十年高考真题分类汇编数学041714.docx

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十年高考真题分类汇编数学041714

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学

专题空间向量

1.（2014•全国2•理T11）直三棱柱ABC-A6C、中，N%4R00,MN分别是A£,A6的中

点,则6y与4V所成角的余弦值为（）

B-l

r同u.—10

2.（2013•北京•文T8）如图，在正方体被〃中，尸为对角线做的三等分点，尸到各顶点

的距离的不同取值有（）

3.（2012•陕西•理T5）如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱板。

1二8与纸则直线

与直线必夹角的余弦值为（

4.（2010•大纲全国•文T6）直三棱柱ABC-ABQ中，若NBAC=90°,AB=AC=AA1，则异面直线BA：

与AQ所成的角等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

5.（2019•天津•理T17）如图,AE,平面ABCD,CF〃AE，AD〃BC,AD_LAB,AB=AD=1,AE=BC二2.

（1）求证:

BF〃平面ADE;

⑵求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;

⑶若二面角E-BD-F的余弦值为京求线段CF的长.

E

B

6.（2019•浙江•T19）如图，已知三棱柱ABC-A&C,平面4月平面ABC,ZABC^0°,Z区灰＞30°,4月引。

泡尸分别是〃;43的中点.

（1）证明:

年J_6C;

⑵求直线房与平面46。

所成角的余弦值.

7.（2019•全国1•理T18）如图，直四棱柱极〃的底面是菱形，例=1,止2,N员切40°,EM,V分别是比破,4。

的中点.

⑴证明：

/V〃平面C、DE;

（2）求二面角力T4M的正弦值.

8.（2019•全国2•理T17）如图，长方体力用a-4£4〃的底面月颜是正方形，点£在棱前［上，龙LEG.

⑴证明:

麻山平面微a；

⑵若AE=A^求二面角B-EC-C的正弦值.

9.（2019•全国3•理T19）图1是由矩形ADEB,Rt^ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中

AB=1,BE=BF=2,ZFBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.

（1）证明：

图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC_L平面BCGE;

（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.

10.（2018•浙江•T8）已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等,E是线段AB上的点（不含端点）.设SE与BC所成的角为01,SE与平面ABCD所成的角为82,二面角S-AB-C的平面角为83,则（）

A.01<02<03B.03<02<61

C.01

11.（2018•全国3•理T19）如图,边长为2的正方形4加9所在的平面与半圆弧曲所在平面垂直,"是曲上异于的点.

（1）证明：

平面AMD_L平面BMC;

⑵当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.

12.（2018•北京•理T16）如图，在三棱柱ABC-A瓜&中，CC_L平面ABCM&F,G分别为

44：

AQ4Q能的中点，AB二BC二遍,AC=AA尸2.

⑴求证:

AC_L平面BEF;

（2）求二面角B-CD-G的余弦值;

16.（2018•浙江•T9）如图，已知多面体ABCA瓜心,44£5均垂直于平面ABC,Z

板=120°,A.A^GC=1,AB=BC=B-.B=^.

（1）证明:

四_L平面4A4;

⑵求直线月a与平面月期所成的角的正弦值.

17.（2018•上海，T17）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为0,半径为2.

（1）设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积；

（2）设P0=4,0A,0B是底面半径,且NA0B=90°,M为线段AB的中点，如图,求异面直线PM与0B所成的角的大小.

18.（2017•北京•理T16）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形,平面PAD,平面ABCD,点M在线段PB上,PD〃平面MAC,PA=PD二遍,AB=4.

⑴求证:

M为PB的中点；

（2）求二面角B-PD-A的大小；

⑶求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.

19.（2017•全国1•理T18）如图，在四棱锥P-ABCD中,AB〃CD,且NBAP=NCDP=90。

.

⑴证明：

平面PAB_L平面PAD;

⑵若PA二PD二AB二DC,ZAPD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.

20.（2017•全国2•理T19）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,

AB二BC号AD,NBAD二NABC=90°,E是PD的中点.

⑴证明：

直线CE〃平面PAB;

⑵点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.

21.（2017哈国3理T19）如图，四面体ABCD中，AABC是正三角形，ZXACD是直角三角形，NABD二ZCBD,AB=BD.

⑴证明:

平面ACD_L平面ABC;

（2）过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D-AE-C的余弦值.

22.（2017•山东♦理T17）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120O得到的,G是标的中点.

⑴设P是伞上的一点，且AP_LBE,求NCBP的大小;

⑵当AB=3,AD=2时，求二面角E-AG-C的大小.

23.（2017•天津•理T17）如图，在三棱锥P-ABC中,PA_L底面ABC,NBAC=90°，点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AO4,AB=2.

⑴求证:

MN〃平面BDE;

（2）求二面角C-EM-N的正弦值；

⑶已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为唾

求线段AH的长.

24.（2016全国1理T18）如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,NAFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.

