简单的线性规划问题附答案.docx

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简单的线性规划问题附答案

简单的线性规划问题

[学习目标]　1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．

知识点一　线性规划中的基本概念

名　称

意　义

约束条件

关于变量x，y的一次不等式（组）

线性约束条件

关于x，y的一次不等式（组）

目标函数

欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式

线性目标函数

关于变量x，y的一次解析式

可行解

满足线性约束条件的解（x，y）

可行域

由所有可行解组成的集合

最优解

使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

知识点二　线性规划问题

1．目标函数的最值

线性目标函数z＝ax＋by（b≠0）对应的斜截式直线方程是y＝－

x＋

，在y轴上的截距是

，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．

当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；

当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．

2．解决简单线性规划问题的一般步骤

在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：

“画、移、求、答”四步，即，

（1）画：

根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．

（2）移：

运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点（或边界）便是最优解．

（3）求：

解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．

（4）答：

写出答案．

知识点三　简单线性规划问题的实际应用

1．线性规划的实际问题的类型

（1）给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；

（2）给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．

常见问题有：

①物资调动问题

例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？

②产品安排问题

例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？

③下料问题

例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？

2．解答线性规划实际应用题的步骤

（1）模型建立：

正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．

（2）模型求解：

画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．

（3）模型应用：

将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．

题型一　求线性目标函数的最值

例1　已知变量x，y满足约束条件

则z＝3x＋y的最大值为（　　）

A．12B．11

C．3D．－1

答案　B

解析　首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z经过点A时，z取得最大值．由

?

此时z＝3x＋y＝11.

跟踪训练1　

（1）x，y满足约束条件

若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（　　）

A.

或－1B．2或

C．2或1D．2或－1

（2）若变量x，y满足约束条件

则z＝3x＋y的最小值为________．

答案　

（1）D　

（2）1

解析　

（1）如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，

故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；

当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.

（2）由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z＝3x＋y，即y＝－3x＋z过点（0,1）时z取最小值1.

题型二　非线性目标函数的最值问题

例2　设实数x，y满足约束条件

求

（1）x2＋y2的最小值；

（2）

的最大值．

解　如图，画出不等式组表示的平面区域ABC，

（1）令u＝x2＋y2，其几何意义是可行域ABC内任一点（x，y）与原点的距离的平方．

过原点向直线x＋2y－4＝0作垂线y＝2x，则垂足为

的解，即

，

又由

得C

，

所以垂足在线段AC的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC|＝

＝

，

所以，x2＋y2的最小值为

.

（2）令v＝

，其几何意义是可行域ABC内任一点（x，y）与原点相连的直线l的斜率为v，即v＝

.由图形可知，当直线l经过可行域内点C时，v最大，

由

（1）知C

，

所以vmax＝

，所以

的最大值为

.

跟踪训练2　已知x，y满足约束条件

则（x＋3）2＋y2的最小值为________．

答案　10

解析　画出可行域（如图所示）．（x＋3）2＋y2即点A（－3,0）与可行域内点（x，y）之间距离的平方．显然AC长度最小，

∴AC2＝（0＋3）2＋（1－0）2＝10，即（x＋3）2＋y2的最小值为10.

题型三　线性规划的实际应用

例3　某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？

解　设每天分别生产甲产品x桶，乙产品y桶，相应的利润为z元，于是有

z＝300x＋400y，

在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线

300x＋400y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点（4,4）时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z＝300x＋400y取得最大值，

最大值是z＝300×4＋400×4＝2800，

即该公司可获得的最大利润是2800元．

反思与感悟　线性规划解决实际问题的步骤：

①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数（直线）求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．

跟踪训练3　预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？

解　设桌子、椅子分别买x张、y把，目标函数z＝x＋y，

把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为

由

解得

所以A点的坐标为

.

由

解得

所以B点的坐标为

.

所以满足条件的可行域是以A

，B

，

O（0,0）为顶点的三角形区域（如图）．

由图形可知，目标函数z＝x＋y在可行域内的最优解为B

，

但注意到x∈N*，y∈N*，

故取

故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．

1．若直线y＝2x上存在点（x，y）满足约束条件

则实数m的最大值为（　　）

A．－1B．1C.

D．2

2．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件

则z＝10x＋10y的最大值是（　　）

A．80B．85

C．90D．95

3．已知实数x，y满足

则z＝x2＋y2的最小值为________．

一、选择题

1．若点（x,y）位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为（　　）

A．－6B．－2C．0D．2

2．设变量x，y满足约束条件

则目标函数z＝3x－y的最大值为（　　）

A．－4B．0C.

D．4

3．实数x，y满足

则z＝

的取值范围是（　　）

A．[－1,0]B．（－∞，0]

C．[－1，＋∞）D．[－1,1）

4．若满足条件

的整点（x，y）（整点是指横、纵坐标都是整数的点）恰有9个，则整数a的值为（　　）

A．－3B．－2C．－1D．0

5．已知x，y满足

目标函数z＝2x＋y的最大值为7，最小值为1，则b，c的值分别为（　　）

A．－1,4B．－1，－3

C．－2，－1D．－1，－2

6．已知x，y满足约束条件

使z＝x＋ay（a＞0）取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（　　）

A．－3B．3C．－1D．1

二、填空题

7．若x，y满足约束条件

则z＝x＋2y的取值范围是________．

8．已知－1≤x＋y≤4且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________（答案用区间表示）．

9．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组

给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（

，1），则z＝

·

的最大值为________．

10．满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有________个．

11．设实数x，y满足不等式组

则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．

三、解答题

12．已知x，y满足约束条件

目标函数z＝2x－y，求z的最大值和最小值．

13．设不等式组

表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，求a的取值范围．

14．某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．

（1）如果只安排生产书桌，可获利润多少？

（2）如果只安排生产书橱，可获利润多少？

（3）怎样安排生产可使所得利润最大？

当堂检测答案

1．答案　B

解析　如图，

当y＝2x经过且只经过x＋y－3＝0和x＝m的交点时，m取到最大值，此时，即（m,2m）在直线x＋y－3＝0上，则m＝1.

