=0,即(2+k)(2−k)=0,由于2+k=0时,A',B'重合,故只能是2−k=0,即k=2.故选B.
4.C
【解析】直接计算z,根据复数相等的充要条件得出关于α,β的三角函数关系式,通过这个关系式求解.
z=(cosα+isinβ)(sinα−icosβ)=(sinαcosα+sinβcosβ)−(cosαcosβ−
sinαsinβ)i,根据已知可得,sinαcosα+sinβcosβ=,cosαcosβ−
sinαsinβ=0,根据和差化积公式和两角和的余弦公式,得sin(α+β)cos(α−β)=,cos(α+β)=0,由此得cos(α−β)=±,所以sin(β−α)=±.选C.
同的向量的个数是30−6−6=18.选C.
7.C
【解析】向量(1,1)的复数表示是(cos45°+isin45°),向量(,)= (,).由于cos105°=,sin105°=,所以向量(,)的复数表示是 (cos105°+isin105°),即(cos45°+isin45°)(cos60°+isin60°).选C.
8.A
【解析】ω1=+i=cos+isin,∴ω==cos+isin,
∴ω+ω2+ω3+…+ω2011==ω,选A.
9.A
【解析】z=(sin75°+isin15°)3=(cos15°+isin15°)3=cos45°+isin45°,
所以将其所对应的向量按顺时针方向旋转15°后得到的向量对应的复数为Z=(cos45°+isin45°)[cos(−15°)+isin(−15°)]=cos30°+isin30°=+i.
10.B
【解析】不失不一般性,我们把x轴、y轴对换,并设正n边形的外接圆半径为1.对于复平面
12.B
【解析】先找到向量a,b的模之间的关系,再代入已知表达式求出向量a,b夹角的余弦值,从而a,b的夹角易求.依题知(a−2b)·a=|a|2−2a·b=0,(b−2a)·b=2−2a·b=0,所以|a|2=|b|2,即|a|=|b|,故|a|2−2a·b=|a|2−2|a|2cos=0,可得cos=,又因为0≤≤π,所以=.故选B.
13.D
【解析】|a+tb|2=1+t2+2mt,所以min= .
14.A
【解析】w=()2===ai,因为w的实部为2,所以a=2,故虚部为.选A.
15.D
【解析】由=得2+1=|z|,解得=2(舍去),或=.选D.
16.C
19.2(cosθ+isinθ).
【解析】设z=a+bi,则a−bi+=cosθisinθ.
∴, (*)两式平方相加得·(a2+b2)=,
解得a2+b2=4或(舍去).∴a2+b2=4,代入(*)式得a=2cosθ,b=2sinθ,∴z=2(cosθ+isinθ).
20.1
【解析】如图,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立一个平面直角坐标系.
先设E在△ABC内,如图1所示.
不妨设∠C=α,则B(4sinα,0),C(0,4cosα),E(cos(30°+α),sin(30°+α)),
F(cos(180°+30°+α),sin(180°+30°+α)).
=(cos(30°+α)−4sinα,sin(30°+α)),
=(cos(180°+30°+α),sin(180°+30°+α)−4cosα).
·=−cos2(30°+α)+4sinαcos(30°+α)−sin2(30°+α)−4cosαsin(30°+α)
=−1+4sin[α−(30°+α)]=−3.
若F在△ABC内,如图2所示,
同理可得·=1.
21.f(s)=
【解析】由sint+cost=1得:
sin(t+)=1,
∴t+=2kπ+或2kπ+(k∈Z),∴t=2kπ或2kπ+(k∈Z).
当s≠1时,
f(s)===
=,
显然t=2kπ+(k∈Z),∴f(s)=.
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