⑴证明：

平面ABEF_L平面EFDC;

（2）求二面角E-BC-A的余弦值.

A

25.（2016•全国2•理T19）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点0,AB=5,AC=6,点E,F分

别在AD,CD上,AE=CF=-,EF交BD于点H.将4DEF沿EF折到△□'EF的位置,0D'二同.

4

⑴证明：

D'H_L平面ABCD;

（2）求二面角B-D'A-C的正弦值.

D'

26.（2016•山东•理T17）在如图所示的圆台中,AC是下底面圆0的直径,EF是上底面圆0'的直径,FB是圆台的一条母线.

⑴已知G,H分别为EC,FB的中点.求证:

GH〃平面ABC;

⑵已知EF=FB=AC&W,AB=BC,求二面角F-BC-A的余弦值.

A

27.（2016•浙江・理T17）如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE_L平面ABC,Z

ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.

⑴求证:

BF_L平面ACFD;

⑵求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

28.（2016•全国3•理T19）如图，四棱锥P-ABCD中，PAJ_底面ABCD,AD//

BC,AB=AD=AO3,PA=BO4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.

（1）证明:

MN〃平面PAB;

⑵求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

29.（2015•全国2•理T19）如图，长方体ABCD-A瓜CD,中,/步=16,优=L0,44日,点E尸分别在

4反〃4上,4£=〃尸工过点£尸的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；

⑵求直线月尸与平面。

所成角的正弦值.

30.（2015•上海•理T19）如图，在长方体被力-46中，朋=1,月庆4如2,E尸分别是棱AB,BC的中点,证明4,G,F,5四点共面,并求直线勿与平面4c所所成的角的大小.

31.（2015•北京•理T17）如图，在四棱锥A-EFCB中，Z\AEF为等边三角形，平面AEF_L平面

EFCB,EF〃BC,BC=4,EF=2a,NEBONFCB=60°,0为EF的中点.

⑴求证:

A0J_BE;

（2）求二面角F-AE-B的余弦值；

⑶若BE,平面A0C,求a的值.

32.（2015•浙江•理T17）如图，在三棱柱ABC—A6以中，N物G90°,AB=AC24月刃,4在底面板的射影为比'的中点,，是员a的中点.

（1）证明：

4〃_L平面45。

；

（2）求二面角4物-£的平面角的余弦值.

Ci

氏

33.（2015•福建•理T17）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形,AB_L平面BEC,BE±

EC,AB=BE二EC二2,G,F分别是线段BE,DC的中点.

⑴求证:

GF〃平面ADE;

⑵求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.

34.（2015•山东,理T17）如图，在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.

（1）求证:

BD〃平面FGH;

（2）若CF平面ABC,AB_LBC,CF=DE,ZBAC=45°,求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小.

35.（2015・全国1•理T18）如图，四边形ABCD为菱形，ZABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE_L平面ABCD,DF_L平面ABCD,BE=2DF,AE±EC.

（1）证明：

平面AEC_L平面AFC;

（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

36.（2015・陕西・理T18）如图①，在直角梯形被力中，49〃比；/BA吟AB=BC=3AD2E是AD的中点，。

是〃•与比的交点,将△月龙沿龙折起到班'的位置，如图②.

（1）证明：

々?

_L平面48；

（2）若平面平面BCDE,求平面45。

与平面45夹角的余弦值.

37.（2015•湖北•理H9）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖

如图，在阳马P-ABCD中，侧棱PDJ_底面ABCD,且PD二CD,过棱PC的中点E,作EF±PB,交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.

⑴证明:

PB_L平面DEF,试判断四面体DBEF是否为鳖臆若是，写出

其每个面的直角（只需写出结论）；若不是,说明理由；

⑵若面必与面月的所成二面角的大小为g求能的值.

3BC

38.（2014•全国1•理T19）如图，三棱柱"C-46G中，侧面破4。

为菱形，月底16c

（1）证明:

47二相二

（2）若月ULn&N迹KT工况;求二面角力-4A-G的余弦值.

39.（2014•全国2•理T18）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形,PAL平面ABCD,E为PD的中点.

⑴证明：

PB〃平面AEC;

⑵设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=V3,求三棱锥E-ACD的体积.

⑴求证:

AB_LPD;

（2）若NBPC=90°,PB=V2,PC=2,问AB为何值时"四棱锥P-ABCD的体积最大?

并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值.

41.（2014•湖南•理T19）如图，四棱柱儿先的所有棱长都相等，力。

A物=Q4GG£〃=Q,四边形力CG4和四边形BD仄区均为矩形.

⑴证明：

”0J_底面板2

⑵若N年出60°,求二面角伽-。

的余弦值.

42.（2014•辽宁•理T19）如图，AABC和4BCD所在平面互相垂直，且AB二BOBD=2,ZABC=Z口80120°,£尸分别为庆&口（；的中点.

（1）求证:

EF_LBC;

（2）求二面角E-BF-C的正弦值.