2．答案　C

解析　该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x，y∈N*，计算区域内与

最近的点为（5,4），故当x＝5，y＝4时，z取得最大值为90.

3．答案　

解析　

实数x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方，

故zmin＝

2＝

.

课时精练答案

一、选择题

1．答案　A

解析　画出可行域，如图所示，解得A（－2,2），设z＝2x－y，

把z＝2x－y变形为y＝2x－z，

则直线经过点A时z取得最小值；

所以zmin＝2×（－2）－2＝－6，故选A.

2．答案　D

解析　作出可行域，如图所示．

联立

解得

当目标函数z＝3x－y移到（2,2）时，z＝3x－y有最大值4.

3．答案　D

解析　作出可行域，如图所示，

的几何意义是点（x，y）与点（0,1）连线l的斜率，当直线l过B（1,0）时kl最小，最小为－1.又直线l不能与直线x－y＝0平行，∴kl＜1.综上，k∈[－1,1）．

4．答案　C

解析　

不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a＝0时，只有4个整点（1,1），（0,0），（1,0），（2,0）．当a＝－1时，正好增加（－1，－1），（0，－1），（1，－1），（2，－1），（3，－1）5个整点．故选C.

5．答案　D

解析　由题意知，直线x＋by＋c＝0经过直线2x＋y＝7与直线x＋y＝4的交点，且经过直线2x＋y＝1和直线x＝1的交点，即经过点（3,1）和点（1，－1），

∴

解得

6．答案　D

解析　如图，作出可行域，作直线l：

x＋ay＝0，要使目标函数z＝x＋ay（a＞0）取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x＋y＝5重合，故a＝1，选D.

二、填空题

7．答案　[2,6]

解析　如图，作出可行域，

作直线l：

x＋2y＝0，

将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故z的取值范围为[2,6]．

8．答案　[3,8]

解析　作出不等式组

表示的可行域，如图中阴影部分所示．

在可行域内平移直线2x－3y＝0，

当直线经过x－y＝2与x＋y＝4的交点A（3,1）时，目标函数有最小值zmin＝2×3－3×1＝3；

当直线经过x＋y＝－1与x－y＝3的交点B（1，－2）时，目标函数有最大值zmax＝2×1＋3×2＝8.

所以z∈[3,8]．

9．答案　4

解析　由线性约束条件

画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝

·

＝

x＋y，将其化为y＝－

x＋z，结合图形可知，目标函数的图象过点（

，2）时，z最大，将点（

，2）代入z＝

x＋y，得z的最大值为4.

10．答案　13

解析　|x|＋|y|≤2可化为

作出可行域为如图正方形内部（包括边界），

容易得到整点个数为13个．

11．答案　21

解析　作出可行域（如图），即△ABC所围区域（包括边界），其顶点为A（1,3），B（7,9），C（3,1）

方法一　∵可行域内的点都在直线x＋2y－4＝0上方，

∴x＋2y－4＞0，

则目标函数等价于z＝x＋2y－4，

易得当直线z＝x＋2y－4在点B（7,9）处，目标函数取得最大值zmax＝21.

方法二　z＝|x＋2y－4|＝

·

，

令P（x，y）为可行域内一动点，定直线x＋2y－4＝0，

则z＝

d，其中d为P（x，y）到直线x＋2y－4＝0的距离．

由图可知，区域内的点B与直线的距离最大，

故d的最大值为

＝

.

故目标函数zmax＝

·

＝21.

三、解答题

12．解　z＝2x－y可化为y＝2x－z，z的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z取得最大值和最小值时，应是直线在y轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：

2x－y＝0平行的直线系l，经上下平移，可得：

当l移动到l1，即经过点A（5,2）时，zmax＝2×5－2＝8.

当l移动到l2，即过点C（1,4.4）时，

zmin＝2×1－4.4＝－2.4.

13．解　先画出可行域，如图所示，y＝ax必须过图中阴影部分或其边界．

∵A（2,9），∴9＝a2，∴a＝3.

∵a＞1，∴1＜a≤3.

14．解　由题意可画表格如下：

方木料（m3）

五合板（m2）

利润（元）

书桌（张）

0.1

2

80

书橱（个）

0.2

1

120

（1）设只生产书桌x张，可获得利润z元，

则

?

?

0≤x≤300.

所以当x＝300时，zmax＝80×300＝24000（元），

即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元．

（2）设只生产书橱y个，可获得利润z元，

则

?

?

0≤y≤450.

所以当y＝450时，zmax＝120×450＝54000（元），

即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54000元．

（3）设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，

则

?

z＝80x＋120y.

在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域（如图）．

作直线l：

80x＋120y＝0，即直线l：

2x＋3y＝0.

把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时z＝80x＋120y取得最大值．

由

解得，点M的坐标为（100,400）．

所以当x＝100，y＝400时，

zmax＝80×100＋120×400＝56000（元）．

因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．