极限运算法则两个重要极限.docx

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极限运算法则两个重要极限

复习旧课：

1・无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的尖系

导吞：

刖面我们介绍了极限的定义，为了方便计算下面我们介绍极限的运算法则和两个重要的极限

2・3极限的运算法则

2-3-1极限的性质

定理1：

（唯一性）如果极限limf（x）存在，则它只有一个极

限。

即若limf（x）A‘limf（x）B‘则AB

定理2:

（有界性）若极限limf（x）存在，则函数f（x）在xo的某一空心邻

XXO°

域内有界

定理3：

（局部保号性）如果limf（x）A，并且A0（或A0），则

XXo

xo的某一空心邻域内，有f（x）0（或f（x）0）。

推论若在xo的某一空心邻域内有f（x）0（或f（x）0），且limf（x）A，则A0（或A0）。

Xxo

2-3-2极限的运算法则

定理1:

设limf（x）A,limg（x）B，则

（1）lim[f（x）g（x）]=limf（x）limg（x）AB

（2）lim[f（x）g（x）]limf（x）limg（x）AB

若g（x）C.（常数），则lim[Cf（x）]Climf（x）CA

f（x）limf（x）A

（3）lim（B0）

g（x）limg（x）B

证明因为limf（x）A,limg（x）B，利用2。

2定理，它们可以分别写为：

f（x）=A（x）,g（x）B（x）

其中（x）,（x）均为无穷小量，则有：

讲述我们先介绍

极限的运算法则

证明从略。

以上性质只对XX0

的情况加以叙述，其它

的形式也有类似的结

果。

⑴f（x）+g（x）=A+B+[（X）（x）]

由2•2定理知（x）（x）仍为无穷小量，所以f（x）+g（x）以A+B为极限•即lim[f（x）g（x）]=limf（x）limg（x）AB.

容易证明：

limP（x）P（xo）

Xxo

ImP（X）P（XO）

xx0Q（x）Q（xo）

2

例1求lim（3x2x5）

x2

解lim（3x2x5）=15

x2

x22x3

例2求lim3

x1xx5

2

x2x36

解lim3=

x1x3x55

x1

例3求lim

x1x1

x1

解因为lim=0根据无穷大于无穷小的尖系

x1x1

x1

所以有lim=

x1x1注意：

求极限时，必须注意每一步的根据，否则会出现错误。

&

例4求lim

x1x1

2

X1（x1）（x1）

解lim=lim=lim（x1）2

x1x1x1x1x1

x29

例5lim2

Y3."少-7."AC

设P（x）为多项式

当XXo时，

Q（xo）0

因为f（x）为多项

式，所以极限值等于在xo处的函数值因为f（X）为两个多项式商的极限，且在X-1处分母的极限不为零，所以极限值等于函数值。

在x=-1处，分母为零，不能直接计算极限。

在X-1处，分母为零，不能直接计算极限。

“。

”型，先设法

0

约去非零因子。

吉林工业职业技术学院教师教案用纸

序号3

lim

xi1

“”型，用无穷小

量分出法，即分子、分母同时除以X的最高次幕O

解吨裁x零勰股娜;4

3X3x例6求lim3XX31

x3

X

12

例7求lim

（2）2

1x2^1解lim

（2）=lim2=

x1x1x21x1x212小结：

1•极限运算法则

2•求极限方法

1）设P（x）为多项式‘则limP（x）P（xo）

XX

0

2）P（x）、Q（x）均为多项式，且Q（xo）0，则

P（x）P（xo）limxx0Q（x）Q（xo）

3）若f（x）0,g（x）A0，则lirngwf（x）

4）若曲就为“型时,用因式分解找出“零因子”。

f（x）0

吉林工业职业技术学院教师教案用纸

序号5

a°^mn,boO,axmaxm1ab0

5）结论：

limaOxna1xn1am0,当mn,

xboxnbixn1bn

，当mn.

6）若（x）0,f（x）有界，则lim（x）f（x）0

7）若hm[f（x）g（x）]为“”型时，一般是通分或有理化后再处理。

2・4两个重要极限

2-4-1判别极限存在的两个准则

准则1（夹逼定理）设函数f（x）,g（x）,h（x）在xo的某一邻域U（xo,）内满足g（x）f（x）

h（x）

且有极限limg（x）limh（x）A，则有limf（x）A

XXOXXOXxo

准则2如果数列Xn单调有界，则limXn—定存在。

X

2-4-2两个重要极限

sinx

1-极限lim1

xO

X

tanx

例8计算lim

x0

X

tanxsinx1sinx1

解lim=lim•二limlim=1

x0XX0xCOSXx0xxoCOSX

1COSX

例9计算lim2

xOx2

c…2Xx2sinsin

1cosx212

解lim2=lim2=lim

x02x02x0

Xx2x

2

一般

sinU

li刘

证明略

例8、例9结果可作为公式使用。

2Xcosx12sin

2

2X

2cos12

可证得此结论。

吉林工业职业技术学院教师教案用纸

序号7

n2

SI

X

和差化积公

式练

习COSXC0S3X

limxo

m

•^il»

解

5

5

Xx.&x心3V^Osmo50hX

檎.SI3X

、ITo

结论:

fl（lxlTI）0创啣）x）

例11计算li訂n3xsinx

XO

2limcos2x：

axx°

X

sin3x津c晞xsinx

xOxO

X

rIJSinx

12求哦tanx

因为当

lim血

i）x2=[lim（1

解lim（1xx

X

例15计算lim（1

xO

2x）x

1

2xF|jm（1

xO

2x）

1

22x

例16计算

lim（1

X

5x

护

X

胖=iim（i

X

lim[1

X

X,

X5（5）

Him（1

X

5X）

X

2例171+M

lim（x3

2xx）=

x^Xx3lim（1

ln（10ox

lim（1

X

lim（1

X

3）3

lim

（1

X

\x33

X3丿

例18、例19视情况选

讲

例18if

算

解hmln（1x）

xO

X）

X）

lximoln（1

1

X）x

inlim（1

X

1

x）xIn

例19

lim型

X0v

ex1则x|n（i

X

e1

=lim

°ln（1+u）sinx

小结：

1.lim1

°x

nmsinf（x"

f（x）of（x）i

解令

所以

lim

xO

ianx

xOx

limA

1X1x

2.lim

（1）xe;lim（1x）xe

xx0

X

In（1x）ex1

lim=1;lim=1

x0x0

XX

作业P27——1（3）（6），P31——1

（1）（6）（9）——2

（1）（3）