T17）如图，在四棱锥P-ABCD中，PAJ,底面ABCD,AD±AB,AB//

DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.

⑴证明：

BE_LDC;

⑵求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;

44.（2014•安徽•理T20）如图，四棱柱被力中,4m■底面板O四边形月砥?

为梯形,49

〃况;且49N8C过4,三点的平面记为与。

的交点为Q

（1）证明:

0为能的中点;

⑵求此四棱柱被平面。

所分成上下两部分的体积之比;

⑶若抽3,梯形月阳的面积为6,求平面。

与底面破7?

所成二面角的大小.

45.（2014•四川•理T18）三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图所示.设M,N分别为线段AD,AB的中点,P为线段BC上的点,且MN1NP.

（1）证明:

P是线段BC的中点；

（2）求二面角A-NP-M的余弦值.

46.（2014•山东•理T17）如图，在四棱柱ABCD-A瓜CD,中，底面ABCD是等腰梯形，Z如炉60°,曲20=2,方是线段血的中点.

⑴求证：

aw〃平面次；

⑵若勿垂直于平面A5CD且CD,』,求平面和平面被力所成的角（锐角）的余弦值.

47.（2014•湖北•理T19）如图，在棱长为2的正方体/质-月£4〃中，£EMN分别是棱AB,M4sl,4〃的中点，点P,0分别在棱DD、,蹶上移动,且DP二BQ二人（0（4⑵.

⑴当大刁时，证明：

直线园〃平面万尸0;

⑵是否存在人使面初%与面/WV所成的二面角为直二面角？

若存在，求出/I的值;若不存在，说明理由.

，C

48.（2014•北京•理T17）如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点.在五棱锥P-ABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.

⑴求证:

AB〃FG;

⑵若PAJ_底面ABCDE,且PA二AE,求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.

49.（2014•福建•理T17）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1,ABLBD,CD_LBD.将aABD沿BD折起，使得平面ABD_L平面BCD,如图.

⑴求证:

AB_LCD;

⑵若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.

50.（2014•陕西•理T17）四面体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.

⑴证明：

四边形EFGH是矩形；

⑵求直线AB与平面EFGH夹角0的正弦值.

51.（2013•全国1♦理T18）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB,AB=AA1,ZBAA1=6O°.

（1）证明:

AB_LA1C;

⑵若平面ABC_L平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.

52.（2013•湖南♦理T19）如图，在直棱柱ABCD-A,BCD..中、AD〃BC,ZBAD冬0；ACV

BD,BC=1,AD=AAZ^3.

（1）证明

⑵求直线BC与平面ACD,所成角的正弦值.

53.（2013•全国2•理T18）如图，直三棱柱ABC-A瓜C中，〃6分别是AB,破的中

点、,AA、=AC=C理AB.

（1）证明：

纪〃平面4勿；

（2）求二面角，-4。

-汇的正弦值.

54.（2013•广东•理T18）如图

（1）,在等腰直角三角形ABC中,NA=90°,BC=6,D理分别是AC,AB上的点,CD二BE二鱼,0为BC的中点.将aADE沿DE折起,得到如图⑵所示的四棱锥A'-BCDE,其中A'0=73.

⑴证明:

A'0_L平面BCDE;

⑵求二面角A'-CD-B的平面角的余弦值.

图⑴

图⑵

55.（2013・浙江・理T20）如图，在四面体A-BCD中，AD_L平面BCD,BC_LCD,AD二2,BD二2近M是

AD的中点,P是BM的中点，点Q在线段AC上,且AQ=3QC.

（1）证明:

PQ〃平面BCD;

（2）若二面角C-BM-D的大小为60°,求NBDC的大小.

56.（2012・全国・理T19）如图，直三棱柱咫7-46G中，〃次'当氏”是棱加：

的中点，加，被

（1）证明:

%_L5C;

（2）求二面角4物-G的大小.

57.（20H•全国•理T18）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，Z

DAB=60°,皿二24。

？

口_1底面2\^口.

（1）证明:

PAJ_BD;

（2）设PD二AD,求二面角A-PB-C的余弦值.

58.（2011•四川・理T19）如图，在直三棱柱板-45G中，N胡090°,月5mH4=1"是棱CG上的一点，尸是4?

的延长线与4G的延长线的交点,且被〃平面BDA...

（1）求证：

*=4，；

（2）求二面角力6的平面角的余弦值；

⑶求点。

到平面瓦分的距离.

Bi

59.（2010•全国•理T18）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,AB〃CD,AC_LBD,垂足为

H,PH是四棱锥的高,E为AD中点.

⑴证明：

PE_LBC;

（2）若NAPB二NADB=60°,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.

60.（2010・辽宁•理T19）已知三棱锥P-ABC中，PA_L平面ABC,AB±AC,PA二AC』\B,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.

⑴证明：

CM_LSN;

⑵求SN与平面CMN所成角的大